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feat(eti): disuguaglianze sugli ordinali

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@@ -725,7 +725,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item[(b., c.)] Poiché $\RR$ è infinito,
$\abs{\Fin(\RR)} = \abs{\FSeq(\RR)} = \abs{\RR} = \cc$
(vd. \textit{Problema 14}).
(vd.~\textit{Problema 14}).
\addtocounter{enumi}{2}
\item Poiché $\FSeq\!\uparrow\!(\RR) \subseteq \FSeq(\RR)$, sicuramente $\abs{\FSeq\!\uparrow\!(\RR)} \leq \cc$ per il punto (c.). D'altra
@@ -743,7 +743,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item Dacché $\Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN) \subseteq \Fun(\NN, \NN)$, allora $\abs{\Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN)} \leq \cc$. \smallskip
Poiché $\NN$ è infinito, $\abs{\Fin(\NN)} = \abs{\NN}$.
Allora, dacché $\abs{\PP(\NN)} = \cc$, $\abs{\PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)} = \cc$ (vd. \textit{Problema 19}).
Allora, dacché $\abs{\PP(\NN)} = \cc$, $\abs{\PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)} = \cc$ (vd.~\textit{Problema 19}).
Sia $A \subseteq \PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)$. Possiamo
definire per ricorsione numerabile
la funzione $f_A : \NN \to \NN$ in modo tale che:
@@ -753,8 +753,8 @@ originale in una formula esplicita:
\min(A \setminus \{f(1), \ldots, f(n)\}) & \altrimenti.
\end{cases}
\]
Chiaramente $f_A$ è crescente e ha $A$ come immagine (vd. \textit{Problema 12}) -- da
cui $f_A = f_B \implies A = B$ (vd. \textit{Problema 14}, (ii.) per una semplice dimostrazione). Dunque
Chiaramente $f_A$ è crescente e ha $A$ come immagine (vd.~\textit{Problema 12}) -- da
cui $f_A = f_B \implies A = B$ (vd.~\textit{Problema 14}, (ii.) per una semplice dimostrazione). Dunque
la mappa $F : \PP(\NN) \setminus \Fin(\NN) \to \Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN)$ tale per cui $F(Y) = f_Y$ è iniettiva, da cui
si deduce che $\cc = \abs{\PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)} \leq
\abs{\Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN)}$. \smallskip
@@ -773,7 +773,7 @@ originale in una formula esplicita:
\min(A \setminus \{f(1), \ldots, f(n-1)\}) & \altrimenti.
\end{cases}
\]
Sappiamo che $f_A$ è bigettiva (vd. \textit{Problema 12}).
Sappiamo che $f_A$ è bigettiva (vd.~\textit{Problema 12}).
Definiamo allora $\sigma_A : \NN \to \NN$ per ricorsione numerabile in modo tale che:
\[
\sigma_A(n) = \begin{cases}
@@ -812,7 +812,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item Poiché i sottinsiemi infiniti di $\NN$ sono
sono numerabili, $[\NN]^{\aleph_0} = \PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)$. Dacché $\abs{\PP(\NN)} = \cc$
e $\abs{\Fin(\NN)} = \aleph_0$ (vd. \textit{Problema 14}), allora si sta togliendo
e $\abs{\Fin(\NN)} = \aleph_0$ (vd.~\textit{Problema 14}), allora si sta togliendo
un insieme al più numerabile ad un insieme
che ha la cardinalità del continuo. Pertanto,
per il \textit{Problema 19}, $\abs{[\NN]^{\aleph_0}} = \cc$.
@@ -1222,9 +1222,9 @@ originale in una formula esplicita:
\begin{solution}
La tesi deriva immediatamente dal fatto che $\omega$ è un insieme
totalmente ordinato per il quale ogni elemento in $\omega \setminus {0}$ è
totalmente ordinato per il quale ogni elemento in $\omega \setminus \{0\}$ è
un successore. Poiché su $\omega$ vale il principio di induzione (debole),
allora $\omega$ è ben ordinato (vd. \textit{Problema 35}).
allora $\omega$ è ben ordinato (vd.~\textit{Problema 35}).
\end{solution}
\begin{problem}{Equivalenza tra l'induzione forte e il buon ordinamento}{problem-34}
@@ -1366,6 +1366,18 @@ originale in una formula esplicita:
Si mostri che $\omega_1 = \{ \alpha \text{ ordinale} \mid \abs{\alpha} \leq \abs{\omega} \}$ è il più piccolo ordinale avente cardinalità maggiore di quella di $\omega$.
\end{problem}
\begin{solution}
Per rimpiazzamento, abbiamo visto che $\omega_1$ è effettivamente un insieme. Inoltre, $\omega_1$ è un
insieme transitivo di ordinali: se $\alpha \in \beta \in \omega_1$, allora
$\alpha \subseteq \beta \in \omega_1$, e dunque $\abs{\alpha} \leq \abs{\beta} \leq \abs{\omega}$,
da cui $\alpha \in \omega_1$. Pertanto $\omega_1$ stesso è un ordinale. \medskip
Sia ora $\gamma$ un ordinale con $\abs{\omega} < \abs{\gamma}$, e
mostriamo che $\omega_1 \leq \gamma$. Se fosse $\gamma < \omega_1$, allora si avrebbe, per definizione di $\omega_1$,
$\abs{\gamma} \leq \abs{\omega}$, \Lightning. Dunque, per tricotomia degli ordinali,
l'unico caso possibile è $\omega_1 \leq \gamma$.
\end{solution}
\begin{problem}{Sugli ordinali $0 + \alpha = \alpha$}{problem-47}
Sia $\alpha$ un ordinale. Si mostri che $0 + \alpha = \alpha$.
\end{problem}
@@ -1404,6 +1416,30 @@ originale in una formula esplicita:
\[ \alpha \cdot \beta \cong \alpha \times \beta. \]
\end{problem}
\begin{solution}
Mostriamo la tesi per induzione transfinita su $\beta$.
\begin{enumerate}[(i.)]
\item[$\boxed{\beta = 0}$] $\alpha \cdot 0$ per definizione è $0$, che è isomorfo banalmente
a $\alpha \times 0$.
\item[$\boxed{\beta + 1}$] $\alpha \cdot (\beta + 1)$ è per definizione
$\alpha \cdot \beta + \alpha$, che corrisponde all'usuale somma tra buoni
ordini. Per ipotesi induttiva $\alpha \cdot \beta \cong \alpha \times \beta$.
Se $\varphi$ è una bigezione tra i due insiemi, allora
una bigezione tra $\alpha \cdot (\beta + 1)$ e $\alpha \times (\beta + 1)$ si ottiene
mappa il fattore $\alpha \cdot \beta$ in $\alpha \times \beta$ secondo $\varphi$,
e mandando $\alpha$ in $\alpha \times 1$.
\item[$\boxed{\beta = \lambda \text{ limite}}$] Per definizione
$\alpha \cdot \lambda = \sup_{\gamma < \lambda} \alpha \cdot \gamma$. Poiché
ogni $\alpha \cdot \gamma$ è isomorfo ad $\alpha \times \gamma$ per ipotesi
induttiva, anche gli estremi
superiori devono essere isomorfi: nel caso degli $\alpha \times \gamma$ questo è
proprio $\alpha \times \lambda$, da cui la tesi.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{problem}{Proprietà fondamentali dell'esponenziale di ordinali}{problem-50}
Siano $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ ordinali con $\alpha \neq 0$. Si mostri che:
@@ -1413,6 +1449,13 @@ originale in una formula esplicita:
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{solution}
Sappiamo, anche per il \textit{Problema 49}, che le operazioni tra ordinali corrispondono
a quelle tra buoni ordini. Allora le tesi si verificano immediatamente usando le
bigezioni naturali tra $A^B \times A^C$ e $A^{B \sqcup C}$, e tra ${(A^B)}^C$ e $A^{B \times C}$
(vd.~\textit{Problema 62} per la scrittura esplicita di tali bigezioni).
\end{solution}
\begin{problem}{Alcune disuguaglianze sugli ordinali}{problem-51}
Siano $\alpha$ e $\beta \neq 0$ ordinali. Allora si mostri che:
@@ -1424,6 +1467,35 @@ originale in una formula esplicita:
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{solution}
Mostriamo i vari risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i.)]
\item Poiché $\beta > 0$, $\alpha$ è un segmento iniziale proprio di $\alpha + \beta$ e
quindi necessariamente $\alpha + \beta > \alpha$, dacché la somma tra ordinali
corrisponde alla somma tra buoni ordini. Alternativamente, si può dimostrare
la tesi per induzione transfinita, come fatto per il punto (ii.).
\item Si mostra la tesi per induzione transfinita su $\beta$.
\begin{enumerate}[(i.)]
\item[$\boxed{\beta = 0}$] $\alpha + \beta = \alpha + 0 = \alpha$, banalmente.
\item[$\boxed{\beta + 1}$] $\alpha + (\beta + 1)$ è per definizione $(\alpha + \beta) + 1$.
Impiegando l'ipotesi induttiva si ottiene allora $\alpha + \beta \geq \beta$, e
dunque $(\alpha + \beta) + 1 \geq \beta + 1$.
\item[$\boxed{\beta = \lambda \text{ limite}}$] Per definizione:
$\alpha + \lambda = \sup_{\gamma < \lambda} \alpha + \gamma$. Allora, per
ipotesi induttiva, $\sup_{\gamma < \lambda} \alpha + \gamma \geq \sup_{\gamma < \lambda} \gamma = \lambda$,
da cui la tesi.
\end{enumerate}
\item Deriva immediatamente dal punto (ii.): $\alpha + \beta + 1 > \alpha + \beta \geq \beta$.
\item Si mostra per induzione transfinita in modo del tutto simile a come fatto per il punto (ii.),
sfruttando l'identità $\alpha \cdot (\beta + 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha$ e sapendo che
$\alpha \cdot \lambda = \sup_{\gamma < \lambda} \alpha \cdot \gamma$ per $\lambda$ limite.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{problem}{Disuguaglianze strette sugli ordinali con ordinale fisso a sinistro}{problem-52}
Siano $\alpha$ e $\gamma < \gamma'$ ordinali. Allora si mostri che:
@@ -1433,6 +1505,21 @@ originale in una formula esplicita:
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{solution}
Poiché $\gamma < \gamma'$, per il teorema della differenza a destra, esiste
$\rho > 0$ tale per cui $\gamma + \rho = \gamma'$. Mostriamo ora i due
risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i.)]
\item $\alpha + \gamma' = (\alpha + \gamma) + \rho > \alpha + \gamma$, dove
si è usato la tesi del \textit{Problema 51}.
\item $\alpha \cdot \gamma' = \alpha \cdot (\gamma + \rho) = \alpha \cdot \gamma + \alpha \cdot \rho$.
Poiché $\rho$ e $\alpha$ sono diversi da zero, $\alpha \cdot \rho > \alpha > 0$ per il \textit{Problema 51}. Allora
si conclude ancora utilizzando la tesi del \textit{Problema 51}, analogamente al punto (i.).
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{problem}{Distributività a destra degli ordinali}{problem-53}
Siano $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ ordinali. Si mostri allora che:
\[ \alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma. \]
@@ -1441,7 +1528,7 @@ originale in una formula esplicita:
\begin{solution}
La tesi è immediatamente implicata dal fatto che per gli ordinali
$\alpha \cong \beta \implies \alpha = \beta$ e che il prodotto e la somma tra ordinali
corrispondono al prodotto (vd. \textit{Problema 49}) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale:
corrispondono al prodotto (vd.~\textit{Problema 49}) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale:
\[ A \times (B + C) \cong (A \times B) + (A \times C), \]
per il \textit{Problema 43}.
\end{solution}
@@ -1534,7 +1621,7 @@ originale in una formula esplicita:
$n$ a $S(n) = n+1$. Assumiamo ora
la tesi per $n \geq 1$ e mostriamola per $n+1$:
\[ (n + 1) + \omega = n + (1 + \omega) = n + \omega = \omega, \]
dove si è usata l'associatività della somma (vd. \textit{Problema 48}).
dove si è usata l'associatività della somma (vd.~\textit{Problema 48}).
\end{solution}
\begin{problem}{Caratterizzazione degli ordinali che rispettano \underline{sulla somma} la proprietà di assorbimento a sinistra per ordinali più piccoli}{problem-57}
@@ -1563,7 +1650,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item[\fbox{(iii.) $\implies$ (i.)}] Mostriamo la validità della tesi nel caso in cui $\delta$ è nullo, è successore o è limite non nullo.
\begin{enumerate}
\item[$\boxed{\delta = 0}$] Se $\delta = 0$, allora $\alpha = 1$, per il quale ovviamente $0 + 1 = 1$
(vd. \textit{Esercizio 47}).
(vd.~\textit{Esercizio 47}).
\item[$\boxed{\delta + 1}$] Se $\delta = \delta' + 1$ è un successore, allora, dato $\beta < \alpha = \omega^{\delta'} \cdot \omega$,
si deve avere $\beta < \omega^{\delta'} \cdot n$ per qualche $n \in \omega$. Pertanto:
\[ \omega^{\delta' + 1} \leq \beta + \alpha \leq \omega^{\delta'} (n + \omega) = \omega^{\delta' + 1}, \]
@@ -1607,7 +1694,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item[$\boxed{\delta + 1}$] Se $\delta = \delta' + 1$ è un successore, allora, dato $\beta < \alpha = {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^\omega$,
si deve avere $\beta < {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^n$ per qualche $n \in \omega$. Pertanto:
\[ \alpha = {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^\omega \leq \beta \cdot \alpha \leq {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^n \cdot {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^\omega = {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^{n+\omega} = \alpha, \]
da cui $\beta + \alpha = \omega^\delta$ (si è usato che $n + \omega = \omega$, vd. \textit{Esercizio 56}).
da cui $\beta + \alpha = \omega^\delta$ (si è usato che $n + \omega = \omega$, vd.~\textit{Esercizio 56}).
\item[$\boxed{\delta = \lambda \text{ limite}}$] Se invece $\delta = \lambda$ è un limite, dacché $\omega^{(\omega^\lambda)} = \sup_{\gamma < \lambda} \omega^{(\omega^\gamma)}$, $\beta < \omega^{(\omega^\lambda)}$ implica che esiste
$\gamma < \lambda$ per cui $\beta < \omega^{(\omega^\gamma)}$. Per il teorema della differenza a destra, esiste inoltre
$\varepsilon < \lambda$ per cui $\gamma + \varepsilon =\lambda$. Pertanto si deduce che:
@@ -1626,7 +1713,7 @@ originale in una formula esplicita:
$\omega^\delta$. $n$ è necessariamente un naturale, altrimenti $\alpha$ maggiorerebbe debolmente $\omega^{\delta+1}$.
Allora:
\[ \omega^{\delta + 1} = \omega^\delta \omega \leq \alpha \cdot \omega = (\omega^\delta \cdot n + \rho) \omega \leq (\omega^\delta \cdot (n + 1)) \omega = \omega^\delta \omega = \omega^{\delta + 1}, \]
dove si è usato che $(n+1) \cdot \omega = \omega$ (vd. \textit{Esercizio 58}).
dove si è usato che $(n+1) \cdot \omega = \omega$ (vd.~\textit{Esercizio 58}).
\end{solution}
\begin{problem}{$\alpha \cdot \omega = \beta \cdot \omega$ se e solo se $\alpha$ e $\beta$ sono contenuti tra due stesse potenze successive di $\omega$}{problem-60}
@@ -1956,7 +2043,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item Supponiamo che $\alpha = \lambda$ sia limite. Sia $X \in V_\lambda \setminus \{\emptyset\}$. In ZFC esiste dunque
per scelta una funzione di scelta $f : \PP(X) \setminus \{\emptyset\} \to X$, appartenente a $\PP((\PP(X) \setminus \{\emptyset\}) \times X)$,
che è un elemento di $V_\lambda$ dal momento che soddisfa l'assioma delle parti (vd. (ii.)), di unione e di separazione (essendo transitivo),
che è un elemento di $V_\lambda$ dal momento che soddisfa l'assioma delle parti (vd.~(ii.)), di unione e di separazione (essendo transitivo),
e dunque $V_\lambda$ soddisfa l'assioma di scelta. \medskip
Viceversa supponiamo che $V_\alpha$ soddisfi scelta. Allora esiste una funzione di scelta $f : \PP(X) \setminus \{\emptyset\} \to X$ per