Sappiamo che $f_A$ è bigettiva (vd.\textit{Problema 12}).
Sappiamo che $f_A$ è bigettiva (vd.~\textit{Problema 12}).
Definiamo allora $\sigma_A : \NN\to\NN$ per ricorsione numerabile in modo tale che:
\[
\sigma_A(n) = \begin{cases}
@ -812,7 +812,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item Poiché i sottinsiemi infiniti di $\NN$ sono
sono numerabili, $[\NN]^{\aleph_0}=\PP(\NN)\setminus\Fin(\NN)$. Dacché $\abs{\PP(\NN)}=\cc$
e $\abs{\Fin(\NN)}=\aleph_0$ (vd.\textit{Problema 14}), allora si sta togliendo
e $\abs{\Fin(\NN)}=\aleph_0$ (vd.~\textit{Problema 14}), allora si sta togliendo
un insieme al più numerabile ad un insieme
che ha la cardinalità del continuo. Pertanto,
per il \textit{Problema 19}, $\abs{[\NN]^{\aleph_0}}=\cc$.
@ -1222,9 +1222,9 @@ originale in una formula esplicita:
\begin{solution}
La tesi deriva immediatamente dal fatto che $\omega$ è un insieme
totalmente ordinato per il quale ogni elemento in $\omega\setminus{0}$ è
totalmente ordinato per il quale ogni elemento in $\omega\setminus\{0\}$ è
un successore. Poiché su $\omega$ vale il principio di induzione (debole),
allora $\omega$ è ben ordinato (vd.\textit{Problema 35}).
allora $\omega$ è ben ordinato (vd.~\textit{Problema 35}).
\end{solution}
\begin{problem}{Equivalenza tra l'induzione forte e il buon ordinamento}{problem-34}
@ -1366,6 +1366,18 @@ originale in una formula esplicita:
Si mostri che $\omega_1=\{\alpha\text{ ordinale}\mid\abs{\alpha}\leq\abs{\omega}\}$ è il più piccolo ordinale avente cardinalità maggiore di quella di $\omega$.
\end{problem}
\begin{solution}
Per rimpiazzamento, abbiamo visto che $\omega_1$ è effettivamente un insieme. Inoltre, $\omega_1$ è un
insieme transitivo di ordinali: se $\alpha\in\beta\in\omega_1$, allora
$\alpha\subseteq\beta\in\omega_1$, e dunque $\abs{\alpha}\leq\abs{\beta}\leq\abs{\omega}$,
da cui $\alpha\in\omega_1$. Pertanto $\omega_1$ stesso è un ordinale. \medskip
Sia ora $\gamma$ un ordinale con $\abs{\omega} < \abs{\gamma}$, e
mostriamo che $\omega_1\leq\gamma$. Se fosse $\gamma < \omega_1$, allora si avrebbe, per definizione di $\omega_1$,
$\abs{\gamma}\leq\abs{\omega}$, \Lightning. Dunque, per tricotomia degli ordinali,
@ -1441,7 +1528,7 @@ originale in una formula esplicita:
\begin{solution}
La tesi è immediatamente implicata dal fatto che per gli ordinali
$\alpha\cong\beta\implies\alpha=\beta$ e che il prodotto e la somma tra ordinali
corrispondono al prodotto (vd.\textit{Problema 49}) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale:
corrispondono al prodotto (vd.~\textit{Problema 49}) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale:
\[ A \times(B + C)\cong(A \times B)+(A \times C), \]
per il \textit{Problema 43}.
\end{solution}
@ -1534,7 +1621,7 @@ originale in una formula esplicita:
$n$ a $S(n)= n+1$. Assumiamo ora
la tesi per $n \geq1$ e mostriamola per $n+1$:
\[(n +1)+\omega= n +(1+\omega)= n +\omega=\omega, \]
dove si è usata l'associatività della somma (vd.\textit{Problema 48}).
dove si è usata l'associatività della somma (vd.~\textit{Problema 48}).
\end{solution}
\begin{problem}{Caratterizzazione degli ordinali che rispettano \underline{sulla somma} la proprietà di assorbimento a sinistra per ordinali più piccoli}{problem-57}
@ -1563,7 +1650,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item[\fbox{(iii.) $\implies$ (i.)}] Mostriamo la validità della tesi nel caso in cui $\delta$ è nullo, è successore o è limite non nullo.
\begin{enumerate}
\item[$\boxed{\delta = 0}$] Se $\delta=0$, allora $\alpha=1$, per il quale ovviamente $0+1=1$
(vd.\textit{Esercizio 47}).
(vd.~\textit{Esercizio 47}).
\item[$\boxed{\delta + 1}$] Se $\delta=\delta' +1$ è un successore, allora, dato $\beta < \alpha=\omega^{\delta'}\cdot\omega$,
si deve avere $\beta < \omega^{\delta'}\cdot n$ per qualche $n \in\omega$. Pertanto:
da cui $\beta+\alpha=\omega^\delta$ (si è usato che $n +\omega=\omega$, vd.\textit{Esercizio 56}).
da cui $\beta+\alpha=\omega^\delta$ (si è usato che $n +\omega=\omega$, vd.~\textit{Esercizio 56}).
\item[$\boxed{\delta = \lambda \text{ limite}}$] Se invece $\delta=\lambda$ è un limite, dacché $\omega^{(\omega^\lambda)}=\sup_{\gamma < \lambda}\omega^{(\omega^\gamma)}$, $\beta < \omega^{(\omega^\lambda)}$ implica che esiste
$\gamma < \lambda$ per cui $\beta < \omega^{(\omega^\gamma)}$. Per il teorema della differenza a destra, esiste inoltre
$\varepsilon < \lambda$ per cui $\gamma+\varepsilon=\lambda$. Pertanto si deduce che:
@ -1626,7 +1713,7 @@ originale in una formula esplicita:
$\omega^\delta$. $n$ è necessariamente un naturale, altrimenti $\alpha$ maggiorerebbe debolmente $\omega^{\delta+1}$.
Allora:
\[\omega^{\delta+1}=\omega^\delta\omega\leq\alpha\cdot\omega=(\omega^\delta\cdot n +\rho)\omega\leq(\omega^\delta\cdot(n +1))\omega=\omega^\delta\omega=\omega^{\delta+1}, \]
dove si è usato che $(n+1)\cdot\omega=\omega$ (vd.\textit{Esercizio 58}).
dove si è usato che $(n+1)\cdot\omega=\omega$ (vd.~\textit{Esercizio 58}).
\end{solution}
\begin{problem}{$\alpha\cdot\omega=\beta\cdot\omega$ se e solo se $\alpha$ e $\beta$ sono contenuti tra due stesse potenze successive di $\omega$}{problem-60}
@ -1956,7 +2043,7 @@ originale in una formula esplicita:
\item Supponiamo che $\alpha=\lambda$ sia limite. Sia $X \in V_\lambda\setminus\{\emptyset\}$. In ZFC esiste dunque
per scelta una funzione di scelta $f : \PP(X)\setminus\{\emptyset\}\to X$, appartenente a $\PP((\PP(X)\setminus\{\emptyset\})\times X)$,
che è un elemento di $V_\lambda$ dal momento che soddisfa l'assioma delle parti (vd.(ii.)), di unione e di separazione (essendo transitivo),
che è un elemento di $V_\lambda$ dal momento che soddisfa l'assioma delle parti (vd.~(ii.)), di unione e di separazione (essendo transitivo),
e dunque $V_\lambda$ soddisfa l'assioma di scelta. \medskip
Viceversa supponiamo che $V_\alpha$ soddisfi scelta. Allora esiste una funzione di scelta $f : \PP(X)\setminus\{\emptyset\}\to X$ per
