feat(geometria/prodotti): indicizza la sezione dei prodotti hermitiani

Primo anno/Geometria 1/4. Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/2. I prodotti hermitiani.tex

@@ -1,4 +1,8 @@
-\chapter{I prodotti hermitiani e complessificazione (non indicizzato)}
+\chapter{Introduzione al prodotto hermitiano}
+
+\section{Prime definizioni}
+
+\subsection{Definizione di prodotto hermitiano}
 
 \begin{definition} (prodotto hermitiano) Sia $\KK = \CC$. Una mappa $\varphi : V \times V \to \CC$ si dice \textbf{prodotto hermitiano} se:
 	
@@ -20,9 +24,13 @@
 	\li $\varphi(a \v, \w) = \conj{\varphi(\w, a \v)} = \conj{a} \conj{\varphi(\w, \v)} = \conj{a} \, \varphi(\v, \w)$. \\
 	\li $\varphi(\v, \v) = \conj{\varphi(\v, \v)}$, e quindi $\varphi(\v, \v) \in \RR$. \\
 	\li Sia $\v = \sum_{i=1}^n x_i \vv i$ e sia $\w = \sum_{i=1}^n y_i \vv i$, allora $\varphi(\v, \w) = \sum_{i =1}^n \sum_{j=1}^n \conj{x_i} y_i \varphi(\vv i, \vv j)$. \\
-	\li $\varphi(\v, \w) = 0 \iff \varphi(\w, \v) = 0$.
+	\li $\varphi(\v, \w) = 0 \iff \varphi(\w, \v) = 0$. \\
+	\li Come per il prodotto scalare, due vettori $\v$, $\w$ si dicono ortogonali
+	se $\varphi(\v, \w) = 0$.
 \end{remark}
 
+\subsection{Analogie tra il prodotto scalare e quello hermitiano}
+
 \begin{proposition}
 	Data la forma quadratica $q : V \to \RR$  del prodotto hermitiano $\varphi$ tale che $q(\v) = \varphi(\v, \v) \in \RR$, tale
 	forma quadratica individua univocamente il prodotto hermitiano $\varphi$.
@@ -31,20 +39,18 @@
 \begin{proof}
 	Innanzitutto si osserva che:
 	
-	\[ \varphi(\v, \w) = \frac{\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\v, \w)}}{2} +  \frac{\varphi(\v, \w) . \conj{\varphi(\v, \w)}}{2}. \]
+	\[ \varphi(\v, \w) = \frac{\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\v, \w)}}{2} +  \frac{\varphi(\v, \w) - \conj{\varphi(\v, \w)}}{2}. \]
 	
 	\vskip 0.05in
 	
-	Si considerano allora le due identità:
-	
+	Si considerino allora le due identità:
 	\[ q(\v + \w) - q(\v) - q(\w) =
-	\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\w, \v)} = 2 \, \Re(\varphi(\v, \w)), \]
-	
-	\[ q(i\v + \w) - q(\v) - q(\w) = -i(\varphi(\v, \w) - \conj{\varphi(\v, \w)}) = 2 \, \imm(\varphi(\v, \w)), \]
+	\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\w, \v)}, \]
+	\[ q(\v + i\w) - q(\v) - q(\w) = i(\varphi(\v, \w) - \conj{\varphi(\v, \w)}). \]
 	
 	\vskip 0.05in
 	
-	da cui si conclude che il prodotto $\varphi$ è univocamente
+	Si conclude allora che il prodotto $\varphi$ è univocamente
 	determinato dalla sua forma quadratica.
 \end{proof}
 
@@ -75,7 +81,6 @@
 \begin{remark}
 	Si osserva che, analogamente al caso del prodotto scalare, vale
 	la seguente identità:
-	
 	\[ \varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis. \]
 \end{remark}
 
@@ -128,7 +133,9 @@
 	la formula delle dimensioni anche nel caso del prodotto hermitiano.
 \end{remark}
 
-\hr
+\section{Da $\CC$ ad $\RR$ e viceversa}
+
+\subsection{Restrizione ai reali di un $\CC$-spazio}
 
 \begin{definition} (restrizione ai reali di uno spazio) Sia $V$
 	uno spazio vettoriale su $\CC$ con base $\basis$. Si definisce allora lo spazio $V_\RR$, detto
@@ -146,6 +153,26 @@
 	di vettori. Infatti, $\Span_\CC(\basis) = \Span_\RR(\basis \cup i\basis)$. Ciononostante, $\dim V_\RR = 2 \dim V$\footnote{Si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato utilizzando il teorema delle torri algebriche: $[V_\RR : \RR] = [V: \CC] [\CC: \RR] = 2 [V : \CC]$.}, se $\dim V \in \NN$.
 \end{remark}
 
+\begin{definition}
+	Sia $f$ un'applicazione $\CC$-lineare di $V$ spazio vettoriale su $\CC$. Allora
+	si definisce la \textbf{restrizione su} $\RR$ di $f$, detta $f_\RR : V_\RR \to V_\RR$,
+	in modo tale che $f_\RR(\v) = f(\v)$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Sia $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv n\}$ una base di $V$ su $\CC$. Sia $A = M_\basis(f)$. Si
+	osserva allora che, se $\basis' = \basis \cup i \basis$ e $A = A' + i A''$ con $A'$, $A'' \in M(n, \RR)$,
+	vale la seguente identità:
+	
+	\[ M_{\basis'}(f_\RR) = \Matrix{ A' & \rvline & -A'' \\ \hline A'' & \rvline & A' }. \]
+	
+	Infatti, se $f(\vv i) = (a_1 + b_1 i) \vv 1 + \ldots + (a_n + b_n i) \vv n$, vale che
+	$f_\RR(\vv i) = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n + b_1 (i \vv 1) + \ldots + b_n (i \vv n)$,
+	mentre $f_\RR(i \vv i) = i f(\vv i) = - b_1 \vv 1 + \ldots - b_n \vv n + a_1 (i \vv 1) + \ldots + a_n (i \vv n)$.
+\end{remark}
+
+\subsection{Complessificazione di un $\RR$-spazio}
+
 \begin{definition} (complessificazione di uno spazio) Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\RR$.
 	Si definisce allora lo \textbf{spazio complessificato} $V_\CC = V \times V$ su $\CC$ con le seguenti operazioni:
 	
@@ -187,24 +214,6 @@
 	$\dim V_\CC = \dim V$.
 \end{remark}
 
-\begin{definition}
-	Sia $f$ un'applicazione $\CC$-lineare di $V$ spazio vettoriale su $\CC$. Allora
-	si definisce la \textbf{restrizione su} $\RR$ di $f$, detta $f_\RR : V_\RR \to V_\RR$,
-	in modo tale che $f_\RR(\v) = f(\v)$.
-\end{definition}
-
-\begin{remark}
-	Sia $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv n\}$ una base di $V$ su $\CC$. Sia $A = M_\basis(f)$. Si
-	osserva allora che, se $\basis' = \basis \cup i \basis$ e $A = A' + i A''$ con $A'$, $A'' \in M(n, \RR)$,
-	vale la seguente identità:
-	
-	\[ M_{\basis'}(f_\RR) = \Matrix{ A' & \rvline & -A'' \\ \hline A'' & \rvline & A' }. \]
-	
-	Infatti, se $f(\vv i) = (a_1 + b_1 i) \vv 1 + \ldots + (a_n + b_n i) \vv n$, vale che
-	$f_\RR(\vv i) = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n + b_1 (i \vv 1) + \ldots + b_n (i \vv n)$,
-	mentre $f_\RR(i \vv i) = i f(\vv i) = - b_1 \vv 1 + \ldots - b_n \vv n + a_1 (i \vv 1) + \ldots + a_n (i \vv n)$.
-\end{remark}
-
 \begin{definition}
 	Sia $f$ un'applicazione $\RR$-lineare di $V$ spazio vettoriale su $\RR$. Allora
 	si definisce la \textbf{complessificazione} di $f$, detta $f_\CC : V_\CC \to V_\CC$,
@@ -297,7 +306,7 @@
 	Sia $\basis$ una base di Sylvester per $\varphi$. Si consideri allora il prodotto
 	$\varphi_\CC$ tale che:
 	
-	\[ \varphi_\CC(\vv1 + i\ww1, \vv2 + i\ww2) = \varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\vv1, \ww1) - \varphi(\ww1, \vv2)). \]
+	\[ \varphi_\CC(\vv1 + i\ww1, \vv2 + i\ww2) = \varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\vv1, \ww2) - \varphi(\ww1, \vv2)). \]
 	
 	Chiaramente $\restr{\varphi_\CC}{V \times V} = \varphi$. Si verifica allora che $\varphi_\CC$ è hermitiano:
 	
@@ -313,6 +322,7 @@
 		\item $\varphi_\CC(\vv1 + i\ww1, \vv2 + i\ww2) = \varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\vv1, \ww2) - \varphi(\ww1, \vv2)) = \conj{\varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\ww1, \vv2) - \varphi(\vv1, \ww2))} = \conj{\varphi(\vv2, \vv1) + \varphi(\ww2, \ww1) + i(\varphi(\vv2, \ww1) - \varphi(\ww2, \vv1))} = \conj{\varphi_\CC(\vv2 + \ww2, \vv1 + \ww1)}$ (coniugio nello scambio degli argomenti).
 	\end{itemize}
 	
+	%TODO: semplificare
 	Ogni prodotto hermitiano $\tau$ che estende il prodotto scalare $\varphi$ ha la stessa matrice associata nella
 	base $\basis$, essendo $\tau(\vv i, \vv i) = \varphi(\vv i, \vv i)$ vero per ipotesi. Pertanto $\tau$ è
 	unico, e vale che $\tau = \varphi_\CC$. Dal momento che $M_\basis(\varphi_\CC) = M_\basis(\varphi)$ è