feat(geometria2/scheda): inizializza la scheda riassuntiva

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mai verificata in $D_n$ (per $n \geq 3$), \Lightning. Quindi $Z_{D_n}(r) = \rotations$, mai verificata in $D_n$ (per $n \geq 3$), \Lightning. Quindi $Z_{D_n}(r) = \rotations$,
e allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{\Cl(r)} = \abs{D_n} \quot {\left\lvert \mathcal{R} \right\rvert} = 2$. In particolare sia $r$ che $s r s\inv = r\inv$ sono distinti, e allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{\Cl(r)} = \abs{D_n} \quot {\left\lvert \mathcal{R} \right\rvert} = 2$. In particolare sia $r$ che $s r s\inv = r\inv$ sono distinti,
e quindi: e quindi:
\[ \Cl(r) = \{r, r\inv\}. \] \[ \Cl(r) = \{r, r\inv\}. \] %TODO: mostrare il fatto in generale
\end{document} \end{document}

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\title{Scheda riassuntiva di Geometria 2}
\begin{document}
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\footnotesize
\begin{center}
\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Geometria 2}} \\
\end{center}
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\section{Geometria proiettiva}
\subsection{Spazi e trasformazioni proiettive}
Sia $\KK$ un campo e sia $V$ uno spazio proiettivo. Sia $\sim$ la seguente
relazione di equivalenza su $V \setminus \zerovecset$ tale per cui
\[ \v \sim \w \defiff \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w. \]
Allora si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} associata a $V$, denotato
con $\PP(V)$, come:
\[ \PP(V) = V \setminus \zerovecset \quot \sim. \]
In particolare esiste una bigezione tra gli elementi dello spazio proiettivo
e le rette di $V$ (i.e.~i sottospazi di $V$ con dimensione $1$). Si definisce
la \textit{dimensione} di $\PP(V)$ come:
\[ \dim \PP(V) := \dim V - 1. \]
Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$. \medskip
Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità:
\[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \]
dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$.
Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$
si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una
trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice
\textbf{proiettività}.
\begin{itemize}
\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $\varphi$ è necessariamente
iniettiva (altrimenti l'identità non sussisterebbe, dacché $[\vec 0]$ non
esiste -- la relazione d'equivalenza $\sim$ è infatti definita su $V \setminus
\zerovecset$).
\item Allo stesso tempo, un'applicazione lineare $\varphi$ iniettiva induce
sempre una trasformazione proiettiva $f$,
\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $f$ è in particolare anche
iniettiva (infatti $[\varphi(\v)] = [\varphi(\w)] \implies \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w \implies \v \sim \w$),
\item La composizione di due trasformazioni proiettive è ancora una
trasformazione proiettiva ed è indotta dalla composizione delle app.
lineari associate alle trasformazioni di partenza,
\item L'identità $\Id$ è una proiettività di $\PP(V)$, ed è indotta
dall'identità di $V$.
\end{itemize}
Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale
l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle
proiettività di $V$ rispetto alla composizione.
Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ è surgettiva,
\item $f$ è bigettiva,
\item $\dim \PP(V) = \dim \PP(W)$,
\item $f$ è invertibile e $f\inv$ è una trasformazione proiettiva.
\end{enumerate}
In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.
\vfill
\hrule
~\\
Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
~\\Reperibile su
\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Geometria 2 $\to$ Scheda riassuntiva}.
\end{multicols}
\end{document}

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\newcommand{\zbar}{\overline{z}} \newcommand{\zbar}{\overline{z}}
\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}} \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
% Spesso utilizzati al corso di Geometria 2
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\PPGL}{\mathbb{P}\!\GL}
% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1. % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
\DeclareMathOperator{\OO}{O} % gruppo ortogonale \DeclareMathOperator{\OO}{O} % gruppo ortogonale
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\let\ext\faktor \let\ext\faktor
\newcommand{\quot}[1]{/{#1}} \newcommand{\quot}[1]{/{#1}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}} \newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n} \DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}

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