feat(geometria2/scheda): inizializza la scheda riassuntiva

Secondo anno/Algebra 1/8. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex

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 	mai verificata in $D_n$ (per $n \geq 3$), \Lightning. Quindi $Z_{D_n}(r) = \rotations$,
 	e allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{\Cl(r)} = \abs{D_n} \quot {\left\lvert \mathcal{R} \right\rvert} = 2$. In particolare sia $r$ che $s r s\inv = r\inv$ sono distinti,
 	e quindi:
-	\[ \Cl(r) = \{r, r\inv\}. \]
+	\[ \Cl(r) = \{r, r\inv\}. \] %TODO: mostrare il fatto in generale
 \end{document}

Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.tex

@@ -0,0 +1,125 @@
+\documentclass[10pt,landscape]{article}
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+
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+
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+\title{Scheda riassuntiva di Geometria 2}
+
+\begin{document}
+	
+	\parskip=0.7ex
+	
+	\raggedright
+	\footnotesize
+	
+	\begin{center}
+		\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Geometria 2}} \\
+	\end{center}
+	\begin{multicols}{3}
+		\setlength{\premulticols}{1pt}
+		\setlength{\postmulticols}{1pt}
+		\setlength{\multicolsep}{1pt}
+		\setlength{\columnsep}{2pt}
+		
+		\section{Geometria proiettiva}
+		
+		\subsection{Spazi e trasformazioni proiettive}
+
+		Sia $\KK$ un campo e sia $V$ uno spazio proiettivo. Sia $\sim$ la seguente
+		relazione di equivalenza su $V \setminus \zerovecset$ tale per cui
+		\[ \v \sim \w \defiff \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w. \]
+		Allora si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} associata a $V$, denotato
+		con $\PP(V)$, come:
+		\[ \PP(V) = V \setminus \zerovecset \quot \sim. \]
+		In particolare esiste una bigezione tra gli elementi dello spazio proiettivo
+		e le rette di $V$ (i.e.~i sottospazi di $V$ con dimensione $1$). Si definisce
+		la \textit{dimensione} di $\PP(V)$ come:
+		\[ \dim \PP(V) := \dim V - 1. \]
+		Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
+		mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
+		\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
+		associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$. \medskip
+		
+		
+		Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
+		\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
+		lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità:
+		\[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \]
+		dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$.
+		Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$
+		si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una
+		trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice
+		\textbf{proiettività}.
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $\varphi$ è necessariamente
+				iniettiva (altrimenti l'identità non sussisterebbe, dacché $[\vec 0]$ non
+				esiste -- la relazione d'equivalenza $\sim$ è infatti definita su $V \setminus
+				\zerovecset$).
+			\item Allo stesso tempo, un'applicazione lineare $\varphi$ iniettiva induce
+				sempre una trasformazione proiettiva $f$,
+			\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $f$ è in particolare anche
+				iniettiva (infatti $[\varphi(\v)] = [\varphi(\w)] \implies \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w \implies \v \sim \w$),
+			\item La composizione di due trasformazioni proiettive è ancora una
+				trasformazione proiettiva ed è indotta dalla composizione delle app.
+				lineari associate alle trasformazioni di partenza,
+			\item L'identità $\Id$ è una proiettività di $\PP(V)$, ed è indotta
+				dall'identità di $V$.
+		\end{itemize}
+		
+		Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale
+		l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle
+		proiettività di $V$ rispetto alla composizione.
+		
+		Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f$ è surgettiva,
+			\item $f$ è bigettiva,
+			\item $\dim \PP(V) = \dim \PP(W)$,
+			\item $f$ è invertibile e $f\inv$ è una trasformazione proiettiva.
+		\end{enumerate}
+		
+		In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.		
+		\vfill
+		\hrule
+		~\\
+		Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
+		~\\Reperibile su
+		\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Geometria 2 $\to$ Scheda riassuntiva}.
+	\end{multicols}
+	
+\end{document}

tex/latex/style/notes_2023.sty

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 \newcommand{\zbar}{\overline{z}}
 \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
 
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 2
+
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\PPGL}{\mathbb{P}\!\GL}
+
 % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
 
 \DeclareMathOperator{\OO}{O} % gruppo ortogonale
@@ -125,7 +130,6 @@
 
 \let\ext\faktor
 \newcommand{\quot}[1]{/{#1}}
-\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
 
 \newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
 \DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}