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feat(geometria2/scheda): inizializza la scheda riassuntiva
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708630fe16
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\documentclass[10pt,landscape]{article}
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{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
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{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
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}
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%\pagestyle{empty}
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\makeatletter
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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{0.5ex plus .2ex}%x
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{\normalfont\large\bfseries}}
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{0.5ex plus .2ex}%
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{\normalfont\normalsize\bfseries}}
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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{1ex plus .2ex}%
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\makeatother
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% -----------------------------------------------------------------------
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\title{Scheda riassuntiva di Geometria 2}
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\begin{document}
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\parskip=0.7ex
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\raggedright
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\footnotesize
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\begin{center}
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\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Geometria 2}} \\
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\end{center}
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\begin{multicols}{3}
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\setlength{\premulticols}{1pt}
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\setlength{\postmulticols}{1pt}
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\setlength{\multicolsep}{1pt}
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\setlength{\columnsep}{2pt}
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\section{Geometria proiettiva}
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\subsection{Spazi e trasformazioni proiettive}
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Sia $\KK$ un campo e sia $V$ uno spazio proiettivo. Sia $\sim$ la seguente
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relazione di equivalenza su $V \setminus \zerovecset$ tale per cui
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\[ \v \sim \w \defiff \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w. \]
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Allora si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} associata a $V$, denotato
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con $\PP(V)$, come:
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\[ \PP(V) = V \setminus \zerovecset \quot \sim. \]
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In particolare esiste una bigezione tra gli elementi dello spazio proiettivo
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e le rette di $V$ (i.e.~i sottospazi di $V$ con dimensione $1$). Si definisce
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la \textit{dimensione} di $\PP(V)$ come:
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\[ \dim \PP(V) := \dim V - 1. \]
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Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
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mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
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\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
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associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$. \medskip
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Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
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\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
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lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità:
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\[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \]
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dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$.
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Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$
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si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una
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trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice
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\textbf{proiettività}.
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\begin{itemize}
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\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $\varphi$ è necessariamente
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iniettiva (altrimenti l'identità non sussisterebbe, dacché $[\vec 0]$ non
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esiste -- la relazione d'equivalenza $\sim$ è infatti definita su $V \setminus
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\zerovecset$).
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\item Allo stesso tempo, un'applicazione lineare $\varphi$ iniettiva induce
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sempre una trasformazione proiettiva $f$,
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\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $f$ è in particolare anche
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iniettiva (infatti $[\varphi(\v)] = [\varphi(\w)] \implies \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w \implies \v \sim \w$),
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\item La composizione di due trasformazioni proiettive è ancora una
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trasformazione proiettiva ed è indotta dalla composizione delle app.
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lineari associate alle trasformazioni di partenza,
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\item L'identità $\Id$ è una proiettività di $\PP(V)$, ed è indotta
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dall'identità di $V$.
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\end{itemize}
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Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale
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l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle
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proiettività di $V$ rispetto alla composizione.
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Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f$ è surgettiva,
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\item $f$ è bigettiva,
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\item $\dim \PP(V) = \dim \PP(W)$,
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\item $f$ è invertibile e $f\inv$ è una trasformazione proiettiva.
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\end{enumerate}
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In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.
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\vfill
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\hrule
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~\\
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Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
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~\\Reperibile su
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\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Geometria 2 $\to$ Scheda riassuntiva}.
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\end{multicols}
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\end{document}
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Reference in New Issue