feat(geometria2/scheda): aggiunge sottospazi proiettivi e Grassmann

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Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive}, Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo \textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$. \medskip associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$.
Si indica con $\pi$ la proiezione al quoziente tramite $\sim$, ossia:
\[ \pi(W) = \{ [\w] \mid \w \in W \}. \]
Si dice \textbf{sottospazio proiettivo} un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $\PP(V)$
tale per cui esista un sottospazio vettoriale $W$ di $V$ tale per cui
$S = \pi(W \setminus \zerovecset)$, e si scrive $S = \PP(W)$, con:
\[ \dim S = \dim W - 1. \]
In particolare, tramite $\pi$ si descrive una bigezione tra i sottospazi vettoriali di
$V$ e i sottospazi proiettivi di $\PP(V)$. \medskip
L'intersezione di sottospazi proiettivi è ancora un sottospazio proiettivo ed
è indotto dall'intersezione degli spazi vettoriali che generano i singoli
sottospazi proiettivi. Pertanto, se $F \subseteq \PP(V)$, è ben definito
il seguente sottospazio:
\[ \displaystyle L(F) = \bigcap_{\substack{F \subseteq S_i \\ S_i \text{\;ssp. pr.}}} S_i, \]
ossia l'intersezione di tutti i sottospazi proiettivi che contengono $F$.
Si scrive $L(S_1, \ldots, S_n)$ per indicare $L(S_1 \cup \cdots \cup S_n)$.
Se $S_1 = \PP(W_1)$, ..., $S_n = \PP(W_n)$, allora vale che:
\[ L(S_1, \ldots, S_n) = \PP(W_1 + \ldots + W_n). \]
Vale pertanto la \textbf{formula di Grassmann proiettiva}:
\[ \dim L(S_1, S_2) = \dim S_1 + \dim S_2 - \dim (S_1 \cap S_2). \]
Allora, se $\dim S_1 + \dim S_2 \geq \dim \PP(V)$ (si osservi che è
$\geq$ e non $>$ come nel caso vettoriale, dacché un sottospazio di dimensione
zero è comunque un punto in geometria proiettiva), vale necessariamente
che:
\[ S_1 \cap S_2 \neq \emptyset, \]
infatti $\dim S_1 \cap S_2 = \dim S_1 + \dim S_2 - \dim L(S_1, S_2) \geq
\dim S_1 + \dim S_2 - \dim \PP(V) \geq 0$. In particolare, in $\PP^2(\KK)$,
questo implica che due rette proiettive distinte si incontrano sempre in un unico
punto (infatti $1+1\geq2$).
Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione \textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
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\end{enumerate} \end{enumerate}
In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$. In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.
\begin{itemize}
\item I punti fissi di $f$ sono indotti esattamente dalle rette di autovettori
di $\varphi$ (infatti $\varphi(\v) = \lambda \v \implies f([\v]) = [\v]$),
\item In particolare, $f \in \PPGL(\PP^n(\RR))$ ammette sempre un punto
fisso se $n$ è pari (il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha grado
dispari, e quindi ammette una radice in $\RR$),
\item Se $\KK$ è algebricamente chiuso, $f$ ammette sempre un punto fisso
(il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha tutte le radici in $\KK$).
\end{itemize}
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