@ -849,7 +849,7 @@ Si osserva infine che, se $V = \RR^3$ e $\basis$ ne è la base canonica, i coni
\begin{proof}
Sia $\basis$ una base di Sylvester per $V$. In particolare, detto $k :=\dim V^\perp$; sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv{n-k}, \uu1, \ldots, \uu k \}$ ordinata in modo tale che $\vv i$ non
sia isotropo per $1\leq i \leq n-k$ e che $\uu i$ sia invece isotropo per
$1\leq i \leq k$. Si costruisca allora l'insieme $\basis' =\{\vv1 ' :=\vv1+ i \vv2, \,\vv2 ' :=\vv3+ i \vv4, \ldots, \uu1, \ldots, \uu k\}$ ottenuta prendendo in ordine quante più coppie distinte possibili di
$1\leq i \leq k$. Si costruisca allora l'insieme $\basis' =\{\vv1 ' :=\vv1+ i \vv2, \,\vv2 ' :=\vv3+ i \vv4, \ldots, \uu1, \ldots, \uu k\}$ ottenuto prendendo in ordine quante più coppie distinte possibili di
vettori $\vec i$ e aggiungendo al vettore con indice minore della coppia il vettore
con indice maggiore moltiplicato per $i$. In questo modo si è costruita un insieme linearmente indipendente
contenente $\floor{\frac{n-k}{2}}+ k =\floor{\frac{\dim V -\dim V^\perp}{2}}+\dim V^\perp=\floor{\frac{\dim V +\dim V^\perp}{2}}$. \\
\Large\textbf{Quadriche e classificazione affine delle coniche}
\end{center}
\begin{center}\textit{Il documento è quasi del tutto completo. In particolare manca la dimostrazione della classificazione delle coniche reali, ancora in corso d'opera.}\end{center}
\begin{center}\textit{Il documento è completo nel suo contenuto e manca solo di un'ultima revisione nella dimostrazione della classificazione delle coniche reali.}\end{center}
\begin{note}
Si assume che, nel corso del documento, valga che $\Char\KK\neq2$.
@ -291,7 +291,7 @@
\vskip 0.05in
Sia dunque $f_3\in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_3(\x)=\x+\vec t_3$. Se $p_3= p_2\circ f_3$, vale allora che:
Sia dunque $f_3\in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_3(\x)=\x+\vec t_2$. Se $p_3= p_2\circ f_3$, vale allora che:
Come già visto precedentemente, la classificazione è completa perché sono comprese tutte le possibili
scelte di invarianti, ed è anche ben definita, dacché
due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante. [TODO]
due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante. \\
Sia allora $\mathcal{C}$ una conica relativa al polinomio $p \in\RR[x, y]$. Sia $\rg(\AA(p))=2$.
Se $S(\AA(p))=2$, allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in\GL(2, \RR)\mid M^\top\AA(p) M =\pm I_2$. Sia allora
$f_1\in A(\AA_2(\RR))$ l'affinità tale per cui
$f_1(\vec x)= M \vec x +\vec t$, dove $\vec t =-\AA(p)\inv\vec b$. Allora, detto $p_1$ il polinomio monico ottenuto moltiplicando eventualmente per $-1$ il polinomio $p \circ f_1$, vale che:
$p_1(x, y)= x^2+ y^2$, la cui conica corrispondente
è data da due rette complesse coniugate e incidenti in un punto reale ($\mathcal{C}_8$). \\
Altrimenti, se
$\rg(\MM(p))=3$, si discutono due casi dipendentemente dal valore di $S(\MM(p))$. Se
$S(\MM(p))=3$, allora $c$ è necessariamente positivo. Pertanto, detta $f_2\in A(\AA_2(\RR))$
l'affinità tale per cui $f_2(\vec x)=\sqrt{c}\,\vec x$ e detto $p_2= p_1\circ f_2$, vale che $\MM(p_2)= c \, I_3$, ossia che $p_2(x, y)= c(x^2+ y^2+1)$. Si è ottenuto dunque che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente all'ellisse immaginaria ($\mathcal{C}_7$). \\
Si procede analogamente se $S(\MM(p))=1$: in
tal caso $c$ è necessariamente negativo, e quindi
$f_2$ si costruità moltiplicando per $\sqrt{-c}$:
si ottiene in questo modo l'ellisse reale ($\mathcal{C}_1$). \\
Sia ora invece $S(\AA(p))=1$. Allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in\GL(2, \RR)\mid M^\top\AA(p) M =\SMatrix{1&0\\0&-1}$.
Si costruisca allora l'affinità $f_1\in A(\AA_2(\RR))$ in modo tale che $f_1(\vec x)= M \vec x +\vec t$, dove $\vec t =-\AA(p)\vec b$.
Se $\rg(\MM(p))=2$, allora $c$ è necessariamente nullo, e quindi $p_1(x, y)= x^2- y^2$, da cui
si deduce che $\mathcal{C}$ è affinemente
equivalente alla conica generata da due rette
reali incidenti ($\mathcal{C}_4$). Se invece
$\rg(\MM(p))=3$, $c$ non è nullo, e quindi
si può costruire l'affinità $f_2\in A(\AA_2(\RR))$
data da $f_2(\vec x)=\sqrt{\abs{c}}\,\vec x$. Allora, detto $p_2= f \circ p_1$, $p_2$ può essere
sempre ricondotto a un
multiplo di $x^2- y^2-1$: se infatti $c < 0$,
$p_2$ lo è già, altrimenti è sufficiente applicare
una terza affinità $f_3(\vec x)=\SMatrix{0&1\\1&0}\,\vec x$ e considerare $p_3= p_2\circ f_3$. Pertanto $\mathcal{C}$ è in questo caso
affinemente equivalente a un'iperbole ($\mathcal{C}_2$). \\
Sia adesso $\rg(\AA(p))=1$. Allora, per il teorema
di Sylvester, $\exists M \in\GL(2, \RR)\mid M^\top\AA(p) M =\SMatrix{1&0\\0&0}$. Sia $\Ll(p)=\SMatrix{b_1\\ b_2}$, con $b_1$, $b_2\in\RR$. Si costruisca $f_1\in A(\AA_2(\RR))$ in modo tale
dove $c' \in\RR$. Se $\rg(\MM(p))=3$, allora $b_2$ è necessariamente
non nullo. Si cerca adesso di eliminare
il termine noto $c'$ mediante una traslazione:
si consideri infatti $f_3\in A(\AA_2(\RR))$ definita in modo tale che $f_3(\vec x)=\vec x +(0, -\frac{c}{2 b_2})^\top$, analogamente a come
era stata impostata l'affinità nel caso complesso.
Allora, detto $p_3= p_2\circ f_2$, vale che:
\[\MM(p_3)=\Matrix{1&0&0\\0&0& b_2\\0& b_2&0}. \]
\vskip 0.05in
Normalizzando il coefficiente di $y$ mediante
l'affinità $f_4\in A(\AA_2(\RR))$ tale per cui $f_4(\vec x)=\SMatrix{1&0\\0&-\frac{1}{b_2}}$,
e detto $p_4= p_3\circ f_4$, si ottiene finalmente
che $p_4(x, y)= x^2- y$, ossia che $\mathcal{C}$ è
affinemente equivalente a una parabola ($\mathcal{C}_3$). \\
Se $\rg(\MM(p))=2$, allora necessariamente
$b_2=0$ e $c \neq0$. Si costruisce dunque
l'affinità $f_3\in A(\AA_2(\RR))$ definita in
modo tale che $f_3(\vec x)=\SMatrix{\sqrt{\abs{c'}}&0\\0&1}$ e si pone
$p_3= p_2\circ f_3$. Se $S(\MM(p))=0$, allora necessariamente $c' < 0$, e quindi vale che $p_3$ è multiplo di $x^2-1$. Pertanto $\mathcal{C}$ è affinemente
equivalente alla conica generata da due rette reali parallele ($\mathcal{C}_5$). Se invece $S(\MM(p))=2$, $c'$ è strettamente positivo, e quindi $p_3$ è
multiplo di $x^2+1$. In tal caso $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente alla conica
generata da due rette complesse coniugate, distinte e parallele ($\mathcal{C}_9$). \\
Se invece $\rg(\MM(p))=1$, sia $b_2$ che $c$ devono
essere nulli. Allora $p_2(x, y)= x^2$, da cui
si deduce che $\mathcal{C}$ è affinemente
equivalente alla conica generata da due rette
reali coincidenti ($\mathcal{C}_6$), completando la classificazione.
