@ -5,16 +5,23 @@
\begin { multicols*} { 2}
Discutiamo in questa sezione la teoria della probabilità sulla
retta reale, uscendo dunque dal caso discreto.
retta reale, uscendo dunque dal caso discreto. \smallskip
Per restringere la $ \sigma $ -algebra su cui lavoreremo (ossia l'insieme degli
eventi interessanti), siamo costretti a limitarci a una $ \sigma $ -algebra molto più
piccola di $ \PP ( \RR ) $ , la $ \sigma $ -algebra dei boreliani, che ci permette di escludere
``casi meno interessanti''.
``casi meno interessanti''. \smallskip
\begin { warn}
Eccetto che nella prima sezione, assumeremo se non detto altrimenti
di star lavorando sullo spazio misurabile
$ ( \RR , \BB ( \RR ) ) $ dotato eventualmente della misura di Lebesgue $ m $ . $ \BB ( \RR ) $ ed
$ m $ sono definiti nella sezione seguente.
\end { warn}
\section { Cenni di teoria della misura}
\subsection { La \texorpdfstring { $ \sigma $ } { σ } -algebra di Borel}
\subsection { La \texorpdfstring { $ \sigma $ } { σ } -algebra di Borel e funzioni boreliane }
\begin { definition} [$ \sigma $ -algebra dei boreliani]
Dato uno spazio metrico separabile\footnote {
@ -27,6 +34,7 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
\[
\BB (X) \defeq \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text { aperto} \, \} .
\]
Gli elementi della $ \sigma $ -algebra di Borel sono detti \textit { boreliani} .
\end { definition}
\begin { proposition} [Proprietà di $ \BB ( X ) $ ]
@ -35,7 +43,8 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ \BB ( X ) $ contiene tutti gli aperti e i chiusi di $ X $ (infatti
metrico e separabile implica II-numerabile),
metrico e separabile implica II-numerabile), pertanto se $ \tau ( X ) $ è la
topologia di $ X $ vale che $ \tau ( X ) \subseteq \BB ( X ) $ ,
\item $ \BB ( X ) = \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text { chiuso } \, \} $ , ossia
$ \BB ( X ) $ è generata anche dai chiusi di $ X $ (infatti $ \BB ( X ) $ è chiuso per
complementare),
@ -56,7 +65,23 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
\end { enumerate}
\end { proposition}
\subsection { Definizione di misura e misura di Lebesgue}
\begin { definition}
Data una funzione $ f : X \to Y $ con $ X $ e $ Y $ spazi metrici separabili, si dice che
$ f $ è una \textbf { funzione boreliana} se $ f \inv ( A ) $ è boreliano per ogni
$ A $ boreliano di $ Y $ . Equivalentemente $ f $ è boreliana se la controimmagine di ogni
boreliano è un boreliano.
\end { definition}
\begin { proposition}
Sia $ f : X \to Y $ con $ X $ e $ Y $ spazi metrici separabili una funzione continua. Allora
$ f $ è boreliana. \smallskip
Segue dal fatto che $ \BB ( Y ) $ è generato dagli aperti di $ Y $ , le cui controimmagini sono
aperte, e dunque boreliane.
\end { proposition}
\subsection { Definizione e proprietà di misura, \texorpdfstring { $ \pi $ } { π} -sistemi per \texorpdfstring { $ \sigma $ } { σ } -algebre}
\begin { definition} [Misura]
Dato $ ( \Omega , \FF ) $ spazio misurabile, una misura $ \mu $ su $ ( \Omega , \FF ) $ è una
@ -67,12 +92,161 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
\]
\end { definition}
\begin { definition} [Insiemi $ \mu $ -trascurabili e proprietà $ \mu $ -quasi certe]
\begin { remark} [Proprietà basilari di una misura]
Dal momento che si richiede per una misura valga $ \mu ( \emptyset ) = 0 $ , si verifica
facilemente che vale la $ \sigma $ -additività finita. \smallskip
Inoltre, se $ A \subseteq B $ , allora $ \mu ( B ) = \mu ( B \setminus A \cupdot A ) = \mu ( B \setminus A ) + \mu ( A ) $ , e
dunque vale sempre che $ \mu ( A ) \leq \mu ( B ) $ . Vale inoltre ancora la $ \sigma $ -subadditività, con la stessa
dimostrazione data per la probabilità, e dunque:
\[
\mu \left (\bigcup _ { i \in \NN } A_ i\right ) \leq \sum _ { i \in \NN } \mu (A_ i).
\]
\end { remark}
\begin { remark} [Comportamento di $ \mu $ al limite]
Se $ ( A _ i ) _ { i \in \NN } $ è una famiglia numerabile di
insiemi in $ \FF $ , allora, seguendo la stessa dimostrazione
data per le misure di probabilità, che:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ A _ i \goesup A \implies \mu ( A _ i ) \goesup \mu ( A ) $ ,
\item $ A _ i \goesdown A \implies \mu ( A _ i ) \goesdown \mu ( A ) $ .
\end { enumerate}
\end { remark}
\begin { definition}
Una misura $ \mu $ su $ ( \Omega , \FF ) $ si dice \textbf { misura finita} se $ \mu ( \Omega ) $ è finito.
\end { definition}
\begin { proposition} [Proprietà di una misura finita $ \mu $ ]
Sia $ \mu $ una misura finita su $ ( \Omega , \FF ) $ . Allora valgono le seguenti affermazioni:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ P ( A ) = \frac { \mu ( A ) } { \mu ( \Omega ) } $ è una misura di probabilità,
\item $ \mu ( A ) $ è sempre finito e $ \mu ( \Omega ) = \mu ( A ) + \mu ( A ^ c ) $ ,
\item $ A \subseteq B \implies \mu ( B ) = \mu ( B \setminus A ) + \mu ( A ) $ ,
\item $ \mu ( B \setminus A ) = \mu ( B ) - \mu ( A \cap B ) $ ,
\item $ \mu ( A \cup B ) = \mu ( A \Delta B \cupdot A \cap B ) = \mu ( A ) + \mu ( B ) - \mu ( A \cap B ) $ ,
\item $ \mu \left ( \bigcup _ { i \in [ n ] } A _ i \right ) = \sum _ { j \in [ n ] } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \sum _ { 1 \leq i _ 1 < \cdots < i _ j \leq n } \mu \left ( \bigcap _ { k \in [ j ] } A _ { i _ { k } } \right ) $ (Principio di inclusione-esclusione per le misure finite).
\end { enumerate}
Tutte le affermazioni seguono immediatamente dalla prima.
\end { proposition}
\begin { definition} [Insiemi $ \mu $ -trascurabili e proprietà che accadono $ \mu $ -quasi sempre]
Un insieme $ A \in \FF $ si dice \textbf { $ \mu $ -trascurabile} se
$ \mu ( A ) = 0 $ . Una proprietà $ M $ si dice che accade
$ \mu $ -quasi certamente se esiste $ A \in \FF $ $ \mu $ -trascurabile per cui
$ \mu $ -quasi sempre ($ \mu $ -q.a.) se esiste $ A \in \FF $ $ \mu $ -trascurabile per cui
$ M $ accade per $ A ^ c $ .
\end { definition}
\begin { definition} [\texorpdfstring { $ \pi $ } { π} -sistema di una $ \sigma $ -algebra]
Sia $ ( \Omega , \FF ) $ uno spazio misurabile. Allora un sottoinsieme $ \mathcal { C } \subseteq \FF $
si dice \textbf { $ \pi $ -sistema di $ \FF $ } se:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ A $ , $ B \in \mathcal { C } \implies A \cap B \in \mathcal { C } $ (chiusura per intersezioni),
\item $ \sigma ( C ) = \FF $ (genera $ \FF $ ).
\end { enumerate}
\end { definition}
\begin { remark}
Un $ \pi $ -sistema di una $ \sigma $ -algebra svolge lo ``stesso ruolo'' che una
base svolge per una topologia.
\end { remark}
\begin { lemma} [di Dynkin, versione probabilistica]
Sia $ ( \Omega , \FF ) $ uno spazio misurabile e sia $ \mathcal { C } $ un suo $ \pi $ -sistema. Siano
$ P $ e $ Q $ due probabilità sullo spazio misurabile di $ \Omega $ . Se $ P $ e $ Q $ coincidono su
$ \mathcal { C } $ , allora $ P \equiv Q $ .
\end { lemma}
\begin { example}
Alcuni esempi di $ \pi $ -sistemi per $ ( \RR , \BB ( \RR ) ) $ sono:
\begin { itemize}
\item gli aperti, ovverosia $ \mathcal { C } = \{ A \in \FF \mid A \text { aperto } \, \} $ (oppure i chiusi),
\item le semirette (a sinistra), ovverosia $ \mathcal { C } = \{ ( - \infty , a ] \mid a \in \RR \} $ (oppure le semirette a destra),
\item gli intervalli semiaperti (a sinistra), ovverosia $ \mathcal { C } = \{ ( a, b ] \mid a, b \in \RR , b > a \} $ (oppure semiaperti a destra).
\end { itemize}
\end { example}
\subsection { La misura di Lebesgue}
\begin { theorem} [Esistenza e unicità della misura di Lebesgue]
Esiste ed è unica la misura $ m $ su $ ( \RR , \BB ( \RR ) ) $ tale per cui
$ m ( [ a, b ] ) = b - a $ per ogni $ a $ , $ b \in \RR $ con $ b > a $ . Tale misura
è detta \textbf { misura di Lebesgue} . \smallskip
L'unicità segue dall'enunciato generale del lemma di Dynkin.
\end { theorem}
\begin { remark}
Dal momento che $ m ( [ 0 , 1 ] ) = 1 $ ,
la misura $ \restr { m } { [ 0 , 1 ] } $ è una misura di probabilità su $ ( [ 0 , 1 ] , \BB ( [ 0 , 1 ] ) ) $ ,
detta \textit { probabilità uniforme su $ [ 0 , 1 ] $ } . Analogamente per $ a $ , $ b \in \RR $
con $ b > a $ , $ m ( [ a, b ] ) = b - a $ e
dunque $ P = \frac { 1 } { b - a } \restr { m } { [ a,b ] } $ è una misura di probabilità (detta
\textit { probabilità uniforme su $ [ a,b ] $ } ). \smallskip
Assumendo l'assioma della scelta si può dimostrare che \underline { non} si può estendere in modo coerente
$ \restr { m } { [ 0 , 1 ] } $ a $ ( [ 0 , 1 ] , \PP ( [ 0 , 1 ] ) ) $ .
\end { remark}
\section { Probabilità reale, funzione di ripartizione (f.d.r.) e proprietà}
\begin { definition}
Si dice \textbf { probabilità reale} una qualsiasi
probabilità $ P $ su $ ( \RR , \BB ( \RR ) ) $ .
\end { definition}
\begin { definition} [Funzione di ripartizione di $ P $ ]
Data una probabilità reale $ P $ si definisce
allora la sua \textbf { funzione di ripartizione (f.d.r.)}
come la funzione $ F : \RR \to [ 0 , 1 ] $ tale per cui:
\[
F(x) = P((-\infty , x]), \quad \forall x \in \RR .
\]
Si definisce inoltre $ F ( \pm \infty ) \defeq \lim _ { x \to \pm \infty } F ( x ) $ .
Indicheremo $ F $ come $ F _ P $ , e quando $ P $ sarà nota dal contesto
ci limiteremo a scrivere $ F $ .
\end { definition}
\begin { proposition} [Proprietà della f.d.r.]
Sia $ P $ una probabilità reale. Allora, se $ F $ è la
sua f.d.r. vale che:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ F $ è crescente, ovvero $ F ( x ) \geq F ( y ) \impliedby x \geq y $ (infatti $ ( - \infty , x ] \supseteq ( - \infty , y ] $ ),
\item $ F $ è continua a destra, ovverosia per ogni $ \tilde { x } \in \RR $ vale che $ \lim _ { x \to \tilde { x } ^ + } F ( x ) = F ( \tilde { x } ) $ ,
\item $ F ( - \infty ) = 0 \impliedby ( ( - \infty , - i ] ) _ { i \in \NN } \goesdown \emptyset $ ,
\item $ F ( \infty ) = 1 \impliedby ( ( - \infty , i ] ) _ { i \in \NN } \goesup \RR $ .
\end { enumerate}
L'affermazione (ii.) segue dal fatto che per ogni successione decrecente da destra $ ( x _ i ) _ { i \in \NN } \goesdown \tilde { x } $ è
tale per cui $ ( ( - \infty , x _ i ] ) _ { i \in \NN } \goesdown ( - \infty , \tilde { x } ) $ , e dunque
$ ( P ( x _ i ) ) _ { i \in \NN } \goesdown P ( \tilde { x } ) $ .
\end { proposition}
% \begin { remark}
% La continuità a sinistra non è invece garantita dacché ogni successione da sinistra crescente $ ( x _ i ) _ { i \in \NN } \goesup \tilde { x } $
% è tale per cui
% \end { remark}
\begin { proposition} [$ P $ è univocamente determinata da $ F $ ]
Sia $ F : \RR \to \RR $ una funzione tale per cui:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ F $ è crescente,
\item $ F $ è continua a destra,
\item $ \lim _ { x \to \infty } F ( x ) = 1 $ ,
\item $ \lim _ { x \to - \infty } F ( x ) = 0 $ .
\end { enumerate}
Allora $ 0 \leq F \leq 1 $ ed esiste un'unica probabilità reale $ P $ avente
$ F $ come funzione di ripartizione. \smallskip
L'unicità segue dal lemma di Dynkin.
\end { proposition}
\end { multicols*}
