fix(geometria): corregge la dimostrazione del teorema di Sylvester reale

Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex

@@ -86,9 +86,9 @@
 	\end{theorem}
 
 	\begin{proof}
-		Si dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la tesi è triviale (ogni base è
-		già una base ortogonale). Sia
-		allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$, e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
+		Si dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la tesi è triviale (se esiste una base, tale base è
+		già ortogonale). Sia
+		allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
 		ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
 		questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
 		è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. Allora in questo caso
@@ -121,27 +121,30 @@
 		in essi sia diversa da zero.
 	\end{proof}
 
-	\begin{remark}
-		Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester
-		complesso. \\
-		
+	\begin{remark}\nl
 		\li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante
-		completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi
+		completo per la congruenza in un campo $\KK$ in cui tutti gli elementi
 		sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$, se $A$ e
-		$B$ sono matrici simmetriche: infatti
-		ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è
+		$B$ sono matrici simmetriche con elementi in $\KK$. \\
+		
+		Ogni matrice simmetrica rappresenta infatti un prodotto scalare, ed è
 		pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata
 		nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango
 		è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma
 		della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche
-		il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due
+		il rango di ogni sua matrice congruente. \\
+	
+		In particolare, se due
 		matrici simmetriche hanno lo stesso rango, allora sono congruenti
 		alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza
 		una relazione di equivalenza, sono congruenti a loro volta tra di loro. \\
-		\li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo
+
+		\li Due matrici simmetriche in $\KK$ con stesso rango, allora, non solo
 		sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\
+
 		\li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero
-		di elementi nulli.
+		di vettori isotropi, dal momento che tale numero rappresenta
+		la dimensione del radicale $V^\perp$.
 	\end{remark}
 
 	\begin{definition}[somma diretta ortogonale]
@@ -231,19 +234,19 @@
 		\end{enumerate}
 	\end{solution}
 
-	\begin{definition}
+	\begin{definition} [indici e segnatura]
 		Data una base ortogonale $\basis$ di $V$ rispetto al prodotto
 		scalare $\varphi$,
 		si definiscono i seguenti indici:
-		
 		\begin{align*}
 			\iota_+(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)} \\
 			\iota_-(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\
 			\iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp. &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)}
 		\end{align*}
 	
-		Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
-		e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
+		Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si
+		semplifica la notazione
+		scrivendo solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
 		la terna $\sigma(\varphi) = \sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del
 		prodotto $\varphi$.
 	\end{definition}
@@ -272,7 +275,8 @@
 		la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
 		tesi. \\
 		
-		Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
+		Sia ora $\basis$ una qualsiasi base ortogonale di $V$.
+		Siano inoltre $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
 		positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello
 		dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+ = \Span(\vv 1, ..., \vv a)$, $W_- = \Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0 = \Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\
 		
@@ -294,34 +298,42 @@
 	\begin{definition}
 		Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la
 		matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
-		vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente
+		vista nell'enunciato del teorema di Sylvester. Analogamente
 		si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}.
 	\end{definition}
 
 	\begin{remark} \nl
-		\li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica
-		come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal
-		momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\
-		\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
-		entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
-		della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
+		\li Come conseguenza del teorema di Sylvester reale, si osserva che la segnatura di una matrice simmetrica reale
+		è invariante per cambiamento di base, se la base è ortogonale. \\
+
+		\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, queste sono
+		entrambe congruenti alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo
 		la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
 		tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni
-		base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli
+		base ortogonale di due matrici congruenti deve contenere gli
 		stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori
 		di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\
+
 		\li Se $\ww 1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base
-		ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come
+		ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. \\
+		
+		Infatti, come
 		visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale
-		che	$\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$. Inoltre,
-		se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k
+		che	$\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$.
+		Sia allora la base $\basis = \{\ww 1, \ldots, \ww k, \vv{k+1}, \ldots, \vv n\}$ un'estensione di $\{\ww 1, \ldots, \ww k\}$. Se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k
 		\alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i + \sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i)
-		= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi
-		$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
-		\li Vale in particolare che $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$, mentre
-		$\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. \\
-		\li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
-			analogamente per gli altri indici.
+		= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$ (dove $\alpha_i$ e $\beta_i \in \KK$ rappresentano la $i$-esima coordinata di $\w$ e $\v$ nella base $\basis$), e quindi
+		$W \subseteq V^\perp$. Si conclude allora, tramite l'uguaglianza
+		dimensionale, che $W = V^\perp$. \\
+
+		\li Poiché $\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, vale in particolare che $\rg(\varphi) = n - \iota_0 = \iota_+ + \iota_-$ (infatti vale che $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$, dal momento che $n$ rappresenta il numero di elementi di una base ortogonale). \\
+
+		\li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$.
+		Analogamente vale la stessa cosa per gli altri indici. Infatti,
+		prese due basi ortogonali $\basis_U$, $\basis_W$ di $U$ e $W$,
+		la loro unione $\basis$ è una base ortogonale di $V$. Pertanto
+		il numero di vettori della base $\basis$ con forma quadratica positiva
+		è esattamente $\iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$.
 	\end{remark}
 
 	\begin{definition}[isometria tra due spazi vettoriali]

Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex

@@ -300,7 +300,7 @@
 	\begin{definition} [applicazione affine] Si definisce \textbf{applicazione affine} da $E$ a $E'$ un'applicazione $\varphi : E \to E'$
 		che conservi le combinazioni affini, ossia tale che:
 		
-		\[ \varphi\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i \right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \varphi(P_i), \quad \se \sum_{i=1}^k \lambda_i = 0. \]
+		\[ \varphi\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i \right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \, \varphi(P_i), \quad \se \sum_{i=1}^k \lambda_i = 0. \]
 	\end{definition}
 	
 	\begin{remark}\nl