mirror of https://github.com/hearot/notes
feat(eps): aggiunge la scheda riassuntiva
parent
f3b74ada6f
commit
9f02dedec5
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# [Elementi di probabilità e statistica](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57989)
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- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57989)
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- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=10338931::::&ri=015863)
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Il corso di Elementi di probabilità e statistica (EPS) è ancora in corso, dunque questa cartella vedrà ancora aggiornamenti per il momento.
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Questa cartella contiene in particolar modo una *Scheda riassuntiva*, che, come suggerisce il nome, è un recap completo di tutta la
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teoria del corso. Tale scheda include inoltre le tabelle numeriche più utili per lo svolgimento degli esercizi.
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Questo progetto non sarebbe mai stato realizzabile senza il meraviglioso
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aiuto di alcuni miei amici e colleghi, che ora elenco:
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- [Avio Baccioli](mailto:aviobac@gmail.com),
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- [Federico Volpe](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~volpe/),
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- [Mario Zito](mailto:m.zito12@studenti.unipi.it).
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Il progetto si basa su un layout di [Luca Lombardo](https://lukefleed.xyz/), utilizzato in particolare nelle [Schede riassuntive di Geometria 2](https://github.com/lukefleed/G2-cheat-sheet), basate sulle [dispense-capolavoro](https://www.overleaf.com/read/vsdktbwrgpth) di [Francesco Sorce](mailto:f.sorce@studenti.unipi.it).
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File diff suppressed because it is too large
Load Diff
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\documentclass[10pt]{report}
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\input{preamble.tex}
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%PER CAMBIARE I MARGINI
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%\usepackage[margin=2cm]{geometry}
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%----------- Setup stilistico ----------------
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\renewcommand\thefootnote{\textcolor{blue}{\arabic{footnote}}}
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\renewcommand{\chaptername}{Parte}
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\addto\captionsitalian{\renewcommand{\chaptername}{Parte}}
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\title{\Huge{Schede riassuntive di \\ \textit{Elementi di Probabilità e Statistica}}}
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\date{A.A. 2023-2024 \\[0.6in] Ultimo aggiornamento: \today}
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\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{multicols*}{2}
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\tableofcontents
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\end{multicols*}
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\newpage
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\input{sections/0-notazioni.tex}
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\input{sections/0-prerequisiti.tex}
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\input{sections/0-identità-somme.tex}
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\input{sections/1-spazi-in-generale.tex}
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\input{sections/2-probabilità-discreta.tex}
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\input{sections/tabella-modelli-discreti.tex}
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\input{sections/tabella-phi.tex}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,160 @@
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\usepackage[top=1.5cm,bottom=1.5cm,left=1.5cm,right=1.5cm]{geometry}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[italian]{babel}
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\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm,stmaryrd}
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\usepackage{mathrsfs} % per mathscr
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\usepackage{graphicx}% ruota freccia per le azioni
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\usepackage{marvosym}% per il \Lightning
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\usepackage{array}
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\usepackage{faktor} % per gli insiemi quoziente
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\usepackage[colorlinks=false]{hyperref}
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\usepackage{xparse} % Per nuovi comandi con tanti input opzionali
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\usepackage{relsize} % per \mathlarger
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\usepackage{tikz-cd}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{fourier}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{soul}
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\usepackage{nicefrac}
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\usepackage{longtable}
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\usepackage{pdflscape}
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\newtheorem*{warn}{\warning \; Attenzione}
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\newtheoremstyle{customth}
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{\topsep}{\topsep}
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{\itshape}{}{\bfseries}{.}{\newline}{}
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\newtheoremstyle{customdef}
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{\topsep}{\topsep}
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{\normalfont}{}{\bfseries}{.}{\newline}{}
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\newtheoremstyle{customrem}
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{\topsep}{\topsep}
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{\normalfont}{}{\itshape}{.}{\newline}{}
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\usepackage{fourier}
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\theoremstyle{customth}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario}
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\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione}
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\newtheorem{fact}[theorem]{Fatto}
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\newtheorem{application}[theorem]{Applicazione}
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\theoremstyle{customrem}
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\newtheorem{remark}[theorem]{Osservazione\,}
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\theoremstyle{customdef}
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\newtheorem{definition}[theorem]{Definizione}
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\newtheorem{notation}[theorem]{Notazione}
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\newtheorem{example}[theorem]{Esempio}
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\DeclareMathOperator{\BinNeg}{BinNeg}
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\DeclareMathOperator{\Geom}{Geom}
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\DeclareMathOperator{\Poisson}{Poisson}
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\makeatletter
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\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
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\pushQED{\qed}%
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\normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
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\trivlist
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\item[\hskip\labelsep
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\itshape
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#1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
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}{%
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\popQED\endtrivlist\@endpefalse
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}
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\makeatother
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%============ Simboli standard =================
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\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\PP}{\mathcal{P}}
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\pp}{\text{p\hspace{-0.7em}\raisebox{-3.4pt}{--}}\,\,}
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\newcommand{\pbern}{\pp}
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\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
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\newcommand{\deq}{\overset{\mathrm{(d)}}{=}}
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\newcommand{\toprob}{\overset{\mathbb{P}}{\to}}
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\DeclareMathOperator{\VA}{VA}
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\DeclareMathOperator{\im}{im}
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\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
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\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
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\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\newcommand{\dx}{\mathop{dx}}
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%\setcounter{secnumdepth}{1}
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\newcommand{\groupto}{\rightrightarrows}
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\newcommand{\restr}[2]{
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#1\arrowvert_{#2}
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}
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\makeatletter
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\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
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\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
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\baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
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|
\ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
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||||||
|
\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
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|
#1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
|
||||||
|
\mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
|
||||||
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}
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||||||
|
\ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
|
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|
\makeatother
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\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
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\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}
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\newcommand{\goesup}{\nearrow}
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\newcommand{\goesdown}{\searrow}
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\newcommand{\qc}{q.c.\ \!}
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\newcommand{\va}{v.a.\ \!}
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\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
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\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
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\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
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\newcommand{\inv}{^{-1}}
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\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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%\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
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% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams.
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\RequirePackage{tikz-cd}
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% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`.
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\RequirePackage{amssymb}
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% `calc` is necessary to draw curved arrows.
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\usetikzlibrary{calc}
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% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows.
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\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
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% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
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\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
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.. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
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and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
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.. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
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settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
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\def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
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quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
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% TikZ arrowhead/tail styles.
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\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
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\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}}
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\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}}
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% TikZ arrow styles.
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\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}}
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@ -0,0 +1,54 @@
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\chapter*{Lista delle identità sulle sommatorie}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Lista delle identità sulle sommatorie}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\section*{Identità sulle sommatorie}
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\begin{itemize}
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\item $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ -- ogni scelta di $k$ oggetti corrisponde
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a non sceglierne $n-k$, e dunque vi è un principio di ``dualità''.
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\item $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ -- le combinazioni
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di $n$ oggetti in $k$ posizioni si ottengono facendo la somma delle combinazioni
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ottenute fissando un oggetto e combinando gli altri $n-1$ oggetti sui $k-1$
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posti rimanenti, e delle combinazioni ottenute ignorando lo stesso oggetto,
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ossia combinando gli altri $n-1$ oggetti su tutti e $k$ i posti.
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\item $(1 + x)^n = \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} x^i$ -- Teorema del binomio di Newton.
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\item $2^n = \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}$ -- Segue immediatamente dal Teorema del binomio di Newton; è coerente col fatto che si stanno contando le parti di $[n]$.
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\item $\sum_{i = 0}^n (-1)^i \binom{n}{i} = 0$ -- Segue immediatamente dal Teorema del binomio
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di Newton (infatti $(1-1)^n = 0$).
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\item $\sum_{i = 0}^n i \binom{n}{i} = n 2^{n-1}$ -- Segue derivando rispetto a $x$ l'identità
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del Teorema del binomio di Newton.
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\item $\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} \pp^i (1 - \pp)^{n-i} = 1$ per $\pp \in [0, 1]$ -- Segue dal Teorema del binomio di Newton.
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\item $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2 = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \binom{n}{n-i} = \binom{2n}{n}$ -- Dato un gruppo di $n$ maschi e di $n$ femmine, si vuole
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contare quanti team di $n$ persone si possono costruire prendendo persone
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da entrambi i gruppi. Chiaramente la risposta è $\binom{2n}{n}$, ma si
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può contare lo stesso numero di scelte fissando a ogni passo l'indice
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$i$, che conta il numero di maschi nel team, a cui corrispondono
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$\binom{n}{i} \binom{n}{n-i}$ scelte. L'identità segue dunque dal Principio
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del \textit{double counting}.
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\item $\sum_{i=r}^n \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1}$ -- Dato un gruppo di $r$
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persone distinguibili e di $n$ bastoni indistinguibili, per contare le possibili
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distribuzioni con cui si possono affidare gli $n$ bastoni è sufficiente applicare
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la combinazione con ripetizione, ottenendo $\binom{n+r-1}{r-1}$; un altro modo
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di far ciò è fissare $i$ bastoni da affidare a una persona fissata in precedenza
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e distribuire gli $n-i$ bastoni rimanenti tra gli altri, che a ogni $i$ si può fare in
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$\binom{n-i+k-2}{k-2}$ modi. L'identità segue dunque dal Principio del \textit{double
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counting} riparametrizzando la somma ottenuta.
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\item $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ -- Somma dei numeri da $1$ a $n$.
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\item $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ -- Somma dei quadrati da $1$ a $n$.
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\item $\sum_{i=1}^n i^3 = \left[ \sum_{i=1}^n i \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ -- Somma
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dei cubi da $1$ a $n$.
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\item $\sum_{i=0}^n a^i = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ per $a \neq 1$, $n$ altrimenti -- Somma
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delle potenze di $a$ con esponente da $0$
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a $n$.
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\item $\sum_{i=0}^n i a^i = \frac{a}{(1-a)^2} \left[1 - (n+1)a^n + na^{n+1} \right]$ -- Segue derivando la somma delle potenze.
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\item $\sum_{i=0}^n i^2 a^i = \frac{a}{(1-a)^3} \left[ (1+a) - (n+1)^2 a^n + (2n^2 + 2n-1)a^{n+1} - n^2 a^{n+2} \right]$ -- Segue
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derivando due volte la somma delle potenze.
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\item $\sum_{i=0}^\infty x^i = \frac{1}{1-x}$ per $\abs{x} < 1$ -- Serie geometrica. Deriva
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prendendo il limite per $n \to \infty$ della
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somma di potenze.
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\item $\sum_{i=0}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2}$ per $\abs{x} < 1$ -- Segue derivando la serie geometrica.
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\item $\sum_{i=0}^\infty i^2 x^i = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$ per $\abs{x} < 1$ -- Segue derivando due volte
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la serie geometrica.
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\end{itemize}
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@ -0,0 +1,198 @@
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\chapter*{Notazioni impiegate}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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\section*{Algebra lineare}
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\begin{itemize}
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\item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un
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prodotto scalare $\varphi$, $q_\varphi$ è la forma quadratica associatogli, ovverosia
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$q_\varphi(v) = \varphi(v, v)$.
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||||||
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\item $\norm{v}_{\varphi}$ -- dato uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato con
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un prodotto scalare (semi)definito positivo $\varphi$, $\norm{\cdot}_{\varphi}$ è
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la (semi)norma indotta da $\varphi$, ovverosia $\norm{v}_{\varphi} = \sqrt{q_{\varphi}(v)} = \sqrt{\varphi(v, v)}$.
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\item vettore isotropo --
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vettore che annulla la forma quadratica.
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\item vettore anisotropo -- vettore non isotropo, vettore che non annulla la forma quadratica.
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\item $\cos_\varphi(v, w)$, $\cos(v, w)$ -- dati due vettori anisotropi $v$, $w$ su uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato
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di un prodotto scalare semidefinito positivo $\varphi$, si definisce
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$\cos_\varphi(v, w)$ (o $\cos(v, w)$ se $\varphi$ è noto dal contesto) in modo tale che:
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\[
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\cos_\varphi(v, w) = \frac{\varphi(v, w)}{\norm{v}_\varphi \cdot \norm{w}_\varphi}.
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\]
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\item vettore $v$ ortogonale a $w$ per $\varphi$ -- Due vettori $v$, $w$ tali
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per cui $\varphi(v, w) = 0$.
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\item $V^\perp_{\varphi}$ -- Radicale del prodotto scalare (o hermitiano) $\varphi$
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sullo spazio $V$, ovverosia sottospazio dei vettori ortogonali ai vettori di tutto
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lo spazio.
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\item $\CI(\varphi)$ -- Sottoinsieme dei vettori di $V$ che annullano $q_{\varphi}$, ossia
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sottoinsieme dei vettori isotropi.
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\item $C_{\varphi}(v, w)$ -- coefficiente di Fourier di
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$v$ rispetto a $w$, ossia $C(v, w) \defeq \frac{\varphi(v, w)}{\varphi(v, v)}$.
|
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\end{itemize}
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|
\section*{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item $f(A_i) \goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
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in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
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\item $f(A_i) \goesdown x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
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in $\RR$ è decrescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
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\item esponente coniugato di $p$ -- per $p > 1$, l'esponente coniugato
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$p'$ di $p$ è un numero reale $p' > 1$ tale per cui:
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\[
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\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1.
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\]
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\item $\norm{x}_p$ -- norma $p$-esima del vettore $x \in \RR^n$, ovverosia:
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\[
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\norm{x}_p = \left(\sum_{i \in [n]} \abs{x_i}^p\right)^\frac{1}{p}.
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\]
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Per $p = 2$, si scrive semplicemente $\norm{x}$, e coincide con la norma
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indotta dal prodotto scalare canonico di $\RR^n$.
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\item $f > g$ -- Per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione
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corrisponde a dire che per un qualsiasi punto del dominio $x$, $f(x) > g(x)$. Si estende naturalmente a $<$, $\geq$, $\leq$ (eventualmente con
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catene di disuguaglianze). Da non
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confondersi con l'insieme $f > g$.
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\item $a$ -- Per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$;
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la sua interpretazione dipende dal contesto.
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\item $f^+$ -- Parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
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$f^+(a)$ è uguale a $f(a)$ se $f(a) \geq 0$ e $0$ altrimenti.
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\item $f^-$ -- Parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
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$f^-(a)$ è uguale a $-f(a)$ se $f(a) \leq 0$ e $0$ altrimenti. In questo
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modo $f = f^+ - f^-$.
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\item $\exp$ -- Funzione esponenziale $e^x$.
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\item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- Logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$.
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\end{itemize}
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\section*{Combinatoria}
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\begin{itemize}
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\item $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo
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$k$ elementi tra $n$ oggetti.
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\item $\binom{n}{k} = C_{n,k}$ -- il coefficiente binomiale $n$ su $k$,
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ovverosia il numero di combinazioni possibili prendendo $k$ elementi tra $n$ oggetti; equivale a $\frac{n!}{(n-k)!k!} = D_{n,k}/k!$. Alternativamente,
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il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi in $[n]$.
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\item $S(I)$ -- gruppo simmetrico relativo a $I$, gruppo delle permutazioni
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di $I$.
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\item $S_n$ -- $n$-esimo gruppo simmetrico, gruppo delle permutazioni
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di $[n]$.
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\end{itemize}
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\section*{Teoria degli insiemi}
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\begin{itemize}
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\item $\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme
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dei sottoinsiemi di $\Omega$.
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\item $A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con
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l'ipotesi che $A \cap B = \emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a
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una famiglia di insiemi a due a due disgiunti).
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\item $A \Delta B = A \setminus B \cupdot B \setminus A$ -- differenza simmetrica
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tra $A$ e $B$.
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\item $[n]$ -- l'insieme $\{1, \ldots, n\}$.
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\item $\prod_{i \in I} S_i$ con $S_i$ insieme e $I$ ordinato -- prodotto cartesiano degli $S_i$, ordinato secondo $I$.
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\item $[[n]]$ -- l'insieme $\{0, \ldots, n\} = \{0\} \cup [n]$.
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\item $\#A$, $\abs{A}$ -- numero di elementi di $A$, o semplicemente la cardinalità di $A$.
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\item insieme finito -- insieme in bigezione con $[n]$ per qualche $n \in \NN$.
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\item insieme numerabile -- insieme in bigezione con $\NN$.
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\item $A_i \goesup A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è crescente e ha
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come limite $A$, ovverosia $A_i \subseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e
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$\bigcup_{i \in \NN} A_i = A$.
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\item $A_i \goesdown A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è decrescente e ha
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come limite $A$, ovverosia $A_i \supseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e
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$\bigcap_{i \in \NN} A_i = A$.
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\item $\omega_i$ -- $i$-esima coordinata di $\omega \in \Omega$, se
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$\Omega$ è un prodotto cartesiano di finiti termini o di un numero
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numerabile di termini.
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\item $A^1 \defeq A$ -- useremo questa notazione per comodità.
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\item $A^c$ -- il complementare di $A$ riferito a $\Omega$, quindi $\Omega \setminus A$, in modo tale che $\Omega = A \cupdot A^c$.
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\item $X\inv(A)$ -- controimmagine dell'insieme $A \subseteq C$ in riferimento
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alla funzione $X : D \to C$, ovverosia $X\inv(A) = \{\omega \in D \mid X(\omega) \in A\}$.
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\item $S_X$, $\im X$ -- immagine della funzione $X$.
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\item $\supp X$ -- supporto di $X$, ovverosia sottoinsieme del
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dominio degli elementi che non annullano $X$.
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\item $1_A$, $I_A$ -- funzione indicatrice di $A$, ovverosia la
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funzione $1_A : B \to [[1]] \subseteq \RR$ riferita ad $A \subseteq B$
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tale per cui:
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\[
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1_A(b) = \begin{cases}
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1 & \text{se } b \in A, \\
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0 & \text{altrimenti}.
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\end{cases}
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\]
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\item $\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano
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più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione
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$f : A \to B$ e una $g : A \to C$).
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\end{itemize}
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\section*{Probabilità e teoria della misura}
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\begin{itemize}
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\item $\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato.
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\item $\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau \subseteq \PP(\Omega)$.
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\item $\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia
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$\tau = \{A_1, \ldots, A_n\} \subseteq \PP(\Omega)$.
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\item $\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi.
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\item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile.
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\item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
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\item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
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\item \qc -- quasi certo/quasi certamente.
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\item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta.
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\item \va -- variabile aleatoria.
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\item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
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\item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.
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\item $X \in A$ -- per una \va $X : \Omega \to S$,
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$X \in A$ è l'insieme $X\inv(A)$. Si estende naturalmente
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al caso $\notin$.
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\item $X = a$ -- per una \va $X : \Omega \to S$,
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$X = a$ è l'insieme $X\inv(a)$. Si estende naturalmente
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al caso $\neq$.
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\item $X = Y$ -- per due \va $X, Y : \Omega \groupto S$
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l'insieme $\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = Y(\omega) \}$.
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Si estende naturalmente al caso $\neq$ e in modo analogo a $>$, $<$, $\leq$, $\geq$.
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\item $X > a$ -- per una \va reale $X : \Omega \to \RR$,
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$X > a$ è l'insieme $X\inv((a, \infty))$; per una \va discreta
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$X : \Omega \to \RR$ è l'insieme $X\inv(\{m \in \NN \mid m > a\})$.
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Si estende naturalmente ai casi $<$, $\leq$, $\geq$ (eventualmente
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anche con una catena di disuguaglianze). Da non confondersi con
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l'affermazione $X > a$ per $X$ a valori reali.
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\item $\varphi(X)$ -- per una \va, la composizione $\varphi \circ X$.
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\item $\deq$, $\sim$ -- per due v.a.~$X, Y : \Omega_1, \Omega_2 \groupto S$
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indica l'uguaglianza di legge, ovverosia $P_{\Omega_1}^X = P_{\Omega_2}^Y$.
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\item i.d.~-- identicamente distribuite; utilizzato in relazione a un gruppo
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di v.a.~che condividono la stessa legge (spesso rispetto a uno stesso $\Omega$).
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\item i.i.d.~-- indipendenti e identicamente distribuite; utilizzato in relazione
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a un gruppo di v.a.~indipendenti che condividono la stessa legge (spesso rispetto
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a uno stesso $\Omega$).
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\item $(X_i)_{i \in I}$ -- famiglia di v.a., oppure v.a.~congiunta.
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\item $(X_1, \ldots, X_n)$ -- per una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in [n]}$ di
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v.a.~indica la v.a.~congiunta (multivariata) $(X_1, \ldots, X_n) : \Omega \to \prod_{i \in [n]} S_i$, $\omega \mapsto (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$. Se la
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famiglia è composta da due variabili, si dice anche \textit{coppia bivariata}.
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\item $P(A, B) \defeq P(A \cap B)$ -- notazione introdotta per scrivere
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più comodamente $P(X = x, Y = y)$ in luogo di $P((X = x) \cap (Y = y))$. Si
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generalizza in modo naturale a più eventi.
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\item $L(A, B) \defeq \frac{P(A \mid B)}{P(A)}$ -- rapporto di influenza tra
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$A$ e $B$.
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\item $\bigotimes_{i \in [n]} P_i = P_1 \otimes \cdots \otimes P_n$ --
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Date $P_i$ probabilità su $S_i$ discreto, $P_1 \otimes \cdots \otimes P_n \defeq P$ è la misura di probabilità naturale su $\prod_{i \in [n]} S_i$ tale per cui
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le proiezioni $\pi_i$ siano v.a.~discrete indipendenti e per cui
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$P(\pi_i = x_i) = p_i(x_i)$ per ogni $x_i \in S_i$, $i \in [n]$.
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\item $\EE[X]$ -- valore atteso di $X$.
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\item $\EE[X \mid A] = \defeq \frac{\EE[X \cdot 1_A]}{P(A)}$ -- valore atteso di $X$
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condizionato a $A$.
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\item $\Cov(X, Y) \defeq \EE[(X - \EE[X])(Y - \EE[Y])]$ -- covarianza di $X$ e $Y$.
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\item $\Var(X) \defeq \Cov(X, X)$ -- varianza di $X$.
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\item $\sigma(X) \defeq \sqrt{\Var(X)}$ -- deviazione standard di $X$.
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\item $\rho(X, Y)$ -- coefficiente
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di correlazione di Pearson, ovverosia
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$\cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}$.
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\item $a^*$, $b^*$ -- date due
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v.a.~$X$, $Y$, $a^*$ e $b^*$ sono
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i parametri della retta di
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regressione $y = a^*x + b^*$.
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\item $I(t)$ -- trasformata di Cramer.
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\item LGN - Legge dei Grandi Numeri.
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\item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite.
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\item $m$, $\sigma$ -- spesso nel contesto
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della LGN e del TCL si usa $m$ per
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indicare $\EE[X_1]$ e $\sigma$ per
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indicare $\sigma(X_1)$.
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\end{itemize}
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\end{multicols*}
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@ -0,0 +1,138 @@
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\chapter*{Prerequisiti matematici}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Prerequisiti matematici}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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\section*{Algebra lineare}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz} -- Se $\varphi(\cdot, \cdot)$
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è un prodotto scalare (o hermitiano) definito positivo su uno spazio vettoriale $V$, allora vale la seguente disuguaglianza:
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\[
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\varphi(v, v) \varphi(w, w) \geq \abs{\varphi(v, w)}^2 , \quad \forall v, w \in V.
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|
\]
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Inoltre vale l'uguaglianza se e solo se $v$ è multiplo di $w$, o viceversa. Per
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prodotti semidefiniti positivi la disuguaglianza vale ugualmente, ma in
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tal caso $v$ si scrive come somma di un vettore del cono isotropo e del prodotto di $w$ per uno scalare.
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\item \textbf{Proprietà di $\cos(v, w)$} -- Vale che $\cos(v, w) \in [-1, 1]$ per
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ogni $v$, $w \in V$ in spazi vettoriali reali dove $\cos$ è ben definito. Segue
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dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
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\end{itemize}
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\section*{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Limite delle successioni monotone} -- Se una successione
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$(a_i)_{i \in \NN}$ è monotona, allora ammette limite. Se $(a_i)_{i \in \NN}$
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è crescente, allora $a_i \to \sup\{a_i \mid i \in \NN\}$ per $i \to \infty$ (e
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dunque converge se la successione è limitata dall'alto); se
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$(a_i)_{i \in \NN}$ è decrescente, allora $a_i \to \inf\{a_i \mid i \in \NN\}$ per $i \to \infty$ (e dunque converge se la successione è limitata dal basso).
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|
\item \textbf{Convergenza delle serie a termini positivi} -- Se una serie è
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a termini positivi, allora la successione delle somme parziali è crescente,
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e dunque la serie ammette come valore un valore reale o $\infty$.
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\item \textbf{Convergenza assoluta} -- Se una serie $\sum_{i \in \NN} \abs{a_i}$ converge
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(l'unica altra opzione è che diverga, per la proprietà sopracitata), allora
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$\sum_{i \in \NN} a_i$ converge. Non è vero il viceversa in generale.
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\item \textbf{Disuguaglianza di Jensen} -- Sia $f : \RR \supseteq S \to \RR$ una funzione convessa a
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valori reali. Allora vale che:
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\[
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f\left(\sum_{i \in [n]} a_i x_i\right) \leq \sum_{i \in [n]} a_i f(x_i), \quad \sum_{i \in [n]} a_i = 1, x_i.
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\]
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|
Se invece $f$ è concava, vale la disuguaglianza con $\geq$ al posto di $\leq$.
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\item \textbf{Disuguaglianza di Young} -- Sia $p \geq 1$ e sia $p'$ il
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suo esponente coniugato. Allora vale che:
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\[
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ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^p}{p}, \forall a, b > 0.
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\]
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||||||
|
Segue dalla disuguaglianza di Jensen applicata a $e^x$, che è convessa.
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||||||
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\item \textbf{Disuguaglianza di Hölder} -- Sia $p > 1$ e sia $p'$ il
|
||||||
|
suo esponente coniugato. Allora vale che:
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||||||
|
\[
|
||||||
|
\sum_{i \in [n]} \abs{x_i y_i} \leq \norm{x}_p \norm{y}_p, \quad \forall x, y \in \RR^n, \forall n \in \NN.
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||||||
|
\]
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||||||
|
Per $p = 2$, è equivalente alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz sul
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prodotto scalare canonico di $\RR^n$. Segue dalla disuguaglianza di Young.
|
||||||
|
\item \textbf{Disuguaglianza sulle potenze} -- Siano $x$, $y \in \RR$ e sia
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|
$p \geq 1$. Allora vale che:
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\[
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\abs{x+y}^p \leq 2^{p-1} (\abs{x}^p + \abs{y}^p).
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||||||
|
\]
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||||||
|
Segue dalla disuguaglianza di Jensen applicata a $f(t) = t^p$ per
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$\abs{x}$ e $\abs{y}$ ($t^p$ è convessa per $t \geq 0$).
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\end{itemize}
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\section*{Combinatoria}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Principio di \textit{double counting}} -- Principio di dimostrazione per il quale
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se vi sono due modi diversi, ma equivalenti, di contare lo stesso numero di scelte
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di un qualsiasi sistema, allora le formule ricavate dai due modi devono
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essere identicamente uguali.
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\item \textbf{Principio di inclusione-esclusione} -- Teorema da cui discende che per $(A_i)_{i \in [n]}$ vale che: \[\abs{\bigcup_{i \in [n]} A_i} = \sum_{j \in [n]} (-1)^{j+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_j \leq n} \abs{\bigcap_{k \in [j]} A_{i_k}}.\]
|
||||||
|
Inoltre vale che $\abs{\bigcup_{i \in [n]} A_i} = \sum_{i \in [n]} \abs{A_i}$ se e solo se gli $A_i$ sono a due a due disgiunti. Per $n = 2$,
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||||||
|
$\abs{A \cup B} = \abs{A} + \abs{B} - \abs{A \cap B}$.
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||||||
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\item \textbf{Principio della piccionaia} (\textit{Pigeonhole principle}) -- Teorema che
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asserisce che per ogni funzione $f : [n+1] \to [n]$ esistono $i$, $j \in [n+1]$
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tali per cui $f(i) = f(j)$. Più informalmente, se si hanno $n+1$ oggetti da
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||||||
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posizionare in $n$ buchi, esiste per forza un buco con due oggetti.
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||||||
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\item \textbf{Principio della piccionaia generalizzato} -- Teorema che asserisce che
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per ogni funzione $f : [kn+1] \to [n]$ esistono $k+1$ elementi di $[kn+1]$ che
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||||||
|
condividono la stessa immagine. Più informalmente, se si hanno $kn+1$ oggetti
|
||||||
|
da posizionare in $n$ buchi, esiste per forza un buco con $k+1$ oggetti. Segue per
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||||||
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induzione dal Principio della piccionaia.
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||||||
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\item \textbf{Principio moltiplicativo} -- Se una scelta può essere fatta in $N$
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passi e all'$i$-esimo passo corrispondono $n_i$ scelte, allora la scelta globale
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può essere fatta in $\prod_{i \in [N]} n_i$ modi.
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||||||
|
\item \textbf{Permutazioni di $n$ oggetti} -- Dati $n$ oggetti, esistono
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||||||
|
$n!$ modi di permutarli. Segue dal Principio moltiplicativo.
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||||||
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\item \textbf{Disposizioni semplici di $n$ oggetti in $k$ posti} -- Dati $n$ oggetti
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||||||
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e $k$ posti, allora esistono $D_{n,k}$ modi di disporre gli $n$ oggetti nei
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||||||
|
$k$ posti se $k \leq n$. Se $k = n$, ci si riduce a contare le permutazioni.
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||||||
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\item \textbf{Disposizioni con ripetizione di $n$ oggetti in $k$ posti} -- Dati
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||||||
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$n$ oggetti e $k$ posti, allora esistono $n^k$ modi di disporre con ripetizione gli $n$ oggetti
|
||||||
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nei $k$ posti. Segue dal Principio moltiplicativo.
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||||||
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\item \textbf{Combinazioni di $n$ oggetti in $k$ posti} -- Dati $n$ oggetti
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||||||
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e $k$ posti, allora esistono $C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ modi di disporre gli $n$ oggetti nei
|
||||||
|
$k$ posti non facendo contare l'ordine, se $k \leq n$. Segue dal Principio
|
||||||
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moltiplicativo.
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||||||
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\item \textbf{Combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti in $k$ buchi} -- Data
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||||||
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l'equazione $x_1 + \ldots + x_k = n$ con $x_i \in \NN$, esistono esattamente
|
||||||
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$\binom{n+k-1}{k-1}$ soluzioni. Alternativamente, data la disequazione
|
||||||
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$x_1 + \ldots + x_k \leq n$ con $x_i \in \NN$, esistono esattamente
|
||||||
|
$\binom{n+k}{k}$ soluzioni (dacché ha le stesse soluzioni di
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||||||
|
$x_1 + \ldots + x_k + y = n$, dove $y \in \NN$). È un'applicazione di una
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||||||
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tecnica combinatorica standard denominata \textit{stars and bars}.
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||||||
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\item \textbf{Numero di scelte possibili per un'estrazione di $n$ palline rosse e nere da un insieme di $N_1$ palline rosse unito a un insieme di $N-N_1$ palline nere} -- Se $k$ è il numero di palline rosse estratte, le scelte possibili sono
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||||||
|
$\binom{N_1}{k} \binom{N - N_1}{n-k}$. Si può generalizzare il problema a
|
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un insieme di $N$ palline divise in $m$ gruppi da $N_i$ palline ciascuno
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(e dunque $\sum_{i \in [m]} N_i = N$) dove se ne estrae $n$ e $k_i$ è il
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numero di palline estratte dall'$i$-esimo gruppo (dunque $\sum_{i \in [m]} k_i = n$;
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in tal caso le scelte possibili sono $\prod_{i \in [m]} \binom{N_i}{k_i}$. Segue
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dal Principio moltiplicativo.
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\item \textbf{Identità sulle cardinalità}
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\begin{itemize}
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\item $\#\{(a_1, \ldots, a_n) \in [k]^n \mid a_1 < a_2 < \ldots < a_n\} = \binom{n}{k}$ se $k \leq n$ -- Infatti data una classe di disposizione, esiste un unica lista ordinata
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in tale classe.
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\item $\#\{(a_1, \ldots, a_n) \in [k]^n \mid a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\} = \binom{n + k - 1}{k - 1}$. -- È sufficiente osservare che si sta
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contando esattamente le combinazioni con ripetizione in perfetta analogia con la precedente
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cardinalità.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\section*{Teoria degli insiemi}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Leggi di De Morgan} -- Se $A$ e $B$ sono insiemi, allora
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$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ e $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
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\item \textbf{Operazioni con $X\inv$ controimmagine} -- Se $X : D \to C$ è
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una funzione e $\FF = (A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di sottoinsiemi di $C$, allora vale che $X\inv(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} X\inv(A_i)$,
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$X\inv(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} X\inv(A_i)$,
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$X\inv(A_i^c) = X\inv(A_i)^c$, ovverosia $X\inv$ commuta con unioni ($\cup$),
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intersezioni ($\cap$) e complementare ($^c$). $X\inv(\emptyset) = \emptyset$, e dunque $A_i \cap A_j = \emptyset \implies X\inv(A_i) \cap X\inv(A_j) = \emptyset$.
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Inoltre per $Y : C \to C'$ vale che $(Y \circ X)\inv(A) = X\inv(Y\inv(A))$,
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per $A \subseteq C'$.
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\end{itemize}
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\end{multicols*}
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\begin{landscape}
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\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete}
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\begin{table}[htb]
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\scalebox{0.74}{
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\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
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Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità discreta & Valore atteso & Momento secondo & Varianza \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. di Bernoulli\\ $X \sim B(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Esperimento con esito\\ di successo ($1$) o\\ insuccesso ($0$).\end{tabular} & $\pp$ -- probabilità di successo. & $P(X=1) = \pp$, $P(X=0) = 1-\pp$ & $\EE[X] = \pp$ & $\EE[X^2] = \pp$ & $\Var(X) = \pp(1-\pp)$ \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ $X \sim B(n, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di $n$ esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta il numero di successi.\\ $X$ è in particolare somma di $n$\\ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$n$ -- numero di esperimenti\\ $\pp$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{n}{k}{\pp}^k (1-\pp)^{n-k}$\\ per $0 \leq k \leq n$ e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = n \pp$\\ (è somma di $n$ Bernoulliane)\end{tabular} & $\EE[X^2] = n \pp + n(n-1)\pp^2$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = n \pp(1-\pp)$\\ (è somma di $n$\\ Bernoulliane indipendenti)\end{tabular} \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ negativa\\ $X \sim \BinNeg(h, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha l'$h$-esimo successo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$h$ -- numero dei successi da misurare\\ $\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{k-1}{h-1} \pp^h (1-\pp)^{k-h}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{h}{\pp}$\\ (è somma di $h$ Geometriche)\end{tabular} & $\EE[X^2] = \frac{h(1+h-\pp)}{\pp^2}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = \frac{h(1-\pp)}{\pp^2}$ \\ (è somma di $h$\\Geometriche indipendenti)\end{tabular} \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. geometrica\\ $X \sim \Geom(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha il primo successo. È pari a\\ $\BinNeg(1, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ all'$i$-esimo esperimento.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \pp (1-\pp)^{k-1}$ per\\ $k \geq 1$ e $0$ per $k=0$.\end{tabular} & $\EE[X] = \frac{1}{\pp}$ & $\EE[X^2] = \frac{2-\pp}{\pp^2}$ & $\Var(X) = \frac{1-\pp}{\pp^2}$ \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. ipergeometrica\\ $X \sim H(N, N_1, n)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In un'estrazione di $n$ palline in\\ un'urna di $N$ palline, di cui\\ $N_1$ sono rosse, $X$ conta\\ il numero di palline rosse estratte.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N$ -- numero di palline nell'urna\\ $N_1$ -- numero di palline rosse\\ nell'urna\\ $n$ -- numero di palline estratte\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \frac{\binom{N_1}{k} \binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & & & \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distri.di Poisson\\ (o degli eventi rari)\\ $X \sim \Poisson(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una sequenza di $n \gg 1$\\ esperimenti di parametro $\pp \ll 1$\\ con $n \pp \approx \lambda$,\\ $X$ misura il numero di successi.\\ Si può studiare come distribuzione\\ limite della distribuzione binomiale.\end{tabular} & $\lambda$ -- tasso di successo. & $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ & $\EE[X] = \lambda$ & $\EE[X^2] = 2\lambda$ & $\Var(X) = \lambda$ \\ \hline
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\end{tabular}}
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\end{table}
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Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:
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\small
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\begin{itemize}
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\item Una somma di $n$ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$ si
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distribuisce come $B(n, \pp)$.
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\item Se $X \sim B(n, \pp)$ e $Y \sim B(m, \pp)$ sono indipendenti, $X + Y$ si distribuisce come $B(n + m, \pp)$.
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\item Se $X \sim \Poisson(\lambda)$ e $Y \sim \Poisson(\mu)$ sono indipendenti,
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$X + Y$ si distribuisce come $\Poisson(\lambda + \mu)$.
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\item Se $X \sim \Geom(\pp)$, allora $P(X = \infty) = 0$\footnote{
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Ovverosia la probabilità che non vi siano mai successi è nulla.
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}. Da ciò si deduce che $P(X > k) = (1-\pp)^k$.
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\item Una $X \sim \BinNeg(h, \pp)$ è
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somma di $h$ v.a.~i.i.d.~distribuite
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come $\Geom(\pp)$.
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\item Una v.a.~$X$ sui numeri naturali si dice che ha la \textit{proprietà di perdita di memoria} se $P(X > n + k \mid X > k) = P(X > n)$. Una v.a.~ha
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la proprietà di perdita della memoria se e solo se è distribuita come
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la distribuzione geometrica.
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\end{itemize}
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\end{landscape}
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\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard}
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Per $a \in \RR$ si definisce la funzione $\Phi(a) = \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$. L'integrale $\Phi(\infty) \defeq \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$ vale
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esattamente $1$, mentre $\Phi(-\infty) \defeq 0$. Per la parità di $e^{-\nicefrac{x^2}{2}}$ vale che $\Phi(a) = 1 - \Phi(-a)$ (\textbf{simmetria}). A partire da questa funzione si può calcolare
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$\int_{a}^b e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$, che risulta essere $\Phi(b) - \Phi(a)$. Se
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$a > 0$, allora $\int_{-a}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx = \Phi(a) - \Phi(-a) = 2\Phi(a) - 1$.
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\begin{longtable}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
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\caption{Tabella $z$ di alcuni valori di $\Phi(x)$ per $x$ \textit{non negativo}. Per $x$ \textit{negativo} utilizzare \textbf{simmetria}. Si prendono le cifre fino al decimo e si legge la riga corrispondente, in base al centesimo si individua poi l'approssimazione da usare.} \label{tab:phi} \\
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\endfirsthead
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\endhead
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\hline \multicolumn{3}{|r|}{{Continued on next page}} \\ \hline
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\endfoot
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\hline
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\endlastfoot
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z & 0 & 0,01 & 0,02 & 0,03 & 0,04 & 0,05 & 0,06 & 0,07 & 0,08 & 0,09 \\
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0 & 0,5 & 0,50399 & 0,50798 & 0,51197 & 0,51595 & 0,51994 & 0,52392 & 0,5279 & 0,53188 & 0,53586 \\
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0,1 & 0,53983 & 0,5438 & 0,54776 & 0,55172 & 0,55567 & 0,55962 & 0,56356 & 0,56749 & 0,57142 & 0,57535 \\
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0,2 & 0,57926 & 0,58317 & 0,58706 & 0,59095 & 0,59483 & 0,59871 & 0,60257 & 0,60642 & 0,61026 & 0,61409 \\
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0,3 & 0,61791 & 0,62172 & 0,62552 & 0,6293 & 0,63307 & 0,63683 & 0,64058 & 0,64431 & 0,64803 & 0,65173 \\
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0,4 & 0,65542 & 0,6591 & 0,66276 & 0,6664 & 0,67003 & 0,67364 & 0,67724 & 0,68082 & 0,68439 & 0,68793 \\
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0,5 & 0,69146 & 0,69497 & 0,69847 & 0,70194 & 0,7054 & 0,70884 & 0,71226 & 0,71566 & 0,71904 & 0,7224 \\
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0,6 & 0,72575 & 0,72907 & 0,73237 & 0,73565 & 0,73891 & 0,74215 & 0,74537 & 0,74857 & 0,75175 & 0,7549 \\
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0,7 & 0,75804 & 0,76115 & 0,76424 & 0,7673 & 0,77035 & 0,77337 & 0,77637 & 0,77935 & 0,7823 & 0,78524 \\
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0,8 & 0,78814 & 0,79103 & 0,79389 & 0,79673 & 0,79955 & 0,80234 & 0,80511 & 0,80785 & 0,81057 & 0,81327 \\
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0,9 & 0,81594 & 0,81859 & 0,82121 & 0,82381 & 0,82639 & 0,82894 & 0,83147 & 0,83398 & 0,83646 & 0,83891 \\
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1 & 0,84134 & 0,84375 & 0,84614 & 0,84849 & 0,85083 & 0,85314 & 0,85543 & 0,85769 & 0,85993 & 0,86214 \\
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1,1 & 0,86433 & 0,8665 & 0,86864 & 0,87076 & 0,87286 & 0,87493 & 0,87698 & 0,879 & 0,881 & 0,88298 \\
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1,2 & 0,88493 & 0,88686 & 0,88877 & 0,89065 & 0,89251 & 0,89435 & 0,89617 & 0,89796 & 0,89973 & 0,90147 \\
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1,3 & 0,9032 & 0,9049 & 0,90658 & 0,90824 & 0,90988 & 0,91149 & 0,91309 & 0,91466 & 0,91621 & 0,91774 \\
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1,4 & 0,91924 & 0,92073 & 0,9222 & 0,92364 & 0,92507 & 0,92647 & 0,92785 & 0,92922 & 0,93056 & 0,93189 \\
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1,5 & 0,93319 & 0,93448 & 0,93574 & 0,93699 & 0,93822 & 0,93943 & 0,94062 & 0,94179 & 0,94295 & 0,94408 \\
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1,6 & 0,9452 & 0,9463 & 0,94738 & 0,94845 & 0,9495 & 0,95053 & 0,95154 & 0,95254 & 0,95352 & 0,95449 \\
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1,7 & 0,95543 & 0,95637 & 0,95728 & 0,95818 & 0,95907 & 0,95994 & 0,9608 & 0,96164 & 0,96246 & 0,96327 \\
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1,8 & 0,96407 & 0,96485 & 0,96562 & 0,96638 & 0,96712 & 0,96784 & 0,96856 & 0,96926 & 0,96995 & 0,97062 \\
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1,9 & 0,97128 & 0,97193 & 0,97257 & 0,9732 & 0,97381 & 0,97441 & 0,975 & 0,97558 & 0,97615 & 0,9767 \\
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2 & 0,97725 & 0,97778 & 0,97831 & 0,97882 & 0,97932 & 0,97982 & 0,9803 & 0,98077 & 0,98124 & 0,98169 \\
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2,1 & 0,98214 & 0,98257 & 0,983 & 0,98341 & 0,98382 & 0,98422 & 0,98461 & 0,985 & 0,98537 & 0,98574 \\
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2,2 & 0,9861 & 0,98645 & 0,98679 & 0,98713 & 0,98745 & 0,98778 & 0,98809 & 0,9884 & 0,9887 & 0,98899 \\
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2,3 & 0,98928 & 0,98956 & 0,98983 & 0,9901 & 0,99036 & 0,99061 & 0,99086 & 0,99111 & 0,99134 & 0,99158 \\
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2,4 & 0,9918 & 0,99202 & 0,99224 & 0,99245 & 0,99266 & 0,99286 & 0,99305 & 0,99324 & 0,99343 & 0,99361 \\
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2,5 & 0,99379 & 0,99396 & 0,99413 & 0,9943 & 0,99446 & 0,99461 & 0,99477 & 0,99492 & 0,99506 & 0,9952 \\
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2,6 & 0,99534 & 0,99547 & 0,9956 & 0,99573 & 0,99585 & 0,99598 & 0,99609 & 0,99621 & 0,99632 & 0,99643 \\
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2,7 & 0,99653 & 0,99664 & 0,99674 & 0,99683 & 0,99693 & 0,99702 & 0,99711 & 0,9972 & 0,99728 & 0,99736 \\
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2,8 & 0,99744 & 0,99752 & 0,9976 & 0,99767 & 0,99774 & 0,99781 & 0,99788 & 0,99795 & 0,99801 & 0,99807 \\
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2,9 & 0,99813 & 0,99819 & 0,99825 & 0,99831 & 0,99836 & 0,99841 & 0,99846 & 0,99851 & 0,99856 & 0,99861 \\
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3 & 0,99865 & 0,99869 & 0,99874 & 0,99878 & 0,99882 & 0,99886 & 0,99889 & 0,99893 & 0,99896 & 0,999
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\end{longtable}
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