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gtd(scheda): aggiunge operatore forma, I e II forma fondamentale

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Gabriel Antonio Videtta 6 months ago
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf
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3
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex
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@ -81,6 +81,9 @@
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\II}{\mathrm{II}}
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}

2
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex
Unescape Escape View File

@ -242,6 +242,8 @@
ogni punto $P$ di $\Sigma$.
\end{proposition}
%TODO: breve dimostrazione
\begin{corollary}
Ogni superficie $\Sigma$ di livello $\ell$ rispetto a $f$, per $f$ liscia e $\ell$ regolare, è orientabile.
\end{corollary}

176
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex
Unescape Escape View File

@ -25,7 +25,7 @@
\begin{proposition}[Il piano tangente è l'insieme delle velocità delle curve sulla superficie considerata]
Sia $\Sigma$ una superficie. Allora vale:
\[
T_P \Sigma = \{ \alpha'(P) \mid \alpha : I \to \Sigma \textnormal{ curva con } P \in \alpha(I) \}.
\boxed{T_P \Sigma \defeq \{ \alpha'(P) \mid \alpha : I \to \Sigma \textnormal{ curva con } P \in \alpha(I) \}.}
\]
\end{proposition}
@ -80,11 +80,181 @@
$\xi \in T_P \Sigma$. Allora, data una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$,
la derivata direzionale $D_\xi f(P)$ è definita come:
\[
D_\xi f(P) \defeq (f \circ \alpha)'(0),
\boxed{D_\xi f(P) \defeq (f \circ \alpha)'(0),}
\]
dove $\alpha$ è una qualsiasi curva su $\Sigma$
passante per $P$ al tempo $0$ con $\alpha'(0) = \xi$.
\end{definition}
%\section{Operatore forma, I e II forma fondamentale}
\section{Operatore forma, I e II forma fondamentale}
\subsection{Operatore forma e prime proprietà}
\begin{proposition}
Sia $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un punto
$P$ su $\Sigma$. Allora $D_\xi \vec{n}(P) \in T_P \Sigma$,
dove $\vec{n}$ è la normale indotta da $\vec{x}$ localmente.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $\alpha$ una curva su $\Sigma$ passante per $P$ al tempo $0$
con $\alpha'(0) = \xi$.
Osserviamo che $\vec{n}(\alpha(t)) \cdot \vec{n}(\alpha(t)) = 1$,
e quindi:
\[
2 (D_\xi \, \vec{n}(P) \cdot \vec{n}(P)) = 0,
\]
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{definition}[Operatore forma]
Data una $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un
punto $P$ su $\Sigma$, si definisce \textbf{operatore forma}
l'endomorfismo $S_P(\xi) : T_P \Sigma \to T_P \Sigma$ tale per cui:
\[
\boxed{S_P(\xi) \defeq - D_\xi \, \vec{n}(P).}
\]
\end{definition}
\begin{remark}
Osserviamo che l'operatore forma è ``essenzialmente unico'', dal momento
che, al variare delle parametrizzazioni, può solo cambiare segno (quello della
normale). Tutte le proprietà che ci interessano sono invarianti per cambio di
segno, e quindi la scrittura $S_P$ è ``ben definita''.
\end{remark}
\begin{lemma} \label{lem:formula_operatore_forma}
Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Sia $\vec{x}$ una
parametrizzazione di $P$. Allora per $\{i, j\} \subseteq \{u, v\}$ vale:
\[
\boxed{S_P(\vec{x_i}) \cdot \vec{x_j}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{ij}}(P).}
\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Senza perdita di generalità assumiamo $P = \vec{x}(0, 0)$.
Sia $\vec{n}$ la normale indotta dalla parametrizzazione $\vec{x}$. Allora vale:
\[
\begin{cases}
\vec{n} \cdot \vec{x_u} = 0, \\
\vec{n} \cdot \vec{x_v} = 0.
\end{cases}
\]
Derivando le due equazioni del sistema lungo la curva $\alpha(t) = \vec{x}(t, 0)$,
otteniamo:
\[
\begin{cases}
S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_u}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{uu}}(P), \\
S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{uv}}(P),
\end{cases}
\]
dove nell'ultima espressione si è applicato il teorema di Schwarz per sostituire $x_{uv}$
a $x_{vu}$. Analogamente si ottiene la formula per gli altri due casi.
\end{proof}
\begin{proposition}[L'operatore forma è autoaggiunto] \label{prop:forma_autoaggiunta}
Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Allora l'operatore
forma $S_P$ è autoaggiunto.
\end{proposition}
\begin{proof}
Per dimostrare che $S_P$ è autoaggiunto è sufficiente mostrare
che:
\[ S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} = \vec{x_u} \cdot S_P(\vec{x_v}), \]
dacché $\{\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)\}$ è una base di $T_P \Sigma$. Questo
però è immediato dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma} e dal teorema
di Schwarz.
\end{proof}
\subsection{I e II forma fondamentale}
\begin{definition}[I forma fondamentale]
Sia $\Sigma$ una superficie. Si definisce \textbf{I forma fondamentale}
di $\Sigma$ in $P$ il prodotto scalare $\I_P : T_P \Sigma \times T_P \Sigma \to \RR$
definito come:
\[
\boxed{\I_P(v, w) \defeq v \cdot w,}
\]
ovverosia è il prodotto canonico di $\RR^3$ ristretto
a $T_P \Sigma$.
\end{definition}
\begin{definition}[II forma fondamentale]
Sia $\Sigma$ una superficie. Si definisce \textbf{II forma fondamentale}
di $\Sigma$ in $P$ il prodotto scalare $\II_P : T_P \Sigma \times T_P \Sigma \to \RR$
definito come:
\[
\boxed{\II_P(v, w) \defeq \I_P(S_P(v), w) = S_P(v) \cdot w.}
\]
\end{definition}
\begin{remark}
Osserviamo che la II forma fondamentale è ben definita dal momento che
$S_P$ è autoaggiunto per la Proposizione \ref{prop:forma_autoaggiunta}
\end{remark}
\begin{remark}
Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$, le due forme fondamentali
e l'operatore forma
si rappresentano canonicamente come matrici $2 \times 2$ nella
base $\{\vec{x_u}, \vec{x_v}\}$.
\end{remark}
\begin{definition}[I forma fondamentale matriciale]
Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$ e data la rappresentazione
matriciale di $\I_P$ rispetto a $\vec{x}$, definiamo $E$, $F$ e $G$ (relativi
a $P$) di
modo che:
\[
\begin{pmatrix}
E & F \\
F & G
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\vec{x_u} \cdot \vec{x_u} & \vec{x_u} \cdot \vec{x_v} \\
\vec{x_u} \cdot \vec{x_v} & \vec{x_v} \cdot \vec{x_v}
\end{pmatrix}.
\]
\end{definition}
\begin{definition}[II forma fondamentale matriciale]
Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$ e data la rappresentazione
matriciale di $\II_P$ rispetto a $\vec{x}$, definiamo $\ell$, $m$, $n$ (relativi
a $P$) di
modo che:
\[
\begin{pmatrix}
\ell & m \\
m & n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_u} & S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} \\
S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} & S_P(\vec{x_v}) \cdot \vec{x_v}
\end{pmatrix}.
\]
\end{definition}
\begin{proposition}[Formula per $\ell$, $m$ e $n$]
Gli elementi della rappresentazione matriciale di $\II_P$ rispetto a $\vec{x}$
si calcolano come segue:
\[
\boxed{\ell = \vec{n} \cdot \vec{x_{uu}}, \quad m = \vec{n} \cdot \vec{x_{uv}}, \quad n = \vec{n} \cdot \vec{x_{vv}},}
\]
dove $\vec{n}$ è la normale indotta da $\vec{x}$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Segue immediatamente dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma}.
\end{proof}
\begin{proposition}
Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$, le rappresentazioni
matriciali di $\I_P$, $\II_P$ e $S_P$ rispetto a $\vec{x}$ soddisfano
la seguente relazione:
\[
\boxed{\II_P = \I_P \cdot S_P.}
\]
In particolare vale:
\[ \boxed{\det(S_P) = \frac{\det(\II_P)}{\det(\I_P)} = \frac{\ell n - m}{EF-G^2}.} \]
\end{proposition}
\end{multicols*}

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