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@ -54,7 +54,7 @@
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\setlength{\multicolsep}{1pt}
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\setlength{\columnsep}{2pt}
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\section{Definizioni e prerequisiti}
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\section{Campi e omomorfismi}
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Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
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$K$ che è
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@ -67,6 +67,8 @@
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di campi è un'immersione. \medskip
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\section{Caratteristica di un campo}
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Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
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determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
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si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
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@ -80,7 +82,12 @@
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Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
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finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
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razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
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a caratteristica $p$. Se $\Char K = p$, per il Primo
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a caratteristica $p$.
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\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$}
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Se $\Char K = p$, per il Primo
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teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
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su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
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$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
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@ -89,10 +96,16 @@
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\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
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estendibile anche a più addendi.
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In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
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la $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
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la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
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è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
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di $K$ in $K$. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è dunque
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un isomorfismo.
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di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
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un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della
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copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale
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$\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi
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$\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$.
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\section{Campi finiti}
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Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
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@ -100,7 +113,12 @@
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ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
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come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
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e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
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su tale immersione. Poiché tali campi sono isomorfi,
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su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente
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caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste
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sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip
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Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi,
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si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
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algebriche di tali campi. In particolare con
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$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
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@ -122,6 +140,7 @@
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prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
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di $n$.
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\section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$}
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Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
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di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
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@ -141,13 +160,13 @@
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Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
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massimale, e $\faktor{K[x]}{(p)}$ è un campo che
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massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che
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ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
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particolare $K$ si immerge in $\faktor{K[x]}{(p)}$,
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particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$,
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e quindi tale campo può essere identificato come
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un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
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Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta
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all'estensione, $L := \faktor{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)$ contiene
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all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene
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tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
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di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
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$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
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@ -157,20 +176,34 @@
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In particolare, ogni estensione finita e semplice
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di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
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\section{Estensioni di campo}
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Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
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con $\faktor{L}{K}$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
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con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
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ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
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dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si
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dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
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è finito, e infinita altrimenti. Un'estensione finita
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è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita}
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di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
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è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
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iniettivo da un'estensione di $K$ in un altro campo che
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iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
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agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
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una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
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Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
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$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
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ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
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contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
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può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
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vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
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vettori in $L$.
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\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
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Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
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sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
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valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
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@ -183,24 +216,135 @@
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è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
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su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
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minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
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di $\Ker \varphi_\alpha$. Si definisce
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di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è
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in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip
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Si definisce
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$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
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algebrico su $K$, $\faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} \cong
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algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong
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K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché
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$K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora
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$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K \faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} = \deg_K \alpha$, vale
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$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale
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anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
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Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
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$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip
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\subsection{Estensioni semplici, algebriche}
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Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
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$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
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In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
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algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
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Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
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estensioni algebriche sono finite (e.g.~
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$\overline{\QQ}$ su $\QQ$).
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estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip
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L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione
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di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$.
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Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
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$\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$
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e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o
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$\beta \neq 0$) sono algebrici.
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\subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati}
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Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di
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$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
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$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
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che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni
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polinomio irriducibile ammette radici distinte.
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In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
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è separabile. Si definiscono i coniugati di
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$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
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di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$,
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$\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati,
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altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip
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Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica
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$0$ o altrimenti se l'endomorfismo di
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Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente,
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un campo è perfetto se le derivate dei polinomi
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irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di
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campi perfetti sono allora tutti i campi di
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caratteristica $0$ e tutti i campi finiti.
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\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$}
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Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se
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ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se
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ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$.
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Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$
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una sua estensione algebrica e algebricamente
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chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono
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$K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica
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con $\overline{K}$ la struttura algebrica della
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chiusura algebrica di $K$. \medskip
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Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente
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chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli
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elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se
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$p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo
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algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento
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di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra,
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$\overline{\RR} = \CC$.
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\subsection{Estensioni normali e $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
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Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
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$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
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$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
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sono esattamente tante quanti sono i coniugati di
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$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
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$\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$
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in $\overline{K}$. \medskip
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Se $L / K$ è un'estensione finita su $K$, allora
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esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
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da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
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tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
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loro coniugati. \medskip
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Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
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ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
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esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
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tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
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Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
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se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
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vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente
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un'estensione è normale se è il campo di spezzamento
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di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo
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di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che
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hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$
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è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$,
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i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$.
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Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione
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$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
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il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
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un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
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Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
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degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
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$L$ è normale e separabile, si dice
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\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
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$\Gal(L / K) := (\Aut_K L, \circ)$, ossia come
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il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
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composizione.
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\vfill
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\hrule
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~\\
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