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feat(algebra1): inizializza la scheda riassuntiva su teoria dei campi e di Galois
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ad9faf151b
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9191974306
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\title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}
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\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\
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\section{Definizioni e prerequisiti}
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Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
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$K$ che è
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contemporaneamente anche un corpo. Si dice
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\textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$
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un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo
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$\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale
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di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza
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valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo
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di campi è un'immersione. \medskip
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Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
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determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
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si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
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$\Char K$, il
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generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare
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$\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero,
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$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
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e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip
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Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
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finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
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razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
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a caratteristica $p$. Se $\Char K = p$, per il Primo
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teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
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su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
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$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
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campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del
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binomio ingenuo, ossia:
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\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
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estendibile anche a più addendi.
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In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
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la $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
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è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
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di $K$ in $K$. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è dunque
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un isomorfismo.
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Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
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di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di
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ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
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come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
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e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
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su tale immersione. Poiché tali campi sono isomorfi,
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si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
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algebriche di tali campi. In particolare con
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$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
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esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in
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uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con
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altre relazioni (come l'estensione di campi)
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tenendo bene in mente di star
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considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip
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Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$
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se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente,
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l'estensione minimale per inclusione comune a
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$\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è
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$\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto
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se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili
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di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento
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è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
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prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
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di $n$.
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Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
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di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
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Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo
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moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto
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$\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$,
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e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia
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$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice
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\textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$
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di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
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inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
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di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
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$K$-isomorfi tra loro. Per il criterio della derivata,
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$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
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$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
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formale di $p$. \medskip
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Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
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massimale, e $\faktor{K[x]}{(p)}$ è un campo che
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ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
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particolare $K$ si immerge in $\faktor{K[x]}{(p)}$,
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e quindi tale campo può essere identificato come
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un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
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Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta
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all'estensione, $L := \faktor{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)$ contiene
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tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
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di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
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$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
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sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$;
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in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari,
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e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$.
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In particolare, ogni estensione finita e semplice
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di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
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Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
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con $\faktor{L}{K}$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
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ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
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dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si
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dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
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è finito, e infinita altrimenti. Un'estensione finita
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di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
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è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
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iniettivo da un'estensione di $K$ in un altro campo che
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agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
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una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
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Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
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sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
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valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
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$\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente
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determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è
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surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo,
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si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e
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$K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] =
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[K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non
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è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
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su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
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minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
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di $\Ker \varphi_\alpha$. Si definisce
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$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
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algebrico su $K$, $\faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} \cong
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K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché
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$K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora
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$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K \faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} = \deg_K \alpha$, vale
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anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
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Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
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$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip
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Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
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$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
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In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
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algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
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Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
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estensioni algebriche sono finite (e.g.~
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$\overline{\QQ}$ su $\QQ$).
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\vfill
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||||
\hrule
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~\\
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||||
Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
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||||
~\\Reperibile su
|
||||
\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
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\end{multicols}
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\end{document}
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Reference in New Issue