chore: divide i vecchi capitoli dell'Algebrario in file distinti

2026-10-06 18:14:50 +00:00 · 2023-07-16 22:37:50 +02:00
parent 36070c54cb
commit a7518cf041
40 changed files with 775 additions and 315 deletions
@@ -1,3 +0,0 @@
-\chapter*{Premessa}
-
-TODO
@@ -1,50 +0,0 @@
-\chapter{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
-
-Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
-fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
-    a \cite[pp.~142-143]{di2013algebra}, avvisando della sua
-    estrema tecnicità. Una dimostrazione a tema strettamente
-    algebrico è dovuta invece al matematico francese Laplace (1749 -- 1827), per la quale
-    si rimanda a \cite[pp.~120-122]{Remmert1991}.}.
-
-\begin{theorem}[\textit{Teorema fondamentale dell'Algebra}]
-    \label{th:algebra}
-    Un polinomio non costante $f(x) \in \CCx$ ammette sempre almeno una radice in
-    $\CC$.
-\end{theorem}
-
-\begin{corollary}
-    Sia $f(x) \in \CCx$ di grado $n\geq1$. Allora $f(x)$ ammette
-    esattamente $n$ radici, contate con la giusta molteplicità.
-\end{corollary}
-
-\begin{proof}
-    Sia $\zeta_1$ una radice complessa di $f(x)$, la cui esistenza
-    è garantita dal \nameref{th:algebra}. Si divida $f(x)$ per
-    $(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
-    ignori il resto, che
-    per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
-    è nullo. \\
-
-    Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
-    posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo,
-    e si chiami infine questo quoziente di grado nullo $\alpha$.
-    Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
-    ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini esattamente
-    dopo $n$ iterazioni. Pertanto, $f(x)$ a priori ha almeno $n$ radici. \\
-
-    In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
-
-    \begin{equation}
-        \label{eq:fattorizzazione_fx__reali}
-        f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_n).
-    \end{equation}
-
-    \vskip 0.1in
-
-    Dal momento che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq n$
-    e dacché $\KKx$, in quanto anello euclideo, è un UFD, si dimostra
-    che \eqref{eq:fattorizzazione_fx__reali} è l'unica fattorizzazione di
-    $f(x)$, a meno di associati. Pertanto $f(x)$ ammette esattamente
-    $n$ radici.
-\end{proof}
@@ -1,116 +0,0 @@
-\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
-\documentclass[11pt]{scrbook}
-\usepackage{evan}
-\usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage[italian]{babel}
-\usepackage{algorithm2e}
-\usepackage{amsfonts}
-\usepackage{amsthm}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{amsopn}
-\usepackage{biblatex}
-\usepackage{bm}
-\usepackage{cancel}
-\usepackage{csquotes}
-\usepackage{mathtools}
-\usepackage{marvosym}
-\usepackage{tikz}
-\usepackage{wrapfig}
-\usepackage{xpatch}
-
-\addbibresource{bibliography.bib}
-
-\begin{document}
-
-\title{L'Algebrario}
-\subtitle{dispense del corso di Aritmetica}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}}
-\maketitle
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{0. Premessa}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\tableofcontents
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{1. Introduzione alla teoria degli anelli}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{2. Anelli euclidei, PID e UFD}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{3. Esempi notevoli di anelli euclidei}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{7. Estensioni algebriche di K}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{9. Introduzione a teoria dei campi}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{11. Polinomi simmetrici e Teorema fondamentale dell'Algebra}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\chapter{Riferimenti bibliografici}
-\printbibliography[heading=none]
-
-\end{document}
@@ -1,41 +0,0 @@
-@book{di2013algebra,
-  title={Algebra},
-  author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
-  isbn={9788867410958},
-  series={Didattica e Ricerca. Manuali},
-  year={2013},
-  publisher={Pisa University Press},
-  shorthand={DM}
-}
-@book{herstein2010algebra,
-  title={Algebra},
-  author={Herstein, I.N.},
-  isbn={9788864732107},
-  year={2010},
-  publisher={Editori Riuniti University Press},
-  shorthand={H}
-}
-@Inbook{Remmert1991,
-  author="Remmert, R.",
-  title="The Fundamental Theorem of Algebra",
-  bookTitle="Numbers",
-  year="1991",
-  publisher="Springer New York",
-  address="New York, NY",
-  pages="97--122",
-  isbn="978-1-4612-1005-4",
-  doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5",
-  url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5"
-}
-@article{10.2307/2315810,
-  ISSN = {00029890, 19300972},
-  URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
-  author = {M. A. Jodeit},
-  journal = {The American Mathematical Monthly},
-  number = {7},
-  pages = {835--836},
-  publisher = {Mathematical Association of America},
-  title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
-  volume = {74},
-  year = {1967}
-}
@@ -4,11 +4,7 @@
 - [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7085531::::&ri=11138)
 - [Appunti di Diego Monaco 📓](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)

-Tutti i PDF sotto la cartella omonima sono il risultato degli appunti presi in presenza durante le lezioni dei proff. Gaiffi
-e D'Adderio, di cui sopra il programma. Seppur manchi una parte preliminare (la quasi totalità di teoria dei gruppi), il resto delle lezioni
-è quasi del tutto coperto.
-
-La cartella dell'*Algebrario* contiene un prototipo di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso.
+Le varie cartelle contengono alcuni estratti di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso.
 Accorgendomi tuttavia della precarietà di alcuni capitoli, e influenzato anche dall'esistenza di dispense che seguono la stessa filosofia
 (come quelle di [Diego Monaco](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)), ho deciso di procedere all'abbandono del progetto. Gli
-appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- verranno tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF.
+appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it).
@@ -1,3 +1,20 @@
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage{biblatex}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Introduzione alla teoria degli anelli}

 \section{Definizione e prime proprietà}
@@ -255,7 +272,7 @@ così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i grupp
    monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$.
 \end{example}

-\section{Quoziente per un ideale e primo teorema d'isomorfismo}
+\section{Quoziente per ideale e primo teorema d'isomorfismo}

 Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo
 completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}:
@@ -316,4 +333,6 @@ Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
 \begin{proof}
    Poiché $\phi$ è un monomorfismo, $\Ker \phi = \{0\}$. Allora, per il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, $A/\{0\} \cong \Imm \phi$. Dalla
    \textit{Proposizione \ref{prop:quoziente_pieno}}, si desume che $A \cong A/\{0\}$. Allora, per la proprietà transitiva degli isomorfismi, $A \cong \Imm \phi$.
-\end{proof}
+\end{proof}
+
+\end{document}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Anelli euclidei, PID e UFD}

 \section{Prime proprietà}
@@ -794,3 +816,8 @@ Si definisce innanzitutto $\ZZ[\sqrt{n}]$ nel seguente modo:
    fattorizzazioni in irriducibili completamente
    distinte. Quindi $\ZZsqrt{10}$ non può essere un UFD.
 \end{proof}
+
+\chapter{Riferimenti bibliografici}
+\printbibliography[heading=none]
+
+\end{document}
@@ -0,0 +1,9 @@
+@book{di2013algebra,
+  title={Algebra},
+  author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
+  isbn={9788867410958},
+  series={Didattica e Ricerca. Manuali},
+  year={2013},
+  publisher={Pisa University Press},
+  shorthand={DM}
+}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Esempi notevoli di anelli euclidei}

 \section{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}}
@@ -17,8 +39,8 @@ esistono -- e sono anche unici, a meno di segno -- $q$, $r \in \ZZ \mid a = bq +
    \left|r\right| < \left|q\right|$. \\

 Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Teorema
-    fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
-\textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.
+    fondamentale dell'aritmetica} è un corollario del teorema per cui ogni anello
+    euclideo è un UFD.

 \section{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}}

@@ -58,7 +80,7 @@ euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli u
    la sua valutazione polinomiale in $\KK[x]$. $\varphi_\alpha$ è un omomorfismo, il cui
    nucleo è rappresentato dai polinomi in $\KK[x]$ che hanno $\alpha$ come radice. Poiché
    $\KK[x]$ è un PID, $\Ker \varphi$ deve essere monogenerato. $x-\alpha \in \Ker \varphi$
-    è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si desume così che
+    è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si deduce così che
    $\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
 \end{example}

@@ -70,37 +92,6 @@ Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\Z

 \vskip 0.1in

-\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
-    \begin{tikzpicture}
-        \begin{scope}
-            \clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
-            \draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
-
-            \foreach \x in {-4,...,4} {
-                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + \x, -3) -- (3 + \x, 3);
-                }
-            \foreach \y in {-4,...,5} {
-                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 7 + \y) -- (7, -7 + \y);
-                }
-
-            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
-            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.5, 0.5) node[align=center, below=2pt]{$ib$};
-
-            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 2.5) node[above=0.5pt]{$bq$};
-
-            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1, 2.5) node[below, right]{$a$};
-
-            \draw[densely dotted] (0.5, 2.5) -- (1, 2.5) node[below=4pt, left=2.5pt]{$r$};
-
-            \draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
-            \draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
-
-        \end{scope}
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Gauss.}
-    \label{fig:z_i}
-\end{wrapfigure}
-
 La funzione grado coincide in particolare con il quadrato del modulo di un numero complesso, ossia:
 \[g(z) : \ZZ[i] \setminus \{0\} \to \NN, \, a+bi \mapsto \left| a+bi \right|^2.\]

@@ -121,8 +112,7 @@ di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\

    Si verifica infine che esiste una divisione euclidea, ossia che
    $\forall a \in \ZZ[i]$, $\forall b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in \ZZ[i] \mid a = bq + r$ e $r=0 \,\lor\, g(r) < g(b)$.
-    Come si visualizza facilmente nella \textit{Figura \ref{fig:z_i}},
-    tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove
+    Tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove
    sicuramente esiste un certo $q$ tale che la distanza $\left|r\right| = \left|a-bq\right|$ sia minima. \\

    Se $a$ è un multiplo di $b$, vale sicuramente che $a = bq$. Altrimenti dal momento che $r$ è sicuramente inquadrato in uno dei tasselli del piano, vale
@@ -148,42 +138,6 @@ In particolare, $\omega$ è una delle due radici dell'equazione
 $z^2 + z + 1 = 0$, dove invece l'altra radice altro non è che
 $\omega^2 = \overline{\omega}$.

-\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
-    \begin{tikzpicture}
-        \begin{scope}
-            \clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
-            \draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
-
-            \foreach \x in {-4,...,4} {
-                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + 0.87*\x, -3) -- (3 + 0.87*\x, 3);
-                }
-
-            \foreach \y in {-4,...,5} {
-                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 1.8756443470179 + 0.65*\y) -- (7, -1.8756443470179 + 0.65*\y);
-                }
-
-            \foreach \x in {-4,...,5} {
-                    \draw[ultra thin, loosely dashed] (-7 + 0.6289*\x, 28.5025773880714) -- (7+ 0.65*\x, -28.5025773880714);
-                }
-
-            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
-            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.6830127018922, 0.1830127018922) node[align=center, below=2pt]{$\omega b$};
-
-            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.71494, 2.41094) node[below=2pt, left=4pt]{$bq$};
-
-            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1.1, 2.7) node[below, right]{$a$};
-
-            \draw[densely dotted] (0.71494, 2.41094) -- (1.1, 2.7) node[above=3pt, left=2.5pt]{$r$};
-
-            \draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
-            \draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
-
-        \end{scope}
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Eisenstein.}
-    \label{fig:z_omega}
-\end{wrapfigure}
-
 \vskip 0.1in

 La funzione grado in $\ZZ[\omega]$ deriva da quella di $\ZZ[i]$ e coincide ancora
@@ -210,7 +164,7 @@ Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta:

    Si verifica infine la seconda e ultima proprietà della funzione grado. Come per
    $\ZZ[i]$, i multipli di $b \in \ZZ[\omega]$ sono visualizzati su un piano che
-    ha per basi $b$ e $\omega b$ (come in $\textit{Figura \ref{fig:z_omega}}$), pertanto
+    ha per basi $b$ e $\omega b$, pertanto
    esiste sicuramente un $q$ tale che la distanza $\left|a-bq\right|$ sia minima. \\

    Se $a$ è multiplo di $b$, allora chiaramente $a = bq$. Altrimenti, $a$ è certamente
@@ -222,3 +176,8 @@ Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta:

    \[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right| < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b). \]
 \end{proof}
+
+\chapter{Riferimenti bibliografici}
+\printbibliography[heading=none]
+
+\end{document}
@@ -0,0 +1,12 @@
+@article{10.2307/2315810,
+	ISSN = {00029890, 19300972},
+	URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
+	author = {M. A. Jodeit},
+	journal = {The American Mathematical Monthly},
+	number = {7},
+	pages = {835--836},
+	publisher = {Mathematical Association of America},
+	title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
+	volume = {74},
+	year = {1967}
+}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}

 Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
@@ -132,7 +154,7 @@ generale riguardante $\ZZi$.
 \end{proof}

 \begin{theorem}
-    $z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un $k \in \ZZ$ tale che $k \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo.
+    $z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un primo $p \in \ZZ$ tale che $p \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo.
 \end{theorem}

 \begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
@@ -163,8 +185,8 @@ generale riguardante $\ZZi$.

    attraverso cui si verifica l'implicazione. \\

-    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $k \in \ZZ$ e $k \equiv -1 \pmod4$, per
-    il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $k$ è
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $p \in \ZZ$ e $p \equiv -1 \pmod4$, per
+    il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $p$ è
    irriducibile. Allora in quanto suo associato, anche $z$ è irriducibile. \\

    Altrimenti, se $\norm{z}^2$ è un primo $p$, si ponga
@@ -234,3 +256,4 @@ strettamente collegata a $\ZZi$.
    $65=5\cdot 13=(2\cdot3-1\cdot2)^2 + (2\cdot2+1\cdot3)^2=4^2+7^2$.
 \end{example}

+\end{document}
@@ -1,3 +1,23 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}

 \section{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}}
@@ -354,4 +374,6 @@ quella in $\QQx$.
    irriducibili in $\ZZx$, essa non include alcuna costante
    moltiplicativa dal momento che $f(x)$ è primitivo, e quindi
    esisterebbe una fattorizzazione in irriducibili anche in $\QQx$.
-\end{proof}
+\end{proof}
+
+\end{document}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KKx$}{K[x]}}

 \section{Elementi preliminari}
@@ -296,4 +318,6 @@ $\ZZ/p\ZZ$.

    Quindi $\overline{x}$ è una radice di $f(x)$, da cui la tesi.

-\end{proof}
+\end{proof}
+
+\end{document}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Estensioni algebriche di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}

 \section{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
@@ -186,9 +208,7 @@ seguente teorema.

 \begin{proof}
    Se $\alpha$ è algebrico, allora $\Ker \valalpha = (f(x)) \neq (0)$,
-    dove $f(x) \in A[x]$ è irriducibile. Pertanto, per
-    il \textit{Teorema \ref{th:campo_quoziente_irriducibile}},
-    $A[x]/(f(x))$ è un campo. \\
+    dove $f(x) \in A[x]$ è irriducibile. Pertanto $A[x]/(f(x))$ è un campo. \\

    Dunque dal \textit{Teorema \ref{th:isomorfismo_algebrico}} si
    ricava che:
@@ -537,8 +557,7 @@ seguente teorema.

    \ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
    irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
-    $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
-    $A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
+    $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora $A[x]/(f_1(x))$ è un campo in cui
    $f_1(x)$ ammette radice. \\

    Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
@@ -595,3 +614,8 @@ Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamen
    
    da cui la tesi.
 \end{proof}
+
+\chapter{Riferimenti bibliografici}
+\printbibliography[heading=none]
+
+\end{document}
@@ -0,0 +1,8 @@
+@book{herstein2010algebra,
+	title={Algebra},
+	author={Herstein, I.N.},
+	isbn={9788864732107},
+	year={2010},
+	publisher={Editori Riuniti University Press},
+	shorthand={H}
+}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Introduzione alla teoria dei campi}

 \section{La caratteristica di un campo}
@@ -10,8 +32,8 @@ Si consideri il seguente omomorfismo:

 completamente determinato dalla condizione $\psi(1) = 1$, dacché
 $\ZZ$ è generato da $1$. Si studia innanzitutto il caso in cui
-$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e per
-il \corref{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}, $\ZZ \cong \Imm \psi$. \\
+$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e dunque
+$\ZZ \cong \Imm \psi$. \\

 Pertanto, $\KK$ ammetterebbe come sottoanello una copia isomorfa di $\ZZ$.
 Inoltre, poiché $\KK$ è un campo, deve anche ammetterne gli inversi, e quindi
@@ -38,8 +60,7 @@ Se $n$ fosse generatore di $\Ker \psi$ si ricaverebbe allora che:
 \vskip 0.1in

 che è assurdo, dal momento che $\KK$, in quanto campo, è anche un dominio.
-Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora, per
-il \nameref{th:primo_isomorfismo}, $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$,
+Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$,
 ossia $\KK$ contiene una copia isomorfa di $\ZZp$, a cui ci riferiremo
 semplicemente con $\FFpp$. \\

@@ -283,3 +304,5 @@ seguente teorema.
    ossia tutte le radici di $x^{p^n}-x$ (e coincide quindi
    con il campo di spezzamento $A$), da cui la tesi.
 \end{proof}
+
+\end{document}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Teoremi rilevanti sui campi finiti}

 \section{Campo di spezzamento di un irriducibile in \texorpdfstring{$\FFpp$}{F\_p}}
@@ -200,4 +222,6 @@
    di $x^{p^n}-x$, e quindi che $\alpha \in \FFpn$. Dal momento che chiaramente
    anche $\FFpp \subseteq \FFpn$, si deduce che $\FFpd \cong \FFpp(\alpha) \subseteq
        \FFpn$. Allora, per il \thref{th:inclusione}, $d$ divide $n$.
-\end{proof}
+\end{proof}
+
+\end{document}
@@ -1,3 +1,25 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
 \chapter{Polinomi simmetrici}

 \section{Definizione e prime proprietà}
@@ -67,13 +89,9 @@ ossia il polinomio ottenuto permutando le variabili $x_i$ secondo $\sigma$.
    dove con LO si indica il \textit{lexicographic order}.
 \end{definition}

-\begin{proposition}
+\begin{remark}
    Il \textit{deglex} è una relazione di ordine totale.
-\end{proposition}
-
-\begin{proof}
-    [TODO]
-\end{proof}
+\end{remark}

 \begin{proposition}
    \label{prop:moltiplicazione_disuguaglianza_deglex}
@@ -245,6 +263,4 @@ ossia il polinomio ottenuto permutando le variabili $x_i$ secondo $\sigma$.
    e surgettivo, è un isomorfismo, da cui la tesi.
 \end{proof}

-\section{Teorema fondamentale dell'Algebra}
-
-
+\end{document}
@@ -0,0 +1,484 @@
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%                                                    |  \               %
+%   ______  __     __  ______  _______      _______ _| ▓▓_   __    __   %
+%  /      \|  \   /  \|      \|       \    /       \   ▓▓ \ |  \  |  \  %
+% |  ▓▓▓▓▓▓\\▓▓\ /  ▓▓ \▓▓▓▓▓▓\ ▓▓▓▓▓▓▓\  |  ▓▓▓▓▓▓▓\▓▓▓▓▓▓ | ▓▓  | ▓▓  %
+% | ▓▓    ▓▓ \▓▓\  ▓▓ /      ▓▓ ▓▓  | ▓▓   \▓▓    \  | ▓▓ __| ▓▓  | ▓▓  %
+% | ▓▓▓▓▓▓▓▓  \▓▓ ▓▓ |  ▓▓▓▓▓▓▓ ▓▓  | ▓▓__ _\▓▓▓▓▓▓\ | ▓▓|  \ ▓▓__/ ▓▓  %
+%  \▓▓     \   \▓▓▓   \▓▓    ▓▓ ▓▓  | ▓▓  \       ▓▓  \▓▓  ▓▓\▓▓    ▓▓  %
+%   \▓▓▓▓▓▓▓    \▓     \▓▓▓▓▓▓▓\▓▓   \▓▓\▓▓\▓▓▓▓▓▓▓    \▓▓▓▓ _\▓▓▓▓▓▓▓  %
+%                                                           |  \__| ▓▓  %
+%                                                            \▓▓    ▓▓  %
+%                                                             \▓▓▓▓▓▓   %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% Original file:
+% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
+
+% TL;DR of the Boost license conditions are as follows:
+%
+% 1. Any SOURCE VERSIONS must cite evan.sty and the Boost license below.
+% 2. For COMPILED PDF OUTPUT, attribution of evan.sty is OPTIONAL (but nice).
+% 3. NO OTHER REQUIREMENTS; you may modify, redistribute, sell freely.
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+% BOOST SOFTWARE LICENSE - VERSION 1.0 - 17 AUGUST 2003
+%
+% Copyright (c) 2022 Evan Chen [evan at evanchen.cc]
+% https://web.evanchen.cc/ || github.com/vEnhance
+%
+% Available for download at:
+% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
+%
+% Permission is hereby granted, free of charge, to any person or organization
+% obtaining a copy of the software and accompanying documentation covered by
+% this license (the "Software") to use, reproduce, display, distribute,
+% execute, and transmit the Software, and to prepare derivative works of the
+% Software, and to permit third-parties to whom the Software is furnished to
+% do so, all subject to the following:
+%
+% The copyright notices in the Software and this entire statement, including
+% the above license grant, this restriction and the following disclaimer,
+% must be included in all copies of the Software, in whole or in part, and
+% all derivative works of the Software, unless such copies or derivative
+% works are solely in the form of machine-executable object code generated by
+% a source language processor.
+%
+% THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
+% IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
+% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE, TITLE AND NON-INFRINGEMENT. IN NO EVENT
+% SHALL THE COPYRIGHT HOLDERS OR ANYONE DISTRIBUTING THE SOFTWARE BE LIABLE
+% FOR ANY DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, TORT OR OTHERWISE,
+% ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER
+% DEALINGS IN THE SOFTWARE.
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\ProvidesPackage{evan_notes}
+
+\ProcessOptions\relax
+
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{iftex}
+\usepackage[minimal]{yhmath}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+% Personal commands
+\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
+\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
+\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
+\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
+
+\newcommand{\corref}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}}
+\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}}
+\newcommand{\exmplref}[1]{\textit{Esempio \ref{#1}}}
+\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}}
+\newcommand{\lemref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
+\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
+
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
+
+\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
+\newcommand{\FFpp}{\mathbb{F}_p}
+\newcommand{\FFpd}{\mathbb{F}_{p^d}}
+\newcommand{\FFpm}{\mathbb{F}_{p^m}}
+\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
+\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}}
+\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
+\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
+\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
+\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
+\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]}
+\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
+\newcommand{\ZZsqrt}[1]{\mathbb{Z}[\sqrt{#1}]}
+\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
+
+\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
+\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
+\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
+
+\newcommand{\valalpha}{\varphi_\alpha}
+\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
+\newcommand{\Frobexp}{\mathcal{F}{\mkern 1.5mu}}
+
+\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
+\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
+\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
+\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
+\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
+
+\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
+\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
+
+% evan.sty original commands
+\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
+\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
+\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
+\providecommand{\alert}{\vocab}
+\newcommand{\catname}{\mathsf}
+\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
+
+% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
+\newcommand{\CC}{\mathbb C}
+\newcommand{\FF}{\mathbb F}
+\newcommand{\NN}{\mathbb N}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
+\newcommand{\RR}{\mathbb R}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
+\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
+
+%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
+\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
+\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
+\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
+\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
+
+% From M275 "Topology" at SJSU
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
+\newcommand{\inv}{^{-1}}
+
+\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
+\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
+
+% From the USAMO .tex files
+\newcommand{\dg}{^\circ}
+
+\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
+\newcommand{\opname}{\operatorname}
+\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
+\DeclareMathOperator{\Char}{char}
+\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
+\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Imm}{Im}
+\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
+\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+
+\let\oldemptyset\emptyset
+\let\emptyset\varnothing
+
+\let\oldcirc\circ
+\let\circ\undefined
+\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
+
+\let\oldexists\exists
+\let\exists\undefined
+\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
+
+\let\oldforall\forall
+\let\forall\undefined
+\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
+
+\let\oldnexists\nexists
+\let\nexists\undefined
+\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
+
+\let\oldland\land
+\let\land\undefined
+\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
+
+\let\oldlnot\lnot
+\let\lnot\undefined
+\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
+
+\let\oldlor\lor
+\let\lor\undefined
+\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
+
+\title{}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{\today}
+
+\PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
+\hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
+\usepackage[nameinlink]{cleveref}
+
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed}
+
+\mdfdefinestyle{mdbluebox}{%
+  roundcorner=10pt,
+  linewidth=1pt,
+  skipabove=12pt,
+  innerbottommargin=9pt,
+  skipbelow=2pt,
+  linecolor=blue,
+  nobreak=true,
+  backgroundcolor=TealBlue!5,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\sffamily\bfseries\color{MidnightBlue},
+  mdframed={style=mdbluebox},
+  headpunct={\\[3pt]},
+  postheadspace={0pt}
+]{thmbluebox}
+
+\mdfdefinestyle{mdbluebox2}{%
+  roundcorner=10pt,
+  linewidth=1pt,
+  skipabove=12pt,
+  innerbottommargin=9pt,
+  skipbelow=2pt,
+  linecolor=blue,
+  nobreak=true,
+  backgroundcolor=BlueViolet!9,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\sffamily\bfseries\color{RoyalPurple},
+  mdframed={style=mdbluebox2},
+  headpunct={\\[3pt]},
+  postheadspace={0pt}
+]{thmbluebox2}
+
+\mdfdefinestyle{mdredbox}{%
+  linewidth=0.5pt,
+  skipabove=12pt,
+  frametitleaboveskip=5pt,
+  frametitlebelowskip=0pt,
+  skipbelow=2pt,
+  frametitlefont=\bfseries,
+  innertopmargin=4pt,
+  innerbottommargin=8pt,
+  nobreak=true,
+  backgroundcolor=Salmon!5,
+  linecolor=RawSienna,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\bfseries\color{RawSienna},
+  mdframed={style=mdredbox},
+  headpunct={\\[3pt]},
+  postheadspace={0pt},
+]{thmredbox}
+
+\mdfdefinestyle{mdredbox2}{%
+  roundcorner=10pt,
+  linewidth=1pt,
+  skipabove=12pt,
+  innerbottommargin=9pt,
+  skipbelow=2pt,
+  linecolor=red,
+  nobreak=true,
+  backgroundcolor=WildStrawberry!5,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\sffamily\bfseries\color{Maroon},
+  mdframed={style=mdredbox2},
+  headpunct={\\[3pt]},
+  postheadspace={0pt}
+]{thmredbox2}
+
+\mdfdefinestyle{mdgreenbox}{%
+  skipabove=8pt,
+  linewidth=2pt,
+  rightline=false,
+  leftline=true,
+  topline=false,
+  bottomline=false,
+  linecolor=ForestGreen,
+  backgroundcolor=ForestGreen!5,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\bfseries\sffamily\color{ForestGreen!70!black},
+  bodyfont=\normalfont,
+  spaceabove=2pt,
+  spacebelow=1pt,
+  mdframed={style=mdgreenbox},
+  headpunct={ --- },
+]{thmgreenbox}
+
+\mdfdefinestyle{mdgreenbox2}{%
+  roundcorner=10pt,
+  linewidth=1pt,
+  skipabove=12pt,
+  innerbottommargin=9pt,
+  skipbelow=2pt,
+  linecolor=ForestGreen,
+  nobreak=true,
+  backgroundcolor=ForestGreen!5,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\sffamily\bfseries\color{ForestGreen!70!black},
+  mdframed={style=mdgreenbox2},
+  headpunct={\\[3pt]},
+  postheadspace={0pt}
+]{thmgreenbox2}
+
+\mdfdefinestyle{mdblackbox}{%
+  skipabove=8pt,
+  linewidth=3pt,
+  rightline=false,
+  leftline=true,
+  topline=false,
+  bottomline=false,
+  linecolor=black,
+  backgroundcolor=RedViolet!5!gray!10,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\bfseries,
+  bodyfont=\normalfont\small,
+  spaceabove=0pt,
+  spacebelow=0pt,
+  mdframed={style=mdblackbox}
+]{thmblackbox}
+
+\mdfdefinestyle{mdblackbox2}{%
+  skipabove=8pt,
+  linewidth=3pt,
+  rightline=false,
+  leftline=true,
+  topline=false,
+  bottomline=false,
+  linecolor=gray,
+  backgroundcolor=RedViolet!5!gray!10,
+}
+\declaretheoremstyle[
+  headfont=\bfseries,
+  bodyfont=\normalfont\small,
+  spaceabove=0pt,
+  spacebelow=0pt,
+  mdframed={style=mdblackbox2}
+]{thmblackbox2}
+
+\newcommand{\listhack}{$\empty$\vspace{-2em}}
+
+\declaretheorem[%
+  style=thmbluebox,name=Teorema,numberwithin=section]{theorem}
+
+\declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
+\declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
+\declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
+\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
+\declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
+\declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
+\declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
+\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,sibling=theorem]{claim}
+\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,numbered=no]{claim*}
+\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,sibling=theorem]{example}
+\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,numbered=no]{example*}
+\declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
+\declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,numbered=no]{definition*}
+\declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
+\declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
+\declaretheorem[name=Congettura,sibling=theorem]{conjecture}
+\declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
+\declaretheorem[name=Esercizio,sibling=theorem]{exercise}
+\declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
+\declaretheorem[name=Asserzione,sibling=theorem]{fact}
+\declaretheorem[name=Asserzione,numbered=no]{fact*}
+\declaretheorem[name=Problema,sibling=theorem]{problem}
+\declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
+\declaretheorem[name=Domanda,sibling=theorem]{ques}
+\declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
+
+\Crefname{claim}{Claim}{Claim}
+\Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
+\Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizi}
+\Crefname{fact}{Asserzione}{Asserzioni}
+\Crefname{problem}{Problema}{Problemi}
+\Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
+
+\addtokomafont{partprefix}{}
+\renewcommand*{\partformat}{}
+
+\@ifundefined{chapter}{}{
+  \addtokomafont{partprefix}{}
+  \renewcommand*{\partformat}{}
+  \addtokomafont{chapterprefix}{}
+  \RedeclareSectionCommand{chapter}
+  \renewcommand*{\chapterformat}{}
+}
+
+\renewcommand*{\sectionformat}%
+{\color{purple}\S\thesection\enskip}
+\renewcommand*{\subsectionformat}%
+{\color{purple}\S\thesubsection\enskip}
+\renewcommand*{\subsubsectionformat}%
+{\color{purple}\S\thesubsubsection\enskip}
+\KOMAoptions{numbers=noenddot}
+
+\usepackage{listings}
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{textcomp}
+\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
+  backgroundcolor=\color{green!2!white},
+  breakatwhitespace=true,
+  breaklines=true,
+  commentstyle=\color{green!70!black},
+  frame=shadowbox,
+  frame=single,
+  identifierstyle=\color{green!20!black},
+  keywordstyle=\bfseries,
+  keywordstyle=\bfseries\color{blue},
+  numbers=left,
+  numbersep=5pt,
+  numberstyle=\tiny\sffamily\itshape\color{black!60},
+  rulecolor=\color{blue!70!black},
+  rulesepcolor=\color{blue!30!black},
+  showstringspaces=false,
+  stringstyle=\color{orange},
+  tabsize=4,
+}
+
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+\usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{ellipsis}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{microtype}
+\usepackage{xstring}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\addtokomafont{subtitle}{\Large}
+\setkomafont{author}{\Large\scshape}
+\setkomafont{date}{\Large\normalsize}
+
+\providecommand{\thetitle}{\@title}
+\providecommand{\theauthor}{\@author}
+\providecommand{\thedate}{\@date}
+
+\usepackage[headsepline]{scrlayer-scrpage}
+\renewcommand{\headfont}{}
+\addtolength{\textheight}{3.14cm}
+\setlength{\footskip}{0.5in}
+\setlength{\headsep}{10pt}
+
+\ihead{\footnotesize\textbf{\rightmark}}
+\ohead{\footnotesize Gabriel Antonio Videtta}
+
+\automark{section}
+\chead{}
+\cfoot{\pagemark}
+
+\hfuzz=\maxdimen
+\tolerance=10000
+\hbadness=10000
+
+\KOMAoptions{twoside=false}