\Large\textbf{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
\Large\textbf{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
\end{center}
\end{center}
@ -234,7 +232,7 @@
Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
la terna $\sigma=(i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del
la terna $\sigma(\varphi)=\sigma=(i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del
prodotto $\varphi$.
prodotto $\varphi$.
\end{definition}
\end{definition}
@ -309,7 +307,9 @@
= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi
= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi
$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
\li Vale in particolare che $\rg(\varphi)=\iota_++\iota_-$, mentre
\li Vale in particolare che $\rg(\varphi)=\iota_++\iota_-$, mentre
$\dim\Ker(\varphi)=\iota_0$, e quindi $n =\iota_++\iota_-+\iota_0$.
$\dim\Ker(\varphi)=\iota_0$, e quindi $n =\iota_++\iota_-+\iota_0$. \\
\li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi)=\iota_+(\restr{\varphi}{V})+\iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
analogamente per gli altri indici.
\end{remark}
\end{remark}
\begin{definition} (isometria)
\begin{definition} (isometria)
@ -375,46 +375,40 @@
\begin{proof}\nl\nl
\begin{proof}\nl\nl
\rightproof Per la precedente proposizione, esistono due basi $\basis$ e $\basis'$, una di $V$ e una di $V'$,
\rightproof Per la precedente proposizione, esistono due basi $\basis$ e $\basis'$, una di $V$ e una di $V'$,
tali che $M_\basis(\varphi)\cong M_{\basis'}(\varphi)$. Allora queste due matrici condividono la stessa
tali che $M_\basis(\varphi)\cong M_{\basis'}(\varphi)$. Allora queste due matrici condividono la stessa
segnatura. \\
segnatura, e così quindi anche $\varphi$ e $\varphi'$. \\
\leftproof Siano $\basis$, $\basis'$ basi di Sylvester di $V$
\leftproof Se $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura, esistono due basi $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' =\{\ww1, \ldots, \ww n \}$, una
e di $V'$. Si definisce allora l'applicazione $f : V \to V'$ tale
di $V$ e una di $V'$, tali che $M = M_\basis(\varphi)= M_{\basis'}(\varphi')$ e che $M$ è una matrice di
che $f(\vv i)=\ww i$: essa è un isometria.
Sylvester. Allora si costruisce $f : V \to V'$ tale che $f(\vv i)=\ww i$. Esso è un isomorfismo, e per
costruzione $\varphi(\vv i, \vv j)=\varphi'(\ww i, \ww j)=\varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$$\forall1\leq i, j \leq n$, da cui
si conclude che $\varphi(\v, \w)=\varphi'(f(\v), f(\w))$$\forall\v$, $\w\in V$, e quindi che $V$ e
$V'$ sono isometrici.
\end{proof}
\end{proof}
\begin{corollary}
%\begin{example}
Due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno
% Per $\varphi= x_1 y_1+ x_2 y_2- x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
la stessa segnatura.
%\end{example}
\end{corollary}
\begin{remark}\nl
\begin{definition} (sottospazio isotropo)
\li se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi)=\iota_+(\restr{\varphi}{V})+\iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$
analogamente per gli altri indici.
\end{remark}
\begin{example}
Per $\varphi= x_1 y_1+ x_2 y_2- x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
\end{example}
\begin{definition}
Sia $\KK$ qualunque. $W \subseteq V$ si dice sottospazio isotropo
se $\restr{\varphi}{W}=0$.
se $\restr{\varphi}{W}=0$.
\end{definition}
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\begin{remark}\nl
\li$V^\perp$ è isotropo,\\
\li$V^\perp$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
\li$\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$$W =\Span(\vec v)$ è sottospazio isotropo,\\
\li$\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$$W =\Span(\vec v)$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
\li$W \subseteq V$ è isotropo $\iff$$W \subseteq W^\perp$.
\li$W \subseteq V$ è isotropo $\iff$$W \subseteq W^\perp$.
\end{remark}
\end{remark}
\begin{proposition}
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ non degenere. $W \subseteq V$ isotropo, allora
Sia $\varphi$ non degenere. Se $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, allora
$\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$.
$\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$.
\end{proposition}
\end{proposition}
\begin{proof}
\begin{proof}
$W \subseteq W^\perp\implies\dim W \leq\dim W^\perp\implies
Poiché $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, $W \subseteq W^\perp\implies\dim W \leq\dim W^\perp$.
\dim W \leq\dim V - \dim W \implies\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$.
Allora, poiché $\varphi$ è non degenere, $\dim W +\dim W^\perp=\dim V$, $\dim W \leq\dim V -\dim W$,
da cui $\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$.
\end{proof}
\end{proof}
\begin{definition}
\begin{definition}
@ -423,22 +417,29 @@
\end{definition}
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\begin{remark}\nl
\li Se $\varphi > 0$, $W(\varphi)=0$.
\li Se $\varphi > 0$ o $\varphi < 0$, $W(\varphi)=0$.
\end{remark}
\end{remark}
\begin{proposition}
\begin{proposition}
Per$\KK=\RR$ e $\sigma(\varphi)=(\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), \iota_0(\varphi))$, con $\varphi$ non degenere,
Sia$\KK=\RR$.Sia $\varphi$ non degenere e sia$\sigma(\varphi)=(\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), 0)$. Allora
Sia ad esempio $\iota_-(\varphi)\leq\iota_+(\varphi)$. Se $W$
Senza perdità di generalità si assuma $\iota_-(\varphi)\leq\iota_+(\varphi)$ (il caso $\iota_-(\varphi) > \iota_+(\varphi)$ è analogo). Sia $W$ un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\varphi)$. Sia $W^+$
è un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\phi)$, e $W^+$ è
un sottospazio con $\dim W^+=\iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0$. Allora, per la formula
un sottospazio con $\dim W^+=\iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0\implies\dim(W \cap W^+) > 0$,
di Grassmann, $\dim W +\dim W^+ > n \implies\dim W +\dim W^+ > \dim W +\dim W^+-\dim(W \cap W^+)\implies\dim(W \cap W^+) > 0$. Quindi $\exists\w\in W$, $\w\neq\vec0$ tale che $\varphi(\w, \w) > 0$, da cui
e quindi $W$ non è isotropo (quindi $W(\varphi) < \iota_-(\varphi)$). \\
si ricava che $W$ non è isotropo. Pertanto $W(\varphi)\leq\iota_-(\varphi)$. \\
Sia $\basis$ una base di Sylvester. Per costruirlo prendi
Sia $a :=\iota_+(\varphi)$ e sia $b :=\iota_-(\varphi)$.
coppie della base originale facendo la differenza e nota
Sia ora $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv a, \ww1, \ldots, \ww b \}$ una base tale per cui $M_\basis(\varphi)$ è la matrice di Sylvester per $\varphi$. Siano $\vv1$, ..., $\vv a$ tali che $\varphi(\vv i, \vv i)=1$
che ne prendi esattamente quante iota-.
con $1\leq i \leq a$. Analogamente siano $\ww1$, ..., $\ww b$ tali che $\varphi(\ww i, \ww i)=-1$ con
$1\leq i \leq b$. Detta allora $\basis' =\{\vv1 ' :=\vv1+\ww1, \ldots, \vv b ' :=\vv b +\ww b \}$, sia $W =\Span(\basis')$. \\
Si osserva che $\basis'$ è linearmente indipendente, e dunque che $\dim W =\iota_-$. Inoltre
$\varphi(\vv i ', \vv j ')=\varphi(\vv i +\ww i, \vv j +\ww j)$. Se $i \neq j$, allora
$\varphi(\vv i ', \vv j ')=0$, dal momento che i vettori di $\basis$ sono a due a due ortogonali
tra loro. Se invece $i = j$, allora $\varphi(\vv i ', \vv j ')=\varphi(\vv i, \vv i)+\varphi(\ww i, \ww i)=1-1=0$. Quindi $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W})=0$, da cui si conclude che $\restr{\varphi}{W}=0$.
Pertanto $W(\varphi)\geq i_-(\varphi)$, e quindi $W(\varphi)= i_-(\varphi)$, da cui la tesi.
