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feat(algebra1): estensioni normali e introduzione a Gal(L/K)
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Estensioni normali e gruppo di Galois}
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\maketitle
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\begin{note}
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Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
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Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
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che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
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estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
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intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
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come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
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considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
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non esplicitamente detto diversamente.
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\end{note} \bigskip
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Si introduce adesso il fondamentale concetto di
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\textit{estensione normale}, prerequisito per
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introdurre a sua volta la teoria di Galois.
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\begin{definition}[estensione normale]
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Un'estensione algebrica
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$\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{normale}
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se per ogni $K$-immersione $\varphi : L \to \overline{K}$
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vale che $\varphi(L) = L$.
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\end{definition}
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||||
Questa definizione viene immediatamente caratterizzata
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attraverso i coniugati dei suoi elementi, come mostra
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la:
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\begin{proposition}
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Sono equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\faktor{L}{K}$ è un'estensione normale,
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\item Per ogni $\alpha \in \faktor{L}{K}$, ogni coniugato
|
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di $\alpha$ appartiene a $L$,
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||||
\item $\faktor{L}{K}$ è il campo di spezzamento
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di una famiglia di polinomi di $K[x]$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si mostra l'equivalenza delle proprietà:
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\begin{itemize}
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\item[$(i)\implies (ii)\;$] Sia $\varphi : L
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\to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Allora,
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||||
poiché $L$ è normale su $K$, $\varphi(L) = L$.
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||||
Sia $\alpha \in L \setminus K$.
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||||
Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$,
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||||
$\restr{\varphi}{K(\alpha)}$ è in particolare
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una $K$-immersione di $K(\alpha)$, e quindi
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deve associare ad $\alpha$ un suo coniugato.
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||||
Dal momento però che $\varphi(\alpha) \in L$,
|
||||
questo significa che ogni coniugato di $\alpha$
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appartiene ad $L$.
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||||
\item[$(ii)\implies (iii)\;$] Sia $\mathcal{F}$
|
||||
la famiglia dei polinomi minimi degli elementi
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di $\faktor{L}{K}$. Si dimostra che
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||||
$L$ è il campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su
|
||||
$K$. Chiaramente $\mathcal{F} \subseteq L$,
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||||
dal momento che $L$ contiene una radice per
|
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ipotesi di ogni polinomio minimo, e per
|
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(ii) contiene tutti i suoi coniugati (e dunque
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tutte le radici di ogni polinomio della famiglia
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||||
$\mathcal{F}$). Inoltre vale anche
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che $L \subseteq \mathcal{F}$, dal momento che
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||||
ogni elemento di $L$ è radice di un polinomio
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||||
di $\mathcal{F}$, per costruzione. Pertanto
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||||
$L = \mathcal{F}$.
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||||
\item[$(iii)\implies (i)\;$] Sia $\varphi : L
|
||||
\to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Sia
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||||
$\alpha \in L \setminus K$.Dal momento per che $L$
|
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è campo di spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi,
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||||
$L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$.
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||||
Per ogni $\alpha$ generatore di $L$, allora,
|
||||
$\varphi$ deve mappare $\alpha$ ad un suo
|
||||
coniugato, ancora appartenente ad $L$ dacché
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||||
$\mathcal{F}$ è campo di spezzamento. Pertanto
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||||
$\varphi(\alpha) \in L$. Allora, dal momento
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||||
che $L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$,
|
||||
ogni suo elemento viene ancora mappato ad un
|
||||
elemento di $L$, e quindi $\faktor{L}{K}$ è
|
||||
un'estensione normale.
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\end{itemize}
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{remark}
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||||
Per esempio, $\faktor{\QQ(\sqrt[3]{2})}{\QQ}$ non
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è normale, dal momento che $\sqrt[3]{2} \zeta_3$,
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||||
un coniugato di $\sqrt[3]{2}$, non appartiene
|
||||
a $\QQ(\sqrt[3]{2})$. Al contrario,
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||||
$\faktor{\QQ(\zeta_3)}{\QQ}$ è normale, dal
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||||
momento che l'unico coniugato di $\zeta_3$ è
|
||||
$\zeta_3^2$.
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||||
\end{remark}
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||||
Dimostriamo inoltre che le estensioni di grado $2$
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sono sempre normali, come mostra la:
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\begin{proposition}
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||||
Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di grado $2$.
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||||
Allora $L$ è normale su $K$, se $\Char K \neq 2$.
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Chiaramente $L$ è un'estensione algebrica di $K$,
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||||
essendo finita. Sia\footnote{
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$L$ è di grado $2$ su $K$, e quindi $K$ deve
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||||
essere un suo sottinsieme proprio.
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||||
} allora $\alpha \in L \setminus K$. Dal momento che
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||||
$\alpha \notin K$, $[K(\alpha) : K] = 2$, e quindi
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||||
$L = K(\alpha)$. Inoltre $\deg_K \alpha = 2$, pertanto,
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||||
poiché $\Char K \neq 2$,
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esiste un polinomio irriducibile
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||||
$p(x) = x^2 + bx + c$ con $b$, $c \in K$
|
||||
di cui $\alpha$ è radice. In particolare,
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||||
$\alpha$, $\overline{\alpha} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$, dove
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||||
$\overline{\alpha}$ il coniugato di $\alpha$.
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||||
Allora $\alpha$, $\overline{\alpha} \in K(\sqrt{\Delta})$. Dal momento allora che
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||||
$L = K(\alpha) = K(\sqrt{\Delta})$, $L$ è
|
||||
campo di spezzamento di $p \in K[x]$, e dunque,
|
||||
per la proposizione precedente, è normale su $K$.
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||||
\end{proof}
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||||
Infine, si esplora la normalità su un diagramma di
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||||
estensioni.
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\begin{proposition}[normalità nel composto e nell'intersezione]
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||||
Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ estensioni
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normali. Allora $\faktor{LM}{K}$ e
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||||
$\faktor{L \cap M}{K}$ sono a loro volta normali.
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\[\begin{tikzcd}[column sep=small]
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&& LM \\
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\\
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L &&&& M \\
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\\
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&& {L \cap M} \\
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||||
\\
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||||
&& K
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||||
\arrow[no head, from=5-3, to=7-3]
|
||||
\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
|
||||
\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
|
||||
\arrow[no head, from=3-1, to=5-3]
|
||||
\arrow[no head, from=5-3, to=3-5]
|
||||
\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Chiaramente $LM$ e $L \cap M$ sono estensioni
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||||
algebriche di $K$, in quanto sia $L$ che $M$ lo sono.
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||||
Sia $\varphi : LM \to \overline{K}$ una $K$-immersione
|
||||
di $LM$. Allora $\varphi(LM) = \varphi(L(M)) =
|
||||
L(\varphi(M)) = L(M) = LM$, e quindi $LM$ è normale
|
||||
su $K$. Analogamente, se $\varphi : L \cap M \to \overline{K}$ è una $K$-immersione di $L \cap M$,
|
||||
$\varphi(L \cap M) = \varphi(L) \cap \varphi(M) = L \cap M$, e quindi $L \cap M$ è normale su $K$.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
Sia $K \subseteq F \subseteq L$ una torre di campi. Allora
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||||
$\faktor{L}{K}$ normale $\implies$ $\faktor{L}{F}$
|
||||
normale.
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||||
\end{proposition}
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||||
\begin{proof}
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||||
Poiché $L$ è normale su $K$, $L$ è un campo di
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||||
spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi
|
||||
di $K[x]$. A maggior ragione, allora,
|
||||
$L$ è campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ come
|
||||
polinomi di $F[x]$, e quindi è normale anche su $F$.
|
||||
\end{proof} \medskip
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||||
Si può adesso introdurre la teoria di Galois introducendo
|
||||
prima l'insieme $\Aut_K L$ e poi il gruppo $\Gal(\faktor{L}{K})$.
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\begin{definition}
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||||
Si definisce l'insieme $\Aut_K L$ come l'insieme
|
||||
delle $K$-immersioni di $L$, ossia delle immersioni
|
||||
$\varphi : L \to \overline{K}$ tali per cui
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||||
$\restr{\varphi}{K} = \Id_K$.
|
||||
\end{definition}
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||||
Se $L$ è normale su $K$, le immersioni di
|
||||
$\Aut_K L$ possono essere ristrette al codominio su
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||||
$L$ (infatti $\varphi(L) = L$ per definizione) e sono
|
||||
tali per cui mandano gli elementi di $L$ nei loro
|
||||
coniugati su $K$. Inoltre, se $L$ è un'estensione finita
|
||||
di $K$, la separabilità di $L$ garantisce che\footnote{
|
||||
In generale, se $L$ è un'estensione finita e normale di $K$,
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||||
$\abs{\Aut_K L} = [L : K]$ se e solo se $L$
|
||||
separabile su $K$.
|
||||
}
|
||||
$\abs{\Aut_K L} = [L : K]$. Pertanto, riducendoci a
|
||||
considerare le estensioni normali e separabili di $K$,
|
||||
ogni immersione, ristretta opportunamente sul codominio,
|
||||
ammette un inverso, e quindi si può considerare
|
||||
$\Aut_K L$ come gruppo sulla composizione, denotato
|
||||
come $\Gal(\faktor{L}{K})$. Tali estensioni sono
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speciali, e vengono pertanto dette \textit{di Galois}.
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||||
\begin{definition}[estensioni di Galois]
|
||||
Si dice che $\faktor{L}{K}$ è un'\textbf{estensione
|
||||
di Galois} se $L$ è sia normale che separabile su $K$.
|
||||
\end{definition}
|
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||||
\begin{definition}[gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$]
|
||||
Si definisce il gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$,
|
||||
denotato come $\Gal(\faktor{L}{K})$, il gruppo
|
||||
rispetto alla composizione
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delle immersioni di $\Aut_K L$ ristrette sul codominio
|
||||
a $L$.
|
||||
\end{definition}
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||||
La maggior parte dei teoremi della teoria di Galois si
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fondano particolarmente sul fatto che il gruppo di Galois
|
||||
di un campo di spezzamento di un irriducibile $f$
|
||||
agisce sulle radici di $f$, come mostra la:
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||||
|
||||
\begin{proposition}
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||||
Sia $f(x) \in K[x]$ un irriducibile. Allora,
|
||||
se $L$ è il suo campo di spezzamento,
|
||||
$\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce fedelmente e transitivamente sulle
|
||||
radici di $L$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K}) \mono S_n$,
|
||||
dove $n = [L : K] = \deg f(x)$, e quindi
|
||||
$n \mid [L : K] \mid n!$.
|
||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Si consideri l'azione $\Xi : \Gal(\faktor{L}{K}) \to
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||||
S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \})$ tale per cui
|
||||
$\varphi \xmapsto{\Xi} [\alpha_i \mapsto \varphi(\alpha_i)]$, dove\footnote{
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||||
Si ricorda l'ipotesi di $K$ campo perfetto;
|
||||
pertanto $f(x)$ è separabile.
|
||||
}
|
||||
le $\alpha_i$ sono le radici distinte di $f(x)$.
|
||||
Allora chiaramente $n \mid [L : K]$, dal momento
|
||||
che $[K(\alpha_1) : K] = n$ e $K(\alpha_1) \subseteq L$. \medskip
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Inoltre $\Xi$ è un'azione fedele dacché $\Ker \Xi$ è banale. Infatti
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l'unica $K$-immersione che fissa ogni radice è
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necessariamente
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l'identità. Allora $\Xi$ è un'immersione di
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$\Gal(\faktor{L}{K})$ in $S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}) \cong S_n$, e quindi
|
||||
$[L : K] = \abs{\Gal(\faktor{L}{K})} \mid n!$. Infine, esiste sempre una $K$-immersione di
|
||||
$L$ che mappa un qualsiasi $\alpha_i$ ad un altro
|
||||
$\alpha_j$, purché $i \neq j$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce transitivamente sulle
|
||||
radici di $f(x)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{document}
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