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\title { \textbf { Note del corso di Analisi Matematica 1} }
\author { Gabriel Antonio Videtta}
\date { 21 marzo 2023}
\date { 23 e 24 marzo 2023}
\begin { document}
@ -206,10 +206,10 @@
\end { proposition}
\begin { proof}
Sia $ f : = f _ 1 + f _ 2 $ .
Si dimostrano i due punti separatamente .
\begin { enumerate} [(i)]
\item Poiché $ f _ 1 , f _ 2 $ sono continue in $ \xbar $ ,
\item Sia $ f : = f _ 1 + f _ 2 $ . Poiché $ f _ 1 , f _ 2 $ sono continue in $ \xbar $ ,
$ \forall \eps > 0 $ , $ \exists \delta > 0 \mid \abs { x - \xbar } < \delta
\implies \abs { f_ 1(x) - f_ 1(\xbar )} , \abs { f_ 2(x) - f_ 2(\xbar )} \leq \eps $ ( per ogni $ \eps > 0$ , si prende $ \delta = \min \{ \delta _ 1, \delta _ 2\} $ , ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni
di $ \xbar $ ). Allora $ \abs { f ( x ) - f ( \xbar ) } \leq
@ -217,6 +217,18 @@
Si conclude dunque che $ \forall \eps > 0 $ , $ \exists \delta > 0
\mid \abs { f(x) - f(\xbar )} \leq 2\eps $ , e quindi, poiché
$ 2 \eps \tends { \eps \to 0 } 0 $ , che $ f $ è continua in $ \xbar $ .
\item Dal momento che $ f _ 1 , f _ 2 $ sono continue in $ \xbar $ ,
$ \forall \eps > 0 $ , $ \exists \delta > 0 $ tale che $ \abs { x - \xbar } < \delta \implies \abs { f _ 1 ( x ) - f _ 1 ( \xbar ) } < \eps , \abs { f _ 2 ( x )
- f_ 2(\xbar )} < \eps $ ( vale lo stesso ragionamento del punto
(i)). Allora $ f _ 1 ( x ) = f _ 1 ( \xbar ) + e _ 1 $ e
$ f _ 2 ( x ) = f _ 2 ( \xbar ) + e _ 2 $ , con $ \abs { e _ 1 } , \abs { e _ 2 } < \eps $ .
Dunque $ f _ 1 ( x ) f _ 2 ( x ) = f _ 1 ( \xbar ) f _ 2 ( \xbar ) + \underbrace { e _ 1 f _ 2 ( \xbar ) +
e_ 2 f_ 1(\xbar ) + e_ 1 e_ 2} _ e$ . In particolare, per la
disuguaglianza triangolare, $ \abs { e } \leq \abs { e _ 1 f _ 2 ( \xbar ) } +
\abs { e_ 2 f_ 1(\xbar )} + \abs { e_ 1 e_ 2} \leq \underbrace { \eps \abs { f_ 2(\xbar )} +
\eps \abs { f_ 1(\xbar )} + \eps ^ 2} _ { \eps '} $ . Poiché $ \eps ' \tends { \eps \to 0^ +} 0$ , si conclude che $ \abs { f_ 1(x) f_ 2(x) - f_ 1(\xbar ) f_ 2(\xbar )} = \abs { e} \leq \eps ' \implies f_ 1(x)f_ 2(x)$ continua
in $ \xbar $ .
\end { enumerate}
\end { proof}
@ -232,4 +244,79 @@
\end { enumerate}
\end { proposition}
\begin { definition}
(intorno destro e sinistro) Se $ \xbar \in \RR $ , si dicono
\textbf { intorni destri} gli intervalli della forma $ [ \xbar , \xbar + \eps ] $ con
$ \eps > 0 $ . Analogamente, gli \textbf { intorni sinistri} sono gli
intervalli della forma $ [ \xbar - \eps , \xbar ] $ .
\end { definition}
\begin { definition}
(punto di accumulazione destro e sinistro) Sia $ \xbar \in X $ .
Si dice che $ \xbar $ è un \textbf { punto di accumulazione destro}
di $ X $ se $ \forall I $ intorno destro di $ \xbar $ , $ I \cap X \setminus \{ \xbar \} \neq \emptyset $ . Analogamente si dice \textbf { punto di
accumulazione sinistro} di $ X $ se è tale per gli intorni sinistri.
\end { definition}
\begin { definition}
(limite destro e sinistro) Sia $ \xbar $ un punto di accumulazione
destro di $ X $ . Allora $ \lim _ { x \to \xbar ^ + } f ( x ) = L \defiff \forall I $
intorno di $ L $ , $ \exists J $ intorno destro di $ \xbar $ tale che
$ f ( J \cap X \setminus \{ \xbar \} ) \subseteq I $ . Analogamente si definisce
il limite sinistro.
\end { definition}
\begin { definition}
(continuità destra e sinistra) Sia $ \xbar \in X $ . Allora $ f $ è continua
a destra in $ \xbar $ se e solo se $ \forall I $ intorno di $ f ( \xbar ) $ ,
$ \exists J $ intorno destro di $ \xbar $ tale che $ f ( J \cap X \setminus \{ \xbar \} ) \subseteq I $ . Analogamente si definisce la continuità
a sinistra di $ f $ .
\end { definition}
% TODO: aggiungere osservazioni sulla continuità destra e sinistra.
\begin { proposition}
Sia $ f : X \to \RRbar $ monotona e sia $ \xbar $ un punto di
accumulazione destro di $ X $ . Allora esiste $ \lim _ { x \to \xbar ^ + } f ( x ) $ .
Analogamente esiste da sinistra se $ \xbar $ è un punto di
accumulazione sinistro di $ X $ .
\end { proposition}
% TODO: aggiungere funzione discontinua in ogni punto di R.
% TODO: l'insieme dei punti di discontinuità per una funzione monotona è al più numerabile (hint: punto medio).
\begin { theorem} (della permanenza del segno)
Data $ ( x _ n ) \subseteq \RR $ tale che $ x _ n \tendston L > 0 $ , allora
$ ( x _ n ) $ è positiva definitivamente. Analogamente, se $ L < 0 $ ,
$ ( x _ n ) $ è negativa definitivamente.
\end { theorem}
\begin { proof}
\end { proof}
\begin { theorem} (degli zeri) Dati $ I = [ a, b ] $ e
$ f : I \to \RRbar $ continua tale che $ f ( a ) f ( b ) < 0 $ (i.e.~sono discordi), allora $ \exists c \in ( a, b ) \mid f ( c ) = 0 $ .
\end { theorem}
\begin { proof}
Prendo $ E $ insieme dei punti in cui la funzione è negativa e
dimostro che il $ \sup $ di questo insieme è proprio $ 0 $ (esiste
per la completezza di $ \RR $ e mostro che $ f ( \xbar ) = 0 $ ). Mostro
quest'ultimo concetto facendo vedere che è sia positivo che
negativo dalle ipotesi (si può sempre approssimare l'estremo
superiore di $ E $ con i suoi elementi). $ \xbar $ si può approssimare
anche da destra (essendo il $ \sup $ di $ E $ , deve valere che le
successioni da destra sono positive)
\end { proof}
\begin { corollary} (dei valori intermedi) Dati $ I = ( a, b ) ] $ e
$ f : I \to \RRbar $ continua, allora $ y _ 1 $ , $ y _ 2 \in f ( I ) \implies
[y_ 1, y_ 2] \subseteq f(I)$ ( ossia $ f$ assume tutti i valori
compresi tra $ y _ 1 $ e $ y _ 2 $ ).
\end { corollary}
\begin { proof}
\end { proof}
\end { document}
