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@ -196,6 +196,8 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
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\section{Probabilità reale, funzione di ripartizione (f.d.r.) e proprietà}
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\section{Probabilità reale, funzione di ripartizione (f.d.r.) e proprietà}
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\subsection{Definizioni e corrispondenza tra f.d.r.~e probabilità reale}
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\begin{definition}
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\begin{definition}
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Si dice \textbf{probabilità reale} una qualsiasi
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Si dice \textbf{probabilità reale} una qualsiasi
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probabilità $P$ su $(\RR, \BB(\RR))$.
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probabilità $P$ su $(\RR, \BB(\RR))$.
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@ -224,18 +226,12 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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L'affermazione (ii.) segue dal fatto che per ogni successione decrecente da destra $(x_i)_{i \in \NN} \goesdown \tilde{x}$ è
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L'affermazione (ii.)~segue dal fatto che per ogni successione decrecente da destra $(x_i)_{i \in \NN} \goesdown \tilde{x}$,
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che esclude $\tilde{x}$, è
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tale per cui $((-\infty, x_i])_{i \in \NN} \goesdown (-\infty, \tilde{x}]$, e dunque
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tale per cui $((-\infty, x_i])_{i \in \NN} \goesdown (-\infty, \tilde{x}]$, e dunque
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$(P(x_i))_{i \in \NN} \goesdown P(\tilde{x})$.
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$(F(x_i))_{i \in \NN} = (P((-\infty, x_i]))_{i \in \NN} \goesdown P((-\infty, \tilde{x}]) = F(\tilde{x})$.
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\end{proposition}
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\end{proposition}
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\begin{remark}
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La continuità a sinistra non è invece garantita dacché non è vero che per ogni successione da sinistra crescente
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$(x_i)_{i \in \NN} \goesup \tilde{x}$
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vale che $((-\infty, x_i])_{i \in \NN} \goesup (-\infty, \tilde{x}]$. Infatti, se $\tilde{x}$ non appartiene a tale
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successione, l'insieme limite è $(-\infty, \tilde{x})$ e non $(-\infty, \tilde{x}]$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}[$P$ è univocamente determinata da $F$]
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\begin{proposition}[$P$ è univocamente determinata da $F$]
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Sia $F : \RR \to \RR$ una funzione tale per cui:
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Sia $F : \RR \to \RR$ una funzione tale per cui:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\begin{enumerate}[(i.)]
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@ -251,4 +247,40 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
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L'unicità segue dal lemma di Dynkin.
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|
L'unicità segue dal lemma di Dynkin.
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\end{proposition}
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\end{proposition}
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\begin{remark}
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La continuità a sinistra della f.d.r.~non è invece garantita dacché per ogni successione da sinistra crescente
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$(x_i)_{i \in \NN} \goesup \tilde{x}$, che esclude $\tilde{x}$,
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vale che $((-\infty, x_i])_{i \in \NN} \goesup (-\infty, \tilde{x})$, e non
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$(-\infty, \tilde{x}]$. Dunque $\lim_{x \to \tilde{x}^-} F(x)$ esiste ed è $P((-\infty, x))$, indicato
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comunemente come $F(x^-)$, che può non coincidere con $F(x)$. \smallskip
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Dal momento che:
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\[
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P(\{x\}) = P((-\infty, x] \setminus (-\infty, x)) = F(x) - F(x^-),
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\]
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si deduce che $F$ è continua se e solo se $P(\{x\}) = 0$ (ossia se e solo se
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$F(x) = F(x^-)$).
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Si deducono immediatamente dalla precedente osservazione le seguenti identità:
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\begin{itemize}
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\item $P([a, b]) = F(b) - F(a^-)$,
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\item $P((a, b)) = F(b^-) - F(a)$,
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\item $P([a, b)) = F(b^-) - F(a^-)$,
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\item $P((a, b]) = F(b) - F(a)$.
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\end{itemize}
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\end{remark}
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\begin{definition}[$P$ continua]
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Si dice che una probabilità reale $P$ è \textbf{continua} se
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la sua f.d.r.~$F$ lo è, ossia se $P(\{a\}) = 0$ per ogni $a \in \RR$
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(quest'ultima equivalenza deriva dalla penultima osservazione).
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Per una probabilità $P$ continua la misura di un intervallo con estremi $a$ e $b$ è semplificata
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a $F(b) - F(a)$ in tutti i casi (infatti $F(a^-) = F(a)$ e $F(b^-) = F(b)$).
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\end{remark}
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\end{multicols*}
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\end{multicols*}
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