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fisica: divide ogni capitolo in un rispetto file tex
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cef0d47cce
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\chapter{I moti principali della meccanica newtoniana}
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\section{Il moto uniformemente accelerato (m.u.a.)}
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Conoscendo le definizioni di accelerazione ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$)
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e di velocità ($\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$) è possibile, ponendo l'accelerazione
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costante (i.e. il \textit{jerk} è nullo, $\frac{d\vec{a}}{dt} = 0$), ricavare numerose formule.
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\subsection{Le equazioni del moto in un sistema di riferimento unidimensionale}
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Le equazioni del moto sono le seguenti:
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\begin{equation}
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\begin{dcases}
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x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \\
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v(t)=v_0+at
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\end{dcases}
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\label{eq:mua}
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\end{equation}
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\begin{proof}
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Da $a=\frac{dv}{dt}$, si ricava $dv=a\cdot dt$, da cui:
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\begin{equation*}
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\int dv=\int a\, dt = a \int dt \Rightarrow v=v_0+at
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\end{equation*}
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Dimostrata questa prima equazione, è possibile dimostrare in modo analogo l'altra:
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\begin{equation*}
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\int dx=\int v\cdot dt = \int v_0\, dt + \int at\, dt = x_0+v_0t+\frac12at^2
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\end{equation*}
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La dimostrazione può essere inoltre resa immediata se si sviluppano $x(t)$ e
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$v(t)$ come serie di Taylor-Maclaurin.
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\end{proof}
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\subsection{Lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione}
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Senza ricorrere alla variabile di tempo $t$, è possibile
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esprimere lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione
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mediante le seguente formula:
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\begin{equation}
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x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
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\end{equation}
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\begin{proof}
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Considerando $a=\frac{dv}{dt}$, è possibile riscrivere, mediante l'impiego
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delle formule di derivazione delle funzioni composte, quest'ultima formula:
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\begin{equation*}
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a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\,\frac{dv}{dx}
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\end{equation*}
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Da ciò si può ricavare infine l'ultima formula:
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\begin{equation*}
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a\,dx=v\,dv \Rightarrow a \int dx = \int v \, dv
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\end{equation*}
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E quindi:
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\begin{equation*}
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a(x-x_0)=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\section{Il moto dei proiettili}
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Il \textit{moto dei proiettili}, o moto parabolico, non
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è altro che la forma vettoriale del m.u.a. sfruttando due accelerazioni per
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entrambe le dimensioni: una nulla (quella dello spostamento parallelo al
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terreno) ed una pari a $-g$ (quella data dalla gravità nello spostamento
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normale al terreno).
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\subsection{Le equazioni del moto dei proiettili}
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Riprendendo le precedenti considerazioni, si può dunque scrivere
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l'equazione del moto in forma vettoriale:
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\begin{equation}
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\begin{pmatrix}
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x \\
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y
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\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
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x_0 \\
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y_0
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\end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \vec{a} t^2
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\end{equation}
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O nel casso del moto parabolico sulla Terra:
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\begin{equation}
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\begin{pmatrix}
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x \\
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||||
y
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\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
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x_0 \\
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y_0
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\end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \begin{pmatrix}
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0 \\
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-g
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\end{pmatrix} t^2
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\end{equation}
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O si può separare quest'ultima in due equazioni:
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\begin{equation}
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\begin{dcases}
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x(t)=x_0+v_0\cos(\theta)t \\
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y(t)=y_0+v_0\sin(\theta)t-\frac12gt^2
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\end{dcases}
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\end{equation}
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\subsection{Il calcolo della gittata e della traiettoria}
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Definita la \textit{gittata} come la distanza tra il punto di lancio ed
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il punto in cui il corpo assume la stessa ordinata del punto di lancio e
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la \textit{traiettoria} come la distanza tra il punto di lancio ed il
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punto in cui il corpo assume la massima ordinata, si possono facilmente
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dimostrare le seguenti equazioni per un moto la cui la posizione iniziale
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è nulla e che viene effettuato sulla Terra:
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\begin{equation}
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\displaystyle
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\begin{dcases}
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x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\
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x_{\text{traiettoria}} = \frac12 x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{2g}
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\end{dcases}
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\end{equation}
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\begin{proof}[Dimostrazione dell'equazione della gittata]
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L'equazione del moto in questo caso si può sintetizzare nel
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seguente sistema:
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\begin{equation*}
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\begin{dcases}
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x=v_0\cos(\theta)t \\
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y=v_0\sin(\theta)t -\frac12gt^2
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\end{dcases}
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\end{equation*}
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Poiché il corpo deve raggiungere terra, l'ordinata deve
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annullarsi, da cui si ottiene il seguente sistema:
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\begin{equation*}
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\begin{dcases}
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t=\frac{x}{v_0\cos(\theta)} \\
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\frac12gt^2=v_0\sin(\theta)t
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\end{dcases}
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\end{equation*}
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Sostituendo la prima equazione nella seconda, ricaviamo:
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\begin{equation*}
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\frac12 g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2(\theta)}=v_0\sin(\theta) \frac{x}{v_0\cos(\theta)} \Rightarrow x=\frac{2 v_0^2 \sin(\theta) \cos(\theta)}{g}
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\end{equation*}
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Ricordando che $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$, otteniamo infine:
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\begin{equation*}
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x=\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Dimostrazione dell'equazione della traiettoria]
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Poiché $y(x)$ rappresenta analiticamente una parabola, il punto in cui
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l'ordinata si massimizza ha come ascissa
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l'ascissa media tra i due zeri (i.e. l'ascissa del vertice della
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parabola), ovvero $x_{traiettoria}$ è la media tra $0$ e
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$x_{\text{gittata}}$:
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\begin{equation*}
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x_{traiettoria}=\frac{v_0\sin(2\theta)}{2g}
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\section{Il moto circolare}
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Definendo alcune grandezze fisiche in modo analogo a come vengono
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proposte nel m.u.a., è possibile riproporre le equazioni \ref{eq:mua}
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mediante l'impiego di grandezze esclusivamente angolari.
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\subsection{Le equazioni del moto circolare}
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Si definiscano dunque le seguenti grandezze:
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\begin{itemize}
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\item L'angolo $\theta$ in funzione del tempo
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\item La velocità angolare $\displaystyle \omega=\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$
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\item L'accelerazione angolare $\displaystyle \alpha=\ddot{\theta}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$
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\end{itemize}
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Innanzitutto, è possibile coniugare il mondo angolare con quello
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cartesiano, tenendo conto del fatto che $x=\theta r$. In questo modo
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si ricavano le seguenti relazioni:
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\begin{itemize}
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\item $\displaystyle v=\omega r$, la velocità angolare
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\item $\displaystyle a_t=\alpha r$, l'accelerazione tangenziale
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(da distinguersi da quella centripeta!)
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\end{itemize}
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Per sostituzione, dalle equazioni \ref{eq:mua} si ottengono dunque
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le analoghe seguenti:
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\begin{equation}
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\begin{dcases}
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\theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2 \\
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\omega = \omega_0 + \alpha t
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\end{dcases}
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\end{equation}
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Nel caso del moto circolare uniforme ($\alpha=0$) è utile definire
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altre due quantità:
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\begin{itemize}
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\item Il periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$
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\item La frequenza $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$
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\end{itemize}
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\subsection{L'accelerazione centripeta}
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Oltre all'accelerazione tangenziale, direttamente proporzionale a
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quella lineare, è possibile definire anche un altro tipo di
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accelerazione: l'\textbf{accelerazione centripeta} ($a_c$), diretta dal
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corpo verso il centro della circonferenza sulla quale questo muove.
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Questo tipo di accelerazione è costante nel moto circolare uniforme
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($\alpha=0$) ed è calcolata mediante le seguente equazione:
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\begin{equation}
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a_c=\frac{v^2}{r}
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\label{eq:acc_c}
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\end{equation}
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Qualora non ci si riferisse ad un moto circolare uniforme,
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l'accelerazione centripeta non sarà costante, ma variabile in
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funzione della velocità con la quale si muove il corpo.
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Inoltre, vale la seguente relazione:
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\begin{equation}
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a=\sqrt{a_t^2 + a_c^2}
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\label{eq:acc_moto_cir}
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\end{equation}
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Nel caso del moto circolare uniforme, l'unica
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accelerazione agente sul corpo è quindi quella centripeta.
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\subsection{Il moto circolare visualizzato vettorialmente}
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\vskip 0.1in
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\begin{wrapfigure}[12]{l}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\coordinate (a) at (2.236, 0);
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\coordinate (b) at (0.89, 0.92);
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\coordinate (o) at (0, 0);
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\draw [rotate around={0:(0,0)}] (0,0) ellipse (2.236 and 1);
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\draw [->,thick] (0,0) -- (0,2.5) node[midway, right] {$\vec{\omega}$};
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||||
\draw [->,thick] (0,0) -- (a) node[right] {$\vec{r}(t)$};
|
||||
\draw [->,thick] (0,0) -- (b) node[above right] {$\vec{r}(t+dt)$};
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||||
\draw [->] (a) -- (2.6, 0.7) node[right] {$\vec{v}(t)$};
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||||
\draw pic["$d\theta$", draw=black, angle eccentricity=1.5, angle radius=0.5cm] {angle=a--o--b};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Il moto circolare nel piano $O_{xy}$} \label{fig:moto_circolare}
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\end{wrapfigure}
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Per visualizzare in modo più intuitivo, ma anche più formale, il
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moto circolare, è possibile costruire un sistema di riferimento
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basandosi su alcune assunzioni.
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Basandosi sulla figura \ref{fig:moto_circolare}, assumiamo
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$\vec{d\theta} = d\theta \cdot \hat{z}$, attraverso cui
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possiamo concludere che $\vec{\omega}=\frac{\vec{d\theta}}{dt}$ è anch'esso
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parallelo a $\hat{z}$.
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Inoltre, $d\vec{r}$ deve essere perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
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a $\vec{\omega}$, poiché appartiene al piano $O_{xy}$.
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Perciò è possibile riscrivere $d\vec{r}$ nella seguente forma, tenendo
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conto che il suo modulo è pari a $d\theta \cdot \norm{r}$ (ovvero
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l'arco di circonferenza percorso per $d\theta$):
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\begin{equation*}
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d\vec{r}=\frac{d\theta \cdot \norm{r}}{\lVert \vec{w} \times
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\vec{r} \rVert} \vec{w} \times \vec{r} =
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\frac{d\theta}{\norm{\omega}} \vec{w} \times \vec{r}
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\end{equation*}
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Poiché la velocità $\vec{v}$ è pari a $\frac{d\vec{r}}{dt}$, si ottiene,
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conoscendo $d\vec{r}$, la seguente relazione:
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\begin{equation}
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\vec{v}=\vec{w}\times\vec{r}
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\end{equation}
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Dalla quale si ricava che $\vec{v}$ è perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
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a $\vec{\omega}$.
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Analogamente, è possibile ricavare l'accelerazione:
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\begin{equation}
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\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\omega}
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\times \vec{r})}{dt}=\vec{\alpha} \times \vec{r}
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+ \vec{\omega} \times \vec{v}
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\end{equation}
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È interessante notare che $\vec{\alpha} \times \vec{r}$
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è perpendicolare a $\vec{\omega} \times \vec{v}$, permettendoci
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di calcolare facilmente il modulo dell'accelerazione:
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\begin{equation}
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\norm{a} = \sqrt{\nnorm{\vec{\alpha} \times \vec{r}}^2 + \nnorm{\vec{\omega} \times \vec{v}}^2}
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\end{equation}
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Non solo: $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ è perpendicolare a $\vec{r}$ e
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$\vec{\omega} \times \vec{v}$ gli è parallelo, ma possiede un verso opposto.
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Per questa serie di motivi, $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ viene chiamata
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\textbf{accelerazione tangenziale} ($\vec{a_t}$), mentre
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$\vec{\omega} \times \vec{v}$ viene chiamata \textbf{accelerazione centripeta}
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($\vec{a_c}$).
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Nel moto circolare uniforme, ove $\vec{\alpha}=0$, infatti l'accelerazione
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centripeta è costante (vd. eq. \ref{eq:acc_c}) e l'accelerazione
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tangenziale è nulla (quindi $\vec{a}=\vec{a_c}$).
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Attraverso questa visualizzazione del moto, è possibile ricavare tutte
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le formule proposte all'inizio della sezione (ed è soprattutto
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possibile giustificare l'equazione \ref{eq:acc_moto_cir}).
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