le prime due righe). Si dice che $M$ è \textit{minore} di $A$ una sua sottomatrice quadrata. Si chiamano \textit{orlati} di un minore $M$ di taglia $k$ i minori di taglia $k+1$ di $A$ aventi $M$ come minore.
le prime due righe). Si dice che $M$ è \textit{minore} di $A$ una sua sottomatrice quadrata. Si chiamano \textit{orlati} di un minore $M$ di taglia $k$ i minori di taglia $k+1$ di $A$ aventi $M$ come minore.
\begin{itemize}
\begin{itemize}
\itemSe $B$ è una sottomatrice di $A$, allora $\rg(B)\leq\rg(A)$ (è sufficiente prendere un numero massimo di colonne linearmente indipendenti
\itemse $B$ è una sottomatrice di $A$, allora $\rg(B)\leq\rg(A)$ (è sufficiente prendere un numero massimo di colonne linearmente indipendenti
di $B$ e mostrare che le relative colonne in $A$ sono ancora linearmente indipendenti),
di $B$ e mostrare che le relative colonne in $A$ sono ancora linearmente indipendenti),
\item$\rg(A)=\max\{\rg(B)\mid B \text{ sottomatrice di }\! A\}$ (è sufficiente utilizzare il precedente risultato; infatti $A$ è una sottomatrice di $A$),
\item$\rg(A)=\max\{\rg(B)\mid B \text{ sottomatrice di }\! A\}$ (è sufficiente utilizzare il precedente risultato; infatti $A$ è una sottomatrice di $A$),
\item$\rg(A)=\max\{\rg(B)\mid B \text{ minore invertibile di }\! A\}=\max\{n \mid\text{esiste un minore di $A$ di taglia $n$ invertibile}\}$ (è sufficiente utilizzare la prima disuguaglianza e considerare un minore di $A$ composto dalle righe e le colonne linearmente indipendenti di $A$, che sono
\item$\rg(A)=\max\{\rg(B)\mid B \text{ minore invertibile di }\! A\}=\max\{n \mid\text{esiste un minore di $A$ di taglia $n$ invertibile}\}$ (è sufficiente utilizzare la prima disuguaglianza e considerare un minore di $A$ composto dalle righe e le colonne linearmente indipendenti di $A$, che sono
@ -1190,7 +1190,9 @@
a blocchi),
a blocchi),
\item se $V = W \oplus U$, dove sia $W$ che $U$ sono $f$-invarianti,
\item se $V = W \oplus U$, dove sia $W$ che $U$ sono $f$-invarianti,
allora $\charpoly{f}=\charpolyrestr{f}{W}\cdot\charpolyrestr{f}{U}$ (la matrice associata in un'unione di basi
allora $\charpoly{f}=\charpolyrestr{f}{W}\cdot\charpolyrestr{f}{U}$ (la matrice associata in un'unione di basi
di $W$ e $U$ è infatti diagonale a blocchi).
di $W$ e $U$ è infatti diagonale a blocchi),
\item se sia $W$ che $U$ sono $f$-invarianti, allora $f$ è diagonalizzabile
se e solo se sia $\restr{f}{W}$ che $\restr{f}{U}$ lo sono.
\end{itemize}
\end{itemize}
Si dice che $f$ è diagonalizzabile se $V$ ammette una base per cui
Si dice che $f$ è diagonalizzabile se $V$ ammette una base per cui
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dove $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono gli autovalori distinti di
dove $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono gli autovalori distinti di
$f$, e dunque $\restr{f}{W}$ è sempre diagonalizzabile, se $f$ lo è.
$f$, e dunque $\restr{f}{W}$ è sempre diagonalizzabile, se $f$ lo è.
Se $f$ è diagonalizzabile, anche $f^k$ lo è, per ogni $k \in\NN$. Se
ogni vettore di $V$ è un autovettore di $f$, allora $f =\lambda\Id$,
con $\lambda\in\KK$ (è sufficiente considerare l'eventuale esistenza di più
autospazi e due vettori $\v$ e $\w$ di due autospazi distinti e considerare
le due scritture possibili di $f(\v+\w)$).
Si dice infine che $f$ è triangolabile (o triangolarizzabile) se $V$
ammette una base per cui la matrice associata di $f$ è triangolare superiore
(o inferiore, dal momento che è sufficiente riordinare dal basso la base
per ottenere una matrice associata triangolare superiore). Vale in particolare
che $f$ è triangolabile se e soltanto se $p_f(\lambda)$ è completamente
riducibile in fattori lineari in $\KK$ (dunque, nel caso di $\KK$ algebricamente
chiuso, $f$ è sempre triangolabile). Infatti, se $f$ è triangolabile, il polinomio
caratteristico ha come radici esattamente gli elementi sulla diagonale della
matrice associata di $f$ nella base $\basis$ in cui tale matrice è triangolare
superiore (e dunque $p_f(\lambda)$ è riducibile in fattori lineari). Se invece $p_f(\lambda)$ è riducibile in fattori lineari, si può applicare il seguente
algoritmo [...]
\subsubsection{Diagonalizzabilità e triangolabilità simultanea}
Due endomorfismi $f$, $g \in\End(V)$ diagonalizzabili si dicono simultaneamente diagonalizzabili se esiste una base $\basis$ di $V$
Due endomorfismi $f$, $g \in\End(V)$ diagonalizzabili si dicono simultaneamente diagonalizzabili se esiste una base $\basis$ di $V$
tale per cui sia la matrice associata di $f$ in $\basis$ che quella
tale per cui sia la matrice associata di $f$ in $\basis$ che quella
di $g$ sono diagonali. Vale in particolare che $f$ e $g$ sono
di $g$ sono diagonali. Vale in particolare che $f$ e $g$ sono
@ -1268,11 +1290,8 @@
autovettori in un'unica base $\basis$ di $V$, si otterrà dunque
autovettori in un'unica base $\basis$ di $V$, si otterrà dunque
che una base in cui le matrici associate di $f$ e $g$ sono diagonali.
che una base in cui le matrici associate di $f$ e $g$ sono diagonali.
Se $f$ è diagonalizzabile, anche $f^k$ lo è, per ogni $k \in\NN$. Se
Analogamente due endomorfismi $f$, $g \in\End(V)$ triangolabili si dicono
ogni vettore di $V$ è un autovettore di $f$, allora $f =\lambda\Id$,
simultaneamente triangolabili se [...]
con $\lambda\in\KK$ (è sufficiente considerare l'eventuale esistenza di più
autospazi e due vettori $\v$ e $\w$ di due autospazi distinti e considerare
le due scritture possibili di $f(\v+\w)$).
\subsection{Prodotto scalare e congruenza}
\subsection{Prodotto scalare e congruenza}
Si consideri una mappa $\varphi : V \times V \to\KK$. Si dice che
Si consideri una mappa $\varphi : V \times V \to\KK$. Si dice che
