Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Siano inoltre
$O$, $O' \in E$. Allora se si pone $P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$ e $P'=O'+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O')$, vale che:
\[P=P'\iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
\[P=P'\,\forall O, O' \in E \iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
Pertanto un punto $P\in E$ si dice \textit{combinazione affine} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali che $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$ e che $\forall O \in E$,
$P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$. Si scrive in tal caso $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ (la notazione è ben definita dal momento che
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si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
Partendo da $V$ spazio vettoriale su $\KK$ possiamo associare uno spazio affine $E=V$ con azione $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$.
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare.
Chiamiamo lo spazio affine associato in questo modo a $V=\KK^n$$\mathcal{A}_n(\KK)$%A maiuscola corsiva?
Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$ allora ogni scelta di un punto $O\in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
$\varphi_{O,\mathcal{B}}:E\rightarrow\mathcal{A}_n(\KK)$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(O+\v)=[\v]_\basis$
Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ induce uno spazio affine tramite l'azione banale che compie $(V, +)$ su $(V, +)$, ossia con $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$, dove l'operazione $+$ coincide sia con la somma affine che
con quella vettoriale.
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare. Lo spazio affine
generato in questo modo su $\KK^n$ viene detto \textit{spazio affine standard} ed è indicato come $\AnK$. \\\vskip 0.05in
Un sottoinsieme $D\subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Segue che $D=P_0+D_0$ ossia che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0-O$%O ??
Chiamiamo $D_0$\textit{direzione} del sottospazio affine $D$.
Inoltre $D_0$ è unico e possiamo scriverlo anche come $D_0=\{Q-P\mid P,Q\in D\}$.
In generale i sottospazi affini corrispondono ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
Chiamiamo \textit{dimensione} di un sottospazio affine $D$ la dimensione dello spazio vettoriale $D_0$. In particolare dim$E$=dim$V$.
Quindi così come per gli spazi vettoriali i sottospazi affini di dimensione 0 sono i punti di $E$, quelli di dimensione 1 sono le rette di $E$, quelli di dimensione 2 sono i piani di $E$ e quelli di codimensione 1 sono gli iperpiani affini.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si diranno paralleli, coincidono o hanno intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Diciamo che i punti $P_1,\ldots,P_k\in E$ sono \textit{affinemente indipendenti} se l'espressione $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i\in\Aff(\{P_1,\ldots,P_k\})$ è unica.
Un sottoinsieme $S\subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
$P_1,\ldots,P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1,\ldots,k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j\neq i$ sono linearmente indipendenti $\iff\forall i$$P_i\notin\Aff(\{P_1,\ldots,\hat{P}_i,\ldots,P_k\})$%?
Sia $E=\mathcal{A}_n(\KK)$ allora $\w_1,\ldots,\w_n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\w}_1,\ldots,\hat{\w}_n$ con $\hat{w_i}=\begin{pmatrix}
\w_i \\ 1
\end{pmatrix}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti.
Segue che ci sono al massimo $n+1$ vettori affinemente indipendenti.
Se $E$ è uno spazio affine sul $\KK$-spazio $V$, allora ogni scelta di un punto $O \in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
$\varphi_{O,\mathcal{B}} : E \to\AnK$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(P)=[P-O]_\basis$, dove $P \in E$.
Se scegliamo $n+1$ punti $P_0,\ldots,P_n\in E$$\Aff(\{P_0,\ldots,P_n\}=E$.
Dunque per ogni punto $P \in E$$P=\sum_{i=0}^{n}\lambda_i P_i$ con $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$.
Chiamiamo i $\lambda_i$ le \textit{coordinate affini} del punto $P$ sul riferimento affine $P_0,\ldots,P_n$
Diciamo che $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ è una \textit{combinazione convessa} di $P_1,\ldots,P_k$ se $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$ e $\lambda_i\ge0$$\forall i$
Diremo che l'\textit{inviluppo convesso}$IC(S)$ di un insieme $S\subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni convesse finite di $S$.
$\forall S\subseteq E$, $IC(S)$ è convesso.
Chiamiamo \textit{baricentro geometrico} di $P_1,\ldots,P_n\in E$ come $G=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i$
Se $A\subseteq E$ è finito, chiamiamo $G_A$ il baricentro geometrico dei punti di $A$.
Allora se $A=B\sqcup C$$(A=B\cup C \wedge B\cap C=\emptyset)$
$$G_A=\frac{|B|}{|A|}G_B+\frac{|C|}{|A|}G_C$$
Un sottoinsieme $D \subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$,
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Si può allora scrivere che $D=P_0+D_0$, ossia si deduce che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0$, e quindi
che ogni sottospazio affine è in particolare il traslato
di un sottospazio vettoriale.
L'insieme $D_0$, scritto anche come $\Giac(D)$, è detto \textit{direzione} (o \textit{giacitura}) del sottospazio affine $D$ ed è invariante per la scelta
del punto $P_0$; in particolare vale che $D_0=\{ Q - P \mid P, Q \in D \}$.
Si definisce la dimensione di un sottospazio affine $D$ come la dimensione della sua direzione $D_0$. In particolare $\dim E =\dim V$. Quindi, così come accade per gli spazi vettoriali, i sottospazi affini di dimensione nulla corrispondono ai punti di $E$, quelli di dimensione unitaria corrispondono alle \textit{rette} di $E$, quelli di dimensione $2$ corrispondono ai \textit{piani}, mentre quelli di codimensione unitaria (ossia di dimensione $\dim V -1$) corrispondono agli \textit{iperpiani affini}.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si
dicono \textit{paralleli} se sono distinti, o \textit{coincidenti} se sono uguali. Due sottospazi
affini paralleli hanno sempre intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Dei punti $P_1$, ..., $P_k \in E$ si dicono \textit{affinemente indipendenti} se per
$P \in\Aff(P_1, \ldots, P_k)$ esistono unici
$\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ tali per cui
$P =\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ è una combinazione
affine. Un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
I punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1\text{---}k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j \neq i$ sono linearmente indipendenti in $V$$\iff\forall i=1\text{---}k$, $P_i \notin\Aff(S \setminus\{P_i\})$,
dove $S =\{P_1, \ldots, P_k\}$. Pertanto, possono
esistere al più $\dim D_0+1$ punti affinemente
indipendenti in $D$. In particolare, se si scelgono
$n+1$ punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ affinemente
indipendenti, vale che $\Aff(P_0, \ldots, P_n)= E$ (in tal caso infatti la direzione sarebbe tutto $V$).
Esistono sempre $P_0$, ..., $P_n$ punti di $D$ tali
che $\Aff(P_0, \ldots, P_n)= D$, se $\dim D = n$;
in tal caso l'insieme di questi punti viene detto
\textit{riferimento affine}. Ogni riferimento affine ha
lo stesso numero di elementi (in generale valgono
le stesse proprietà di una base vettoriale, mediante
cui se ne dimostra l'esistenza).
Sia $E =\AnK$ allora $\ww1$, ..., $\ww n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\ww1}$, ..., $\hat{\ww n}$ con $\hat{\ww i}=\Matrix{\ww i \\[0.03in]\hline1}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti. \\\vskip 0.05in
Siano $P_0$, ..., $P_k$ i punti di un riferimento
affine per il sottospazio affine $D$. Allora ogni
punto $P \in D$ è univocamente determinato dagli
scalari $\lambda_i$ in $\KK$ tali per cui $P =\sum_{i=0}^k \lambda_i P_i$, eccetto per uno di questi scalari che è già determinato dagli altri (infatti vale sempre $\sum_{i=0}^k \lambda_i =1$). Vi è dunque una bigezione tra $D$ e $\mathcal{A}_k(\KK)$. L'immagine di $P$
tramite questa bigezione è un vettore contenente
le cosiddette \textit{coordinate affini} di $P$.
Si dice \textit{combinazione convessa} una qualsiasi
combinazione affine finita in un insieme di punti affinemente indipendenti $S$ in cui ogni coordinata affine è maggiore o
uguale a zero. Si pone in particolare $\IC(S)$ come
l'insieme di questo tipo di combinazioni (intuitivamente un inviluppo convesso è l'insieme dei punti contenuti "dentro" il riferimento affine scelto; per tre punti è il triangolo, per due punti è il segmento). Si scrive $\IC(P_1, \ldots, P_k)$ per indicare $\IC(\{P_1, \ldots, P_k\})$. \\\vskip 0.05in
Si osserva che $\IC(S)$ è un insieme
convesso (ossia $\forall P, Q \in\IC(S)$, $[P, Q]\subseteq\IC(S)$, dove $[P, Q] :=\IC(\{P, Q\})$ è il segmento congiungente $P$ e $Q$).
Si definisce il \textit{baricentro geometrico} di $P_1$, ..., $P_n\in E$ come la seguente combinazione convessa:
