Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Siano inoltre
$O$, $O' \in E$. Allora se si pone $P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$ e $P'=O'+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O')$, vale che:
\[P=P'\iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
\[P=P'\,\forall O, O' \in E \iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
Pertanto un punto $P\in E$ si dice \textit{combinazione affine} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali che $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$ e che $\forall O \in E$,
$P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$. Si scrive in tal caso $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ (la notazione è ben definita dal momento che
@ -2337,115 +2337,134 @@
si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
Partendo da $V$ spazio vettoriale su $\KK$ possiamo associare uno spazio affine $E=V$ con azione $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$.
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare.
Chiamiamo lo spazio affine associato in questo modo a $V=\KK^n$$\mathcal{A}_n(\KK)$%A maiuscola corsiva?
Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$ allora ogni scelta di un punto $O\in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
$\varphi_{O,\mathcal{B}}:E\rightarrow\mathcal{A}_n(\KK)$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(O+\v)=[\v]_\basis$
Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ induce uno spazio affine tramite l'azione banale che compie $(V, +)$ su $(V, +)$, ossia con $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$, dove l'operazione $+$ coincide sia con la somma affine che
con quella vettoriale.
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare. Lo spazio affine
generato in questo modo su $\KK^n$ viene detto \textit{spazio affine standard} ed è indicato come $\AnK$. \\\vskip 0.05in
Se $E$ è uno spazio affine sul $\KK$-spazio $V$, allora ogni scelta di un punto $O \in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
$\varphi_{O,\mathcal{B}} : E \to\AnK$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(P)=[P-O]_\basis$, dove $P \in E$.
Un sottoinsieme $D\subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Segue che $D=P_0+D_0$ ossia che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0-O$%O ??
Chiamiamo $D_0$\textit{direzione} del sottospazio affine $D$.
Inoltre $D_0$ è unico e possiamo scriverlo anche come $D_0=\{Q-P\mid P,Q\in D\}$.
Un sottoinsieme $D \subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$,
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Si può allora scrivere che $D=P_0+D_0$, ossia si deduce che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0$, e quindi
che ogni sottospazio affine è in particolare il traslato
di un sottospazio vettoriale.
L'insieme $D_0$, scritto anche come $\Giac(D)$, è detto \textit{direzione} (o \textit{giacitura}) del sottospazio affine $D$ ed è invariante per la scelta
del punto $P_0$; in particolare vale che $D_0=\{ Q - P \mid P, Q \in D \}$.
In generale i sottospazi affini corrispondono ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
Si definisce la dimensione di un sottospazio affine $D$ come la dimensione della sua direzione $D_0$. In particolare $\dim E =\dim V$. Quindi, così come accade per gli spazi vettoriali, i sottospazi affini di dimensione nulla corrispondono ai punti di $E$, quelli di dimensione unitaria corrispondono alle \textit{rette} di $E$, quelli di dimensione $2$ corrispondono ai \textit{piani}, mentre quelli di codimensione unitaria (ossia di dimensione $\dim V -1$) corrispondono agli \textit{iperpiani affini}.
Chiamiamo \textit{dimensione} di un sottospazio affine $D$ la dimensione dello spazio vettoriale $D_0$. In particolare dim$E$=dim$V$.
Quindi così come per gli spazi vettoriali i sottospazi affini di dimensione 0 sono i punti di $E$, quelli di dimensione 1 sono le rette di $E$, quelli di dimensione 2 sono i piani di $E$ e quelli di codimensione 1 sono gli iperpiani affini.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si
dicono \textit{paralleli} se sono distinti, o \textit{coincidenti} se sono uguali. Due sottospazi
affini paralleli hanno sempre intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si diranno paralleli, coincidono o hanno intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Dei punti $P_1$, ..., $P_k \in E$ si dicono \textit{affinemente indipendenti} se per
$P \in\Aff(P_1, \ldots, P_k)$ esistono unici
$\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ tali per cui
$P =\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ è una combinazione
affine. Un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
Diciamo che i punti $P_1,\ldots,P_k\in E$ sono \textit{affinemente indipendenti} se l'espressione $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i\in\Aff(\{P_1,\ldots,P_k\})$ è unica.
I punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1\text{---}k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j \neq i$ sono linearmente indipendenti in $V$$\iff\forall i=1\text{---}k$, $P_i \notin\Aff(S \setminus\{P_i\})$,
dove $S =\{P_1, \ldots, P_k\}$. Pertanto, possono
esistere al più $\dim D_0+1$ punti affinemente
indipendenti in $D$. In particolare, se si scelgono
$n+1$ punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ affinemente
indipendenti, vale che $\Aff(P_0, \ldots, P_n)= E$ (in tal caso infatti la direzione sarebbe tutto $V$).
Esistono sempre $P_0$, ..., $P_n$ punti di $D$ tali
che $\Aff(P_0, \ldots, P_n)= D$, se $\dim D = n$;
in tal caso l'insieme di questi punti viene detto
\textit{riferimento affine}. Ogni riferimento affine ha
lo stesso numero di elementi (in generale valgono
le stesse proprietà di una base vettoriale, mediante
cui se ne dimostra l'esistenza).
Un sottoinsieme $S\subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
Sia $E =\AnK$ allora $\ww1$, ..., $\ww n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\ww1}$, ..., $\hat{\ww n}$ con $\hat{\ww i}=\Matrix{\ww i \\[0.03in]\hline1}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti. \\\vskip 0.05in
$P_1,\ldots,P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1,\ldots,k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j\neq i$ sono linearmente indipendenti $\iff\forall i$$P_i\notin\Aff(\{P_1,\ldots,\hat{P}_i,\ldots,P_k\})$%?
Siano $P_0$, ..., $P_k$ i punti di un riferimento
affine per il sottospazio affine $D$. Allora ogni
punto $P \in D$ è univocamente determinato dagli
scalari $\lambda_i$ in $\KK$ tali per cui $P =\sum_{i=0}^k \lambda_i P_i$, eccetto per uno di questi scalari che è già determinato dagli altri (infatti vale sempre $\sum_{i=0}^k \lambda_i =1$). Vi è dunque una bigezione tra $D$ e $\mathcal{A}_k(\KK)$. L'immagine di $P$
tramite questa bigezione è un vettore contenente
le cosiddette \textit{coordinate affini} di $P$.
Sia $E=\mathcal{A}_n(\KK)$ allora $\w_1,\ldots,\w_n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\w}_1,\ldots,\hat{\w}_n$ con $\hat{w_i}=\begin{pmatrix}
\w_i \\ 1
\end{pmatrix}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti.
Segue che ci sono al massimo $n+1$ vettori affinemente indipendenti.
Se scegliamo $n+1$ punti $P_0,\ldots,P_n\in E$$\Aff(\{P_0,\ldots,P_n\}=E$.
Dunque per ogni punto $P \in E$$P=\sum_{i=0}^{n}\lambda_i P_i$ con $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$.
Chiamiamo i $\lambda_i$ le \textit{coordinate affini} del punto $P$ sul riferimento affine $P_0,\ldots,P_n$
Diciamo che $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ è una \textit{combinazione convessa} di $P_1,\ldots,P_k$ se $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$ e $\lambda_i\ge0$$\forall i$
Diremo che l'\textit{inviluppo convesso}$IC(S)$ di un insieme $S\subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni convesse finite di $S$.
$\forall S\subseteq E$, $IC(S)$ è convesso.
Chiamiamo \textit{baricentro geometrico} di $P_1,\ldots,P_n\in E$ come $G=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i$
Se $A\subseteq E$ è finito, chiamiamo $G_A$ il baricentro geometrico dei punti di $A$.
Allora se $A=B\sqcup C$$(A=B\cup C \wedge B\cap C=\emptyset)$
$$G_A=\frac{|B|}{|A|}G_B+\frac{|C|}{|A|}G_C$$
Si dice \textit{combinazione convessa} una qualsiasi
combinazione affine finita in un insieme di punti affinemente indipendenti $S$ in cui ogni coordinata affine è maggiore o
uguale a zero. Si pone in particolare $\IC(S)$ come
l'insieme di questo tipo di combinazioni (intuitivamente un inviluppo convesso è l'insieme dei punti contenuti "dentro" il riferimento affine scelto; per tre punti è il triangolo, per due punti è il segmento). Si scrive $\IC(P_1, \ldots, P_k)$ per indicare $\IC(\{P_1, \ldots, P_k\})$. \\\vskip 0.05in
Si osserva che $\IC(S)$ è un insieme
convesso (ossia $\forall P, Q \in\IC(S)$, $[P, Q]\subseteq\IC(S)$, dove $[P, Q] :=\IC(\{P, Q\})$ è il segmento congiungente $P$ e $Q$).
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
Si definisce il \textit{baricentro geometrico} di $P_1$, ..., $P_n\in E$ come la seguente combinazione convessa:
In questo modo si dimostra facilmente che in un triangolo il baricentro geometrico giace sulle
congiungenti dei punti medi con i vertici opposti.
Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$$f(P)=O'+g(P-O)$
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$$f(P)=O'+g(P-O)$
Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
Chiamiamo il gruppo affine di $E$$A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
Chiamiamo il gruppo affine di $E$$A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$$f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
f(\x) \\ 1
\end{pmatrix}$
e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow\KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A &\vec b \\0&1}$
Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$%?
è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq\KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$$f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
f(\x) \\ 1
\end{pmatrix}$
e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow\KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A &\vec b \\0&1}$
Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$%?
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
\item$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
\end{enumerate}
$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
\subsection{Spazio proiettivo}
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq\KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
Ogni punto $\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
\item$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
\end{enumerate}
$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
\subsection{Spazio proiettivo}
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Ogni punto $\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
