Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
$\iota_+(\varphi)$ vettori della base con forma quadratica positiva,
$\iota_+$ vettori della base con forma quadratica positiva,
$\iota_-(\varphi)$ con forma negativa e $\iota_0(\varphi)$ con
$\iota_-$ con forma negativa e $\iota_0$ con
forma nulla.
forma nulla.
\end{theorem}
\end{theorem}
@ -149,68 +179,61 @@
la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
tesi. \\
tesi. \\
In particolare, $\iota_0(\varphi)$ è esattamente il numero di vettori
Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
con forma quadratica nulla della base, rappresentando infatti
positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello
esattamente la dimensione del nucleo di $M_\basis(\varphi)$,
dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+=\Span(\vv1, ..., \vv a)$, $W_-=\Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0=\Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\
ossia di $V^\perp$. \\
Sia $M = M_\basis(\varphi)$. Si osserva che $c = n -\rg(M)=\dim\Ker(M)=\dim V^\perp=\iota_0$. Inoltre $\forall\v\in W_+$, dacché
Siano ora $W_+=\Span(\vv1, ... \vv a)$, dove $a$ è il numero
$\basis$ è ortogonale,
di vettori della base con forma quadratica positiva,
$q(\v)= q(\sum_{i=1}^a \alpha_i \vv i)=\sum_{i=1}^a \alpha_i^2 q(\vv i) > 0$, e quindi $\restr{\varphi}{W_+} > 0$, da cui $\iota_+\geq a$.
$W_-=\Span(\vv{a+1}, ... \vv b)$, dove $b$ è il numero di vettori
Analogamente $\iota_-\geq b$. \\
con forma negativa e
$W_0=\Span(\vv{b+1}, ... \vv c)$, dove $c$ è il numero di vettori
Si mostra ora che è impossibile che $\iota_+ > a$. Se così infatti
con forma nulla.
fosse, sia $W$ tale che $\dim W =\iota_+$ e che $\restr{\varphi}{W} > 0$. $\iota_++ b + c$ sarebbe maggiore di $a + b + c = n :=\dim V$. Quindi, per la formula di Grassman, $\dim(W + W_-+ W_0)=\dim W +
Allora chiaramente $V = W_+\oplus W_-\oplus W_0$. Inoltre,
\dim(W_- + W_0) - \dim (W \cap (W_- + W_0)) \implies\dim (W \cap (W_- + W_0)) = \dim W +
$\restr{\varphi}{W_+} > 0$, $\restr{\varphi}{W_-} > 0$ e
$\restr{\varphi}{W_0}=0$. Pertanto $\iota_+(\varphi)\geq\dim W_+= a$. Analogamente $\iota_-(\varphi)\geq\dim W_-= b$ e
$\v\neq\{\vec0\}\mid\v\in W \cap(W_-+ W_0)$. Tuttavia
$\iota_0(\varphi)= c$ ($W_0= V^\perp$). Se lo spazio definito
questo è assurdo, dacché dovrebbe valere sia $q(\v) > 0$ che
positivo massimo $W$ fosse tale che $\dim W > \dim W_+$, allora,
$q(\v) < 0$, \Lightning. Quindi $\iota_+= a$, e analogamente
poiché $V = a + b + c$ e $\dim W + b + c > \dim V \implies
$\iota_-= b$.
W \cap W_- \cap W_0 \neq\emptyset$, $\Lightning$. Quindi valgono
le uguaglianze, da cui la tesi.
\end{proof}
\end{proof}
\begin{definition}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{segnatura} di un prodotto scalare
Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la
la terna $(i_+, i_-, i_0)$, come vista nella dimostrazione
matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
del teorema di Sylvester reale.
vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente
si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}.
\end{definition}
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\begin{remark}\nl
\li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica
come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal
momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\
\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
tra loro. Analogamente vale il viceversa, come conseguenza del
tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni
teorema di Sylvester reale.
base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli
\li Si dice base di Sylvester una base di $V$ tale per cui la
stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori
matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\
vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester, e
\li Se $\ww1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base
tale matrice si dirà anch'essa matrice di Sylvester.
ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W =\Span(\ww1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come
visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale
%TODO: completare spiegazione.
che $\dim W =\dim\Ker(M_\basis(\varphi))=\dim V^\perp$. Inoltre,
\end{remark}
se $\w\in W$ e $\v\in V$, $\varphi(\w, \v)=\varphi(\sum_{i=1}^k \alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i +\sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i)=\sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i)=0$, e quindi
$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
\begin{definition}
\li Vale in particolare che $\rg(\varphi)=\iota_++\iota_-$, mentre
Si dice \textbf{indice di positività} di $\varphi$ il
$\dim\Ker(\varphi)=\iota_0$, e quindi $n =\iota_++\iota_-+\iota_0$.
termine $\iota_+(\varphi)= i_+=\max\{\dim W \mid W \subseteq V \mid\restr{\varphi}{W} > 0\}$. Analogamente $\iota_-(\varphi)= i_-=\max\{\dim W \mid W \subseteq V \mid\restr{\varphi}{W} < 0\}$ è detto
\textbf{indice di negatività}. Si definisce invece $\iota_0(\varphi)= i_0=\dim V^\perp$ come \textbf{indice di nullità}.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li I sottospazi la cui dimensione è pari all'indice di positività
o di negatività non sono obbligatoriamente unici.
\end{remark}
\end{remark}
\begin{definition}
\begin{definition}
Dati due spazi vettoriali con prodotti scalare $(V, \varphi)$ e
Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e
$(V', \varphi')$ sullo stesso campo $\KK$, si dice che
$(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
$f$ che preserva i prodotti, ossia tale che:
$f$, detto isometria, che preserva tali che prodotti, ossia tale che:
