Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
$\iota_+(\varphi)$ vettori della base con forma quadratica positiva,
$\iota_-(\varphi)$ con forma negativa e $\iota_0(\varphi)$ con
$\iota_+$ vettori della base con forma quadratica positiva,
$\iota_-$ con forma negativa e $\iota_0$ con
forma nulla.
\end{theorem}
@ -149,68 +179,61 @@
la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
tesi. \\
In particolare, $\iota_0(\varphi)$ è esattamente il numero di vettori
con forma quadratica nulla della base, rappresentando infatti
esattamente la dimensione del nucleo di $M_\basis(\varphi)$,
ossia di $V^\perp$. \\
Siano ora $W_+=\Span(\vv1, ... \vv a)$, dove $a$ è il numero
di vettori della base con forma quadratica positiva,
$W_-=\Span(\vv{a+1}, ... \vv b)$, dove $b$ è il numero di vettori
con forma negativa e
$W_0=\Span(\vv{b+1}, ... \vv c)$, dove $c$ è il numero di vettori
con forma nulla.
Allora chiaramente $V = W_+\oplus W_-\oplus W_0$. Inoltre,
$\restr{\varphi}{W_+} > 0$, $\restr{\varphi}{W_-} > 0$ e
$\restr{\varphi}{W_0}=0$. Pertanto $\iota_+(\varphi)\geq\dim W_+= a$. Analogamente $\iota_-(\varphi)\geq\dim W_-= b$ e
$\iota_0(\varphi)= c$ ($W_0= V^\perp$). Se lo spazio definito
positivo massimo $W$ fosse tale che $\dim W > \dim W_+$, allora,
poiché $V = a + b + c$ e $\dim W + b + c > \dim V \implies
W \cap W_- \cap W_0 \neq\emptyset$, $\Lightning$. Quindi valgono
le uguaglianze, da cui la tesi.
Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello
dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+=\Span(\vv1, ..., \vv a)$, $W_-=\Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0=\Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\
Sia $M = M_\basis(\varphi)$. Si osserva che $c = n -\rg(M)=\dim\Ker(M)=\dim V^\perp=\iota_0$. Inoltre $\forall\v\in W_+$, dacché
$\basis$ è ortogonale,
$q(\v)= q(\sum_{i=1}^a \alpha_i \vv i)=\sum_{i=1}^a \alpha_i^2 q(\vv i) > 0$, e quindi $\restr{\varphi}{W_+} > 0$, da cui $\iota_+\geq a$.
Analogamente $\iota_-\geq b$. \\
Si mostra ora che è impossibile che $\iota_+ > a$. Se così infatti
fosse, sia $W$ tale che $\dim W =\iota_+$ e che $\restr{\varphi}{W} > 0$. $\iota_++ b + c$ sarebbe maggiore di $a + b + c = n :=\dim V$. Quindi, per la formula di Grassman, $\dim(W + W_-+ W_0)=\dim W +
\dim(W_- + W_0) - \dim (W \cap (W_- + W_0)) \implies\dim (W \cap (W_- + W_0)) = \dim W +
$\v\neq\{\vec0\}\mid\v\in W \cap(W_-+ W_0)$. Tuttavia
questo è assurdo, dacché dovrebbe valere sia $q(\v) > 0$ che
$q(\v) < 0$, \Lightning. Quindi $\iota_+= a$, e analogamente
$\iota_-= b$.
\end{proof}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{segnatura} di un prodotto scalare
la terna $(i_+, i_-, i_0)$, come vista nella dimostrazione
del teorema di Sylvester reale.
Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la
matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente
si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica
come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal
momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\
\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
tra loro. Analogamente vale il viceversa, come conseguenza del
teorema di Sylvester reale.
\li Si dice base di Sylvester una base di $V$ tale per cui la
matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester, e
tale matrice si dirà anch'essa matrice di Sylvester.
%TODO: completare spiegazione.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice \textbf{indice di positività} di $\varphi$ il
termine $\iota_+(\varphi)= i_+=\max\{\dim W \mid W \subseteq V \mid\restr{\varphi}{W} > 0\}$. Analogamente $\iota_-(\varphi)= i_-=\max\{\dim W \mid W \subseteq V \mid\restr{\varphi}{W} < 0\}$ è detto
\textbf{indice di negatività}. Si definisce invece $\iota_0(\varphi)= i_0=\dim V^\perp$ come \textbf{indice di nullità}.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li I sottospazi la cui dimensione è pari all'indice di positività
o di negatività non sono obbligatoriamente unici.
tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni
base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli
stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori
di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\
\li Se $\ww1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base
ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W =\Span(\ww1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come
visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale
che $\dim W =\dim\Ker(M_\basis(\varphi))=\dim V^\perp$. Inoltre,
se $\w\in W$ e $\v\in V$, $\varphi(\w, \v)=\varphi(\sum_{i=1}^k \alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i +\sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i)=\sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i)=0$, e quindi
$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
\li Vale in particolare che $\rg(\varphi)=\iota_++\iota_-$, mentre
$\dim\Ker(\varphi)=\iota_0$, e quindi $n =\iota_++\iota_-+\iota_0$.
\end{remark}
\begin{definition}
Dati due spazi vettoriali con prodotti scalare $(V, \varphi)$ e
$(V', \varphi')$ sullo stesso campo $\KK$, si dice che
Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e
$(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
