\begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare)
\begin{proposition}[formula delle dimensioni del prodotto scalare]
Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità:
\[\dim W +\dim W^\perp=\dim V +\dim(W \cap V^\perp). \]
\end{proposition}
\begin{proof}
Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to\dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che
$f(\vec v)(\vec w)=\varphi(\vec v, \vec w)$$\forall\vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp=\Ker f$, da cui,
per la formula delle dimensioni, $\dim V =\dim W^\perp+\rg f$. Inoltre, si osserva anche che
$f = i^\top\circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w)=\vec w$, infatti $f(\vec v)= a_\varphi(\vec v)\circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w)=\varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto
$\rg f =\rg(i^\top\circ a_\varphi)$. \\
Si consideri l'applicazione lineare $a_\varphi$ introdotta precedentemente. Si osserva che $W^\perp=\Ker(i^\top\circ a_\varphi)$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w)=\vec w$. Allora,
per la formula delle dimensioni, vale la seguente identità:
Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi\circ i : W \to\dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
\begin{equation}
\label{eq:dim_formula_dimensioni_1}
\dim V = \dim W^\perp + \rg (i^\top\circ a_\varphi).
\end{equation}
\vskip 0.05in
Sia allora $f = i^\top\circ a_\varphi$.
Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi\circ i : W \to\dual V$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrici associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
Poiché $\rg(A)=\rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f)=\rg(g)\implies\rg(i^\top\circ a_\varphi)=\rg(a_\varphi\circ i)=\rg(\restr{a_\varphi}{W})=\dim W -\dim\Ker\restr{a_\varphi}{W}=\dim W -\dim(W \cap\underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp})=\dim W -\dim(W \cap V^\perp)$. \\
Poiché $\rg(A)=\rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f)=\rg(g)\implies\rg(i^\top\circ a_\varphi)=\rg(a_\varphi\circ i)=\rg(\restr{a_\varphi}{W})=\dim W -\dim\Ker\restr{a_\varphi}{W}$, ossia che:
Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V =\dim W^\top+\dim W -\dim(W \cap V^\perp)$,
ossia la tesi.
\begin{equation}
\label{eq:dim_formula_dimensioni_2}
\rg(i^\top\circ a_\varphi) = \dim W - \dim (W \cap\underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp).
\end{equation}
Si conclude allora, sostituendo l'equazione \eqref{eq:dim_formula_dimensioni_2} nell'equazione \eqref{eq:dim_formula_dimensioni_1}, che $\dim V =\dim W^\top+\dim W -\dim(W \cap V^\perp)$, ossia la tesi.
\end{proof}
\begin{remark} Si identifica $\w^\perp$ come il sottospazio di tutti i vettori di $V$ ortogonali a $\w$.
@ -56,28 +64,35 @@
\begin{definition}
Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j)=0
\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
\impliedby i \neq j$, ossia una base per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
\end{definition}
\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
\begin{proposition}[formula di polarizzazione]
Se $\Char\KK\neq2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
Si nota infatti che $q(\vec v +\vec w)- q(\vec v)- q(\vec w)=2\varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w)=2\inv(q(\vec v +\vec w)- q(\vec v)- q(\vec w))$.
Si osserva che $q(\vec v +\vec w)- q(\vec v)- q(\vec w)=2\varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
poiché $2$ è invertibile per ipotesi, si deduce che $\varphi(\vec v, \vec w)=\frac{q(\vec v +\vec w)- q(\vec v)- q(\vec w)}{2}$.
\end{proof}
\begin{theorem}(di Lagrange)
\begin{theorem}[di Lagrange]
Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char\KK\neq2$ ammette una base ortogonale.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sia dimostra il teorema per induzione su $n :=\dim V$. Per $n \leq1$, la dimostrazione è triviale. Sia
allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W =\Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
Si dimostra il teorema per induzione su $n :=\dim V$. Per $n \leq1$, la tesi è triviale (ogni base è
già una base ortogonale). Sia
allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W =\Span(\vec w)$, e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente.
è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. Allora in questo caso
ogni base è una base ortogonale, completando il passo induttivo, e dunque la dimostrazione.
\end{proof}
@ -85,7 +100,7 @@
D'ora in poi, nel corso del documento, si assumerà $\Char\KK\neq2$.
\end{note}
\begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso)
\begin{theorem}[di Sylvester, caso complesso]
Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un
altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base
ortogonale $\basis$ tale per cui:
@ -95,11 +110,11 @@
\begin{proof}
Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni
Si riordini allora la base$\basis'$ in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni
elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento
di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per
cui, se $q(\vv i)=0$, $\vv i \mapsto\vv i$, e altrimenti
$\vv i \mapsto\frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$
$\vv i \mapsto\frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis$
è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare
in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è
il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata
@ -120,21 +135,21 @@
è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma
della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche
il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due
matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti
matrici simmetriche hanno lo stesso rango, allora sono congruenti
alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza
una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\
una relazione di equivalenza, sono congruenti a loro volta tra di loro. \\
\li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo
sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\
\li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero
di elementi nulli.
\end{remark}
\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
\begin{definition}[somma diretta ortogonale]
Siano i sottospazi $U$ e $W \subseteq V$ in somma diretta. Allora si dice che $U$ e $W$ sono in \textbf{somma
diretta ortogonale rispetto al prodotto scalare}$\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w)=0$$\forall\vec u \in U$, $\vec w \in W$.
diretta ortogonale} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w)=0$$\forall\vec u \in U$, $\vec w \in W$.
\end{definition}
\begin{definition} (cono isotropo)
\begin{definition}[cono isotropo]
Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme:
\[\CI(\varphi)=\{\v\in V \mid\varphi(\v, \v)=0\}, \]
@ -224,7 +239,7 @@
\begin{align*}
\iota_+(\varphi) &= \max\{\dim W \mid W \subseteq V \E\restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)}\\
\iota_-(\varphi) &= \max\{\dim W \mid W \subseteq V \E\restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\
\iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp&\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)}
\iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp.&\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)}
\end{align*}
Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
@ -233,7 +248,7 @@
prodotto $\varphi$.
\end{definition}
\begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato
\begin{theorem}[di Sylvester, caso reale] Sia $\KK$ un campo ordinato
i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora
esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
@ -309,7 +324,7 @@
analogamente per gli altri indici.
\end{remark}
\begin{definition} (isometria)
\begin{definition}[isometria tra due spazi vettoriali]
Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e
$(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
@ -382,11 +397,7 @@
$V'$ sono isometrici.
\end{proof}
%\begin{example}
% Per $\varphi= x_1 y_1+ x_2 y_2- x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
%\end{example}
\begin{definition} (sottospazio isotropo)
\begin{definition}[sottospazio isotropo]
Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$
se $\restr{\varphi}{W}=0$.
\end{definition}
@ -408,7 +419,7 @@
da cui $\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$.
\end{proof}
\begin{definition}
\begin{definition}[indice di Witt]
Si definisce \textbf{indice di Witt}$W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
come la massima dimensione di un sottospazio isotropo.
Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
sia ordinato.}$\KK=\RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v\in V$, $\vec{v}\neq\vec{0}\implies
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo}se $\vec{v}\neq\vec 0 \implies\varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o
sia ordinato.}$\KK=\RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo}($\varphi > 0$) se $\v\in V$, $\vec{v}\neq\vec{0}\implies
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo}($\varphi < 0$)se $\vec{v}\neq\vec 0 \implies\varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o
definito negativo. \\
Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v)\geq0$$\forall\v\in V$ (o
\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v)\leq0$$\forall\v\in V$). Analogamente ai
Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo}($\varphi\geq0$) se $\varphi(\v, \v)\geq0$$\forall\v\in V$ (o
\textbf{semidefinito negativo}, e quindi $\varphi\leq0$, se invece $\varphi(\v, \v)\leq0$$\forall\v\in V$). Analogamente ai
prodotti definiti, si dice che $\varphi$ è \textbf{semidefinito} se è semidefinito positivo o semidefinito
negativo.
\end{definition}
@ -96,18 +96,28 @@
$\RR^n$.
\end{remark}
\begin{definition}
\begin{definition}[vettore isotropo]
Un vettore $\vec{v}\in V$ si dice \textbf{isotropo} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ se $q(\vec{v})=
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) = 0$.
\end{definition}
\begin{definition}[cono isotropo]
Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme:
\[\CI(\varphi)=\{\v\in V \mid\varphi(\v, \v)=0\}, \]
\vskip 0.05in
ossia l'insieme dei vettori isotropi di $V$.
\end{definition}
\begin{example}
Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3))=
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi sono i vettori della forma $(x, y, z)$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di equazione $x^2+ y^2= z^2$.
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi sono i vettori della forma $(x, y, z)$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$, e quindi $\CI(\varphi)$ è l'insieme dei
vettori stanti sul cono di equazione $x^2+ y^2= z^2$.
\end{example}
\subsection{Matrice associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e congruenza}
\subsection{Matrice associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e relazione di congruenza}
\begin{remark}
Come già osservato in generale per le applicazioni multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
