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8 months ago
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# Spazi proiettivi e nozioni introduttive
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## Spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo
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* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard
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## Trasformazioni Proiettive
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* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva
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* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a
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## Sottospazi proiettivi
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* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato
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* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
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* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva
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## Riferimenti proiettivi
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* [ ] [definizione] Punti indipendenti
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* [ ] [definizione] Posizione generale
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo
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* [ ] [definizione] Base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
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* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
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## Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico
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* [ ] [definizione] Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
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* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive
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# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini
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## Carte affini
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* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [definizione] Punti propri e impropri
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* [ ] [**proposizione**] Parte affine
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele
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# Approfondimento sulle proiettivit\`a
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## Prospettivit\`a
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* [ ] [definizione] Prospettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a
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## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a
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## Trasformazioni lineari fratte
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* [ ] [definizione] Infinito
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* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta
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# Dualit\`a
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale
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* [ ] [definizione] Riferimento duale
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* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a
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* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani
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* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale
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# Birapporto
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* [ ] [definizione] Birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante
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# Coniche proiettive
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* [ ] [definizione] Conica proiettiva
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## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche
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* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali
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## Parte affine e chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Parte affine
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* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica
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* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti
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## Tangenti
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### Intersezioni con rette e riducibilit\`a
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* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette
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* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible
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### Tangenti
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* [ ] [definizione] Retta tangente
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* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente
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* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere
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## Polarit\`a
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* [ ] [definizione] Retta polare
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* [ ] [definizione] Conica duale
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## Punti reali e punti complessi
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* [ ] [definizione] Complessificazione
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## Sistemi lineari di coniche
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche
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* [ ] [definizione] Punto base
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