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# La categoria hTop
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- [ ] [definizione] Omotopia
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- [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
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- [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
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- [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
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- [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
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## Funtore delle componenti connesse per archi
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- [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
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# Gruppo fondamentale
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## Omotopia di cammini
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- [ ] [definizione] Omotopia di cammini
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## Gruppo Fondamentale
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- [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
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- [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
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- [ ] [definizione] Semplicemente connesso
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## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
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- [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
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- [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
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- [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
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## Funtorialità del gruppo fondamentale
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- [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
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- [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
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- [ ] [definizione] Omotopia puntata
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- [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
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## Dipendenze del gruppo fondamentale
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- [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
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- [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
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# Spazi contraibili e retratti
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## Spazi contraibili
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- [ ] [definizione] Spazio contraibile
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- [ ] [definizione] Insieme stellato
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- [ ] [definizione] Insieme Convesso
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- [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
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## Retratti di Deformazione
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- [ ] [definizione] Retratto
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- [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
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- [ ] [definizione] Retratto di deformazione
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# Rivestimenti
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## Omeomorfismi locali
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- [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
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- [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
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## Rivestimenti
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- [ ] [definizione] Rivestimento
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- [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
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- [ ] [definizione] Fibra
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- [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
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- [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
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- [ ] [definizione] Rivestimento banale
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- [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
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## Sollevamenti
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- [ ] [definizione] Sollevamento
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- [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
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- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
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- [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
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- [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
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# Azione di Monodromia
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- [ ] [definizione] Azione di monodromia
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- [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
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### Sollevamento di mappe qualsiasi
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- [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
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## Applicazioni dell'azione di Monodromia
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
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- [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
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# Teorema di Seifert-Van Kampen
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- [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
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# Calcolo del Gruppo fondamentale
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## Gruppo fondamentale del prodotto
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
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## Prodotto libero e gruppi liberi
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- [ ] [definizione] Prodotto libero
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- [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
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- [ ] [definizione] Gruppo libero
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- [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
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## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
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## Prodotto amalgamato
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- [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
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- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
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## Presentazioni di gruppi
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- [ ] [definizione] Presentazione
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
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- [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
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## Rango
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- [ ] [definizione] Rango
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## Gruppi fondamentali di proiettivi
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- [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
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- [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
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## Gruppi fondamentali di superfici
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### Toro
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
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### Superfici con dato genere
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
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- [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
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- [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
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# Rivestimento Universale
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- [ ] [definizione] Rivestimento universale
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
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- [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
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- [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
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## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
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- [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
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- [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
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- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
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### Isomorfismi di rivestimenti
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- [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
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- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
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## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
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- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
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- [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
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- [ ] [definizione] Rivestimento regolare
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- [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
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- [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
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- [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
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- [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
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## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
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- [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam
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