domande-orali/geoemtria-2/topologia.md

Spazi Metrici

• [definizione] Spazio metrico
• [definizione] Distanza punto-insieme
• [definizione] Norma
• [definizione] Distanza discreta
• [definizione] Distanze p
• [definizione] Distanze p integrali
• [definizione] Embedding isometrico
• [definizione] Isometria
• [definizione] Palla aperta
• [definizione] Continuità in un punto
• [definizione] Aperto metrico
• [teorema] Caratterizzazione delle continue
• [definizione] Mappa Lipschitziana

Spazi topologici

• [definizione] Spazio topologico
• [definizione] Topologie discreta e indiscreta
• [definizione] Topologia cofinita
• [definizione] Chiuso
• [definizione] Finezza

Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche

• [definizione] Limitatezza
• [proposizione] Ogni spazio metrico "è limitato"

La categoria Top

• [definizione] Funzione continua
• [definizione] Omeomorfismo

Chiusura e Parte interna

• [definizione] Chiusura
• [definizione] Parte interna
• [definizione] Frontiera
• [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
• [proposizione] Caratterizzazione della chiusura
• [definizione] Insieme denso

Basi e Prebasi

• [definizione] Topologia generata
• [definizione] Base topologica
• [proposizione] Caratterizzazione delle basi
• [definizione] Prebase topologica
• [teorema] Caratterizzazione della topologia generata
• [proposizione] Criterio per continuità

Assiomi di Numerabilità e Intorni

Intorni

• [definizione] Intorno
• [proposizione] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
• [definizione] Continuità in un punto
• [proposizione] Continua equivale a continua in ogni punto

Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità

• [definizione] Sistema fondamentale di intorni
• [definizione] I-numerabilità
• [proposizione] Gli spazi metrici sono I-numerabili

II-numerabilità e Separabilità

• [definizione] II-numerabilità
• [definizione] Separabilità
• [teorema] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
• [proposizione] II-numerabile implica I-numerabile

Successioni

• [definizione] Successione
• [definizione] Definitivamente e Frequentemente
• [definizione] Limite
• [definizione] Chiuso per successioni
• [proposizione] Chiusura e Chiusura per successioni
• [definizione] Aperto per successioni
• [proposizione] Parte interna e Parte interna per successioni
• [definizione] Continuità per successioni
• [proposizione] Continuità e Continuità per successioni

Topologia di sottospazio

• [definizione] Topologia di sottospazio
• [proposizione] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
• [proposizione] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
• [proposizione] Proprietà universale della topologia di sottospazio
• [proposizione] Restrizione di continua è continua

Mappe aperte e chiuse

• [definizione] Mappe aperte e chiuse
• [definizione] Immersione topologica
• [proposizione] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi

Prodotti

• [definizione] Prodotto cartesiano
• [definizione] Diagonale
• [definizione] Topologia prodotto
• [proposizione] Caratterizzazione della topologia prodotto
• [definizione] Box topology
• [proposizione] Prodotto di chiusi è chiuso
• [proposizione] Prodotto finito di metrici è metrico
• [proposizione] Prodotto numerabile di metrici è metrico

Proiezioni da un prodotto in un fattore

• [teorema] Proprietà universale del prodotto
• [teorema] Le proiezioni sono aperte

Immersioni dei fattori nel prodotto

• [proposizione] Immersioni dei fattori nei prodotti

Topologia della convergenza puntuale

Assiomi di separazione

• [definizione] Assiomi di separazione
• [proposizione] Gli spazi metrici sono Hausdorff
• [proposizione] Caratterizzazione degli spazi T_1
• [proposizione] Caratterizzazione degli spazi T_2
• [teorema] Unicità del limite per Hausdorff
• [proposizione] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
• [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
• [definizione] Regolari e Normali
• [proposizione] Spazi metrici sono normali
• [proposizione] Lemma di Urysohn
• [proposizione] Ereditarietà per sottospazi di T_3 e T_4
• [proposizione] Caratterizzazione di T_3 con intorni
• [proposizione] Prodotti di T_3 sono T_3

Ricoprimenti fondamentali

• [definizione] Ricoprimento
• [definizione] Ricoprimento fondamentale
• [teorema] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
• [teorema] Incollamento delle funzioni
• [definizione] Famiglia localmente finita

Spazi connessi

• [definizione] Connessione
• [definizione] Cammino
• [definizione] Giunzione
• [definizione] Connessione per archi
• [teorema] Spazio connesso per archi è connesso
• [definizione] Insieme convesso
• [definizione] Intervallo
• [teorema] Connessi su \R
• [proposizione] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
• [proposizione] Continue preservano connessione
• [teorema] Prodotto finito di connessi è connesso
• [teorema] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi

Componenti connesse

• [proposizione] Unione di connessi che si intersecano è connessa
• [definizione] Componente connessa
• [definizione] Componenti connesse per archi
• [proposizione] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
• [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia

Locale connessione per archi

• [proposizione] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
• [teorema] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
• [proposizione] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
• [proposizione] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte

Compattezza

• [definizione] Spazio compatto
• [teorema] Alexander debole
• [teorema] Alexander
• [teorema] Continue mandano compatti in compatti
• [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
• [proposizione] Formulazione di compattezza con i chiusi

Sottoinsiemi compatti

• [teorema] Un chiuso di un compatto è compatto
• [teorema] Compatti in Hausdorff sono chiusi
• [proposizione] Compatto Hausdorff è regolare
• [teorema] Compatto Hausdorff è normale
• [teorema] Continue da compatto a T_2 sono chiuse
• [definizione] Funzione propria
• [proposizione] Proprie a immagine in loc.cpt T_2 sono chiuse

Compattezza per prodotti

• [teorema] Tychonoff debole
• [teorema] Tychonoff
• [teorema] Wallace

Compattificazione di Alexandroff

• [definizione] Compattificazione
• [definizione] Compattificazione di Alexandroff
• [teorema] La compattificazione di Alexandroff `e una compattificazione
• [teorema] Unicità della compattificazione di Alexandroff

Proiezione stereografica

• [definizione] Proiezione stereografica

Compattezza in spazi metrici

Compattezza e assiomi di numerabilità

• [definizione] Compattezza sequenziale
• [definizione] Spazio Lindel"of
• [proposizione] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
• [proposizione] II-numerabile implica Lindel"of
• [proposizione] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
• [proposizione] Compattezza e Numerabilità

Limitatezza e Completezza

• [proposizione] Compatti in metrico sono limitati
• [definizione] Successione di Cauchy
• [definizione] Spazio completo
• [proposizione] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
• [definizione] Spazio totalmente limitato
• [proposizione] Totalmente limitato implica limitato
• [proposizione] Totalmente limitato implica II-numerabile
• [teorema] Caratterizzazione di compattezza per metrici

Numero di Lebesgue e Uniforme continuità

• [definizione] Numero di Lebesgue
• [teorema] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
• [definizione] Funzione uniformemente continua
• [teorema] Heine-Cantor
• [teorema] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio

Compattezza in \R^n

• [teorema] Heine-Borel
• [teorema] Weierstrass
• [teorema] Equivalenza delle norme su \R^n

Topologia Quoziente

• [definizione] Spazio quoziente
• [proposizione] Esistenza e unicit`a dello spazio quoziente
• [definizione] Topologia quoziente
• [teorema] Caratterizzazione della topologia quoziente

Passaggio a quoziente e Identificazioni

• [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
• [definizione] Identificazione
• [teorema] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
• [proposizione] Criterio sufficiente per definire identificazioni

Insiemi saturi

• [definizione] Insieme saturo
• [proposizione] Gli f-$saturi sono le preimmagini tramite $f
• [proposizione] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi

Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet

• [definizione] Collassamento
• [definizione] Unione disgiunta
• [definizione] Bouquet
• [proposizione] I fattori si immergono nel bouquet
• [proposizione] T_1 passa al bouquet e immersioni sono chiuse
• [proposizione] T_2 passa al bouquet
• [proposizione] Bouquet `e compatto se e solo se lo sono i fattori
• [proposizione] Bouquet `e connesso se e solo se lo sono i fattori

Quozienti per azioni di gruppi

• [definizione] Azione
• [definizione] Orbita e stabilizzatore
• [definizione] Azione continua
• [proposizione] Proiezioni per quozienti per azione

Assiomi di Separazione e Azioni

• [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
• [teorema] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su T_2
• [teorema] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
• [teorema] Criterio sufficiente per quoziente per azione T_2

Domini fondamentali

• [definizione] Dominio fondamentale
• [teorema] Localmente compatto con dominio fondamentale

Topologia dei Proiettivi

Caso Reale

• [teorema] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
• [teorema] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco

Caso Complesso

• [proposizione] Le carte affini sono omeomorfismi

Variet`a topologiche

• [definizione] Variet`a topologica

Appendice al capitolo 2

Esempi e controesempi

Spazi topologici

Assiomi di numerabilit`a

Prodotti

Assiomi di separazione

• [definizione] Retta di Sorgenfrey

Ricoprimenti

Connessi

Compattezza

Quozienti