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# Spazi Metrici
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* [ ] [definizione] Spazio metrico
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* [ ] [definizione] Distanza punto-insieme
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* [ ] [definizione] Norma
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* [ ] [definizione] Distanza discreta
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* [ ] [definizione] Distanze $p$
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* [ ] [definizione] Distanze $p$ integrali
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* [ ] [definizione] Embedding isometrico
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* [ ] [definizione] Isometria
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* [ ] [definizione] Palla aperta
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* [ ] [definizione] Continuità in un punto
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* [ ] [definizione] Aperto metrico
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle continue
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* [ ] [definizione] Mappa Lipschitziana
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# Spazi topologici
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* [ ] [definizione] Spazio topologico
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* [ ] [definizione] Topologie discreta e indiscreta
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* [ ] [definizione] Topologia cofinita
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* [ ] [definizione] Chiuso
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* [ ] [definizione] Finezza
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* [ ]
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## Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche
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* [ ] [definizione] Limitatezza
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* [ ] [**proposizione**] Ogni spazio metrico "è limitato"
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## La categoria Top
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* [ ] [definizione] Funzione continua
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* [ ] [definizione] Omeomorfismo
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## Chiusura e Parte interna
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* [ ] [definizione] Chiusura
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* [ ] [definizione] Parte interna
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* [ ] [definizione] Frontiera
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* [ ] [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della chiusura
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* [ ] [definizione] Insieme denso
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## Basi e Prebasi
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* [ ] [definizione] Topologia generata
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* [ ] [definizione] Base topologica
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle basi
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* [ ] [definizione] Prebase topologica
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia generata
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* [ ] [**proposizione**] Criterio per continuità
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# Assiomi di Numerabilità e Intorni
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## Intorni
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* [ ] [definizione] Intorno
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
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* [ ] [definizione] Continuità in un punto
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* [ ] [**proposizione**] Continua equivale a continua in ogni punto
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## Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità
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* [ ] [definizione] Sistema fondamentale di intorni
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* [ ] [definizione] I-numerabilità
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* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono I-numerabili
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## II-numerabilità e Separabilità
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* [ ] [definizione] II-numerabilità
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* [ ] [definizione] Separabilità
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* [ ] [**teorema**] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
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* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica I-numerabile
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## Successioni
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* [ ] [definizione] Successione
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* [ ] [definizione] Definitivamente e Frequentemente
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* [ ] [definizione] Limite
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* [ ] [definizione] Chiuso per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura e Chiusura per successioni
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* [ ] [definizione] Aperto per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Parte interna e Parte interna per successioni
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* [ ] [definizione] Continuità per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Continuità e Continuità per successioni
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# Topologia di sottospazio
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* [ ] [definizione] Topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
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* [ ] [**proposizione**] Proprietà universale della topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Restrizione di continua è continua
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# Mappe aperte e chiuse
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* [ ] [definizione] Mappe aperte e chiuse
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* [ ] [definizione] Immersione topologica
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi
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# Prodotti
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* [ ] [definizione] Prodotto cartesiano
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* [ ] [definizione] Diagonale
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* [ ] [definizione] Topologia prodotto
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia prodotto
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* [ ] [definizione] Box topology
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto di chiusi è chiuso
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto finito di metrici è metrico
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto numerabile di metrici è metrico
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## Proiezioni da un prodotto in un fattore
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* [ ] [**teorema**] Proprietà universale del prodotto
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* [ ] [**teorema**] Le proiezioni sono aperte
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## Immersioni dei fattori nel prodotto
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* [ ] [**proposizione**] Immersioni dei fattori nei prodotti
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## Topologia della convergenza puntuale
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# Assiomi di separazione
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* [ ] [definizione] Assiomi di separazione
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* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono Hausdorff
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_1$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_2$
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* [ ] [**teorema**] Unicità del limite per Hausdorff
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* [ ] [**proposizione**] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
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* [ ] [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
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* [ ] [definizione] Regolari e Normali
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* [ ] [**proposizione**] Spazi metrici sono normali
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* [ ] [**proposizione**] Lemma di Urysohn
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* [ ] [**proposizione**] Ereditarietà per sottospazi di $T_3$ e $T_4$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di $T_3$ con intorni
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* [ ] [**proposizione**] Prodotti di $T_3$ sono $T_3$
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# Ricoprimenti fondamentali
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* [ ] [definizione] Ricoprimento
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* [ ] [definizione] Ricoprimento fondamentale
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* [ ] [**teorema**] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
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* [ ] [**teorema**] Incollamento delle funzioni
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* [ ] [definizione] Famiglia localmente finita
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# Spazi connessi
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* [ ] [definizione] Connessione
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* [ ] [definizione] Cammino
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* [ ] [definizione] Giunzione
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* [ ] [definizione] Connessione per archi
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* [ ] [**teorema**] Spazio connesso per archi è connesso
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* [ ] [definizione] Insieme convesso
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* [ ] [definizione] Intervallo
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* [ ] [**teorema**] Connessi su $\R$
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* [ ] [**proposizione**] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
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* [ ] [**proposizione**] Continue preservano connessione
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* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi è connesso
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* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi
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## Componenti connesse
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* [ ] [**proposizione**] Unione di connessi che si intersecano è connessa
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* [ ] [definizione] Componente connessa
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* [ ] [definizione] Componenti connesse per archi
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
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* [ ] [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia
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### Locale connessione per archi
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* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
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* [ ] [**teorema**] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
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* [ ] [**proposizione**] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
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* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte
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# Compattezza
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* [ ] [definizione] Spazio compatto
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* [ ] [**teorema**] Alexander debole
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* [ ] [**teorema**] Alexander
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* [ ] [**teorema**] Continue mandano compatti in compatti
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* [ ] [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
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* [ ] [**proposizione**] Formulazione di compattezza con i chiusi
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## Sottoinsiemi compatti
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* [ ] [**teorema**] Un chiuso di un compatto è compatto
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* [ ] [**teorema**] Compatti in Hausdorff sono chiusi
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* [ ] [**proposizione**] Compatto Hausdorff è regolare
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* [ ] [**teorema**] Compatto Hausdorff è normale
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* [ ] [**teorema**] Continue da compatto a $T_2$ sono chiuse
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* [ ] [definizione] Funzione propria
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* [ ] [**proposizione**] Proprie a immagine in loc.cpt $T_2$ sono chiuse
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## Compattezza per prodotti
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* [ ] [**teorema**] Tychonoff debole
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* [ ] [**teorema**] Tychonoff
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* [ ] [**teorema**] Wallace
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## Compattificazione di Alexandroff
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* [ ] [definizione] Compattificazione
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* [ ] [definizione] Compattificazione di Alexandroff
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* [ ] [**teorema**] La compattificazione di Alexandroff \`e una compattificazione
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* [ ] [**teorema**] Unicità della compattificazione di Alexandroff
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### Proiezione stereografica
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* [ ] [definizione] Proiezione stereografica
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## Compattezza in spazi metrici
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### Compattezza e assiomi di numerabilità
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* [ ] [definizione] Compattezza sequenziale
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* [ ] [definizione] Spazio Lindel\"of
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* [ ] [**proposizione**] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
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* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica Lindel\"of
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* [ ] [**proposizione**] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
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* [ ] [**proposizione**] Compattezza e Numerabilità
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### Limitatezza e Completezza
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* [ ] [**proposizione**] Compatti in metrico sono limitati
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* [ ] [definizione] Successione di Cauchy
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* [ ] [definizione] Spazio completo
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* [ ] [**proposizione**] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
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* [ ] [definizione] Spazio totalmente limitato
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* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica limitato
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* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica II-numerabile
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di compattezza per metrici
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### Numero di Lebesgue e Uniforme continuità
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* [ ] [definizione] Numero di Lebesgue
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* [ ] [**teorema**] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
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* [ ] [definizione] Funzione uniformemente continua
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* [ ] [**teorema**] Heine-Cantor
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* [ ] [**teorema**] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio
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|
### Compattezza in $\R^n$
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* [ ] [**teorema**] Heine-Borel
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* [ ] [**teorema**] Weierstrass
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* [ ] [**teorema**] Equivalenza delle norme su $\R^n$
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# Topologia Quoziente
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* [ ] [definizione] Spazio quoziente
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* [ ] [**proposizione**] Esistenza e unicit\`a dello spazio quoziente
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* [ ] [definizione] Topologia quoziente
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia quoziente
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## Passaggio a quoziente e Identificazioni
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* [ ] [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
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* [ ] [definizione] Identificazione
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* [ ] [**teorema**] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
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* [ ] [**proposizione**] Criterio sufficiente per definire identificazioni
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## Insiemi saturi
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* [ ] [definizione] Insieme saturo
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* [ ] [**proposizione**] Gli $f-$saturi sono le preimmagini tramite $f$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi
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## Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet
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* [ ] [definizione] Collassamento
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* [ ] [definizione] Unione disgiunta
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* [ ] [definizione] Bouquet
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* [ ] [**proposizione**] I fattori si immergono nel bouquet
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* [ ] [**proposizione**] $T_1$ passa al bouquet e immersioni sono chiuse
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* [ ] [**proposizione**] $T_2$ passa al bouquet
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* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e compatto se e solo se lo sono i fattori
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* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e connesso se e solo se lo sono i fattori
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# Quozienti per azioni di gruppi
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* [ ] [definizione] Azione
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* [ ] [definizione] Orbita e stabilizzatore
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* [ ] [definizione] Azione continua
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* [ ] [**proposizione**] Proiezioni per quozienti per azione
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## Assiomi di Separazione e Azioni
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* [ ] [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su $T_2$
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
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* [ ] [**teorema**] Criterio sufficiente per quoziente per azione $T_2$
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## Domini fondamentali
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* [ ] [definizione] Dominio fondamentale
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* [ ] [**teorema**] Localmente compatto con dominio fondamentale
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# Topologia dei Proiettivi
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## Caso Reale
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* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
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* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco
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## Caso Complesso
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* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono omeomorfismi
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## Variet\`a topologiche
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* [ ] [definizione] Variet\`a topologica
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# Appendice al capitolo 2
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## Esempi e controesempi
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### Spazi topologici
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### Assiomi di numerabilit\`a
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### Prodotti
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### Assiomi di separazione
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* [ ] [definizione] Retta di Sorgenfrey
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### Ricoprimenti
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### Connessi
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### Compattezza
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### Quozienti
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