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DOMANDE ORALI MECCANICA RAZIONALE

Moti centrali

• Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica?
• Problema diretto di keplero
• Problema inverso di keplero
• Problema dei due corpi
• Formula di Binet
• Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero
• Definizione e proprietà dell'integrabilità dei moti centrali

Sistemi di riferimento in moto relativo

• Definizione di velocità angolare, formule di Poisson, derivata in diversi sistemi di riferimento
• Potenziale delle forze apparenti
• Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
• Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
• Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare

Dinamica dei sistemi di N punti materiali

• Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale
• Definizione di forze interne di tipo classico e prime proprietà
• Forze conservative e energia potenziale; forze interne di tipo classico; i sistemi di forze di tipo classico hanno risultante nulla; energia potenziale delle forze di tipo classico
• Teorema di König, versione per sistemi di N punti
• Le forze interne ammettono potenziale
• Parlare dei sistemi equivalenti di vettori applicati
• Sistemi di vettori applicati
• Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
• Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)

Il corpo rigido

• Definizione di operatore di inerzia e prime proprietà, cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
• Asse istantaneo di rotazione
• Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
• Definizione di operatore di inerzia e prima proprietà fino al teorema di scomposizione.
• Huygens-Steiner e un esempio di applicazione
• Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo
• Cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
• Campo delle velocità di un corpo rigido

Sistemi vincolati

• Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
• In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
• Vincoli ideali
• Dimostrare che il vincolo di rigidità di un corpo rigido è un vincolo olonomo e ideale

Le equazioni cardinali della dinamica

• Equazioni di Eulero
• Definizione di equilibrio stabile; come interpreti questa definizione per gli equilibri stabili della lagrangiana?
• Equazioni cardinali della dinamica
• Moto per inerzia (una panoramica di tutti i risultati)
• Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
• Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
• Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
• Caso simmetria giroscopica (I_1 = I_2 \neq I_3), le varie proprietà
• Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)

Equazioni di Lagrange

• Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert
• energia potenziale generalizzata delle forze apparenti, lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
• principio di d’Alembert e definizione di forze generalizzate. Calcolo di quest’ultime nel caso dell’asta ruotante
• Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano Oxy (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse y, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze
• Potenziali generalizzati

Simmetrie ed integrali primi

• Riduzione di Routh
• Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha \rho costante)
• Integrale di Jacobi
• Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
• Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)

Equilibri e stabilità

• Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
• Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità
• Equilibri, Lagrange-Dirichlet
• Lyapounov (enunciato del teorema)
• Dimostrare che l'integrale di Jacobi è un integrale primo
• Piccole oscillazioni
• Linearizzazione attorno ad un equilibrio