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5.6 KiB
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La categoria hTop
- [definizione] Omotopia
- [proposizione] Omotopia è relazione di equivalenza
- [proposizione] Composizione passa alla relazione di omotopia
- [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
- [proposizione] Equivalenza omotopica è una equivalenza
Funtore delle componenti connesse per archi
- [teorema] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei
\pi_0
Gruppo fondamentale
Omotopia di cammini
- [definizione] Omotopia di cammini
Gruppo Fondamentale
- [definizione] Gruppo Fondamentale
- [teorema] Il gruppo fondamentale è un gruppo
- [definizione] Semplicemente connesso
Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
- [proposizione] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
- [teorema] Propriet`a della corrispondenza tra
\pi_1(X)
e\spa{S^1,X}
- [proposizione] Corrispondenza tra omotopie di cammini in
\Omega(X,x_0)
e omotopie libere in{[S^1,X]}
Funtorialità del gruppo fondamentale
- [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
- [proposizione] Funtore da
Top_\ast
aGrp
- [definizione] Omotopia puntata
- [proposizione] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
Dipendenze del gruppo fondamentale
- [teorema] Il punto base determina
\pi_1(X)
a meno di isomorfismo - [proposizione] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
Spazi contraibili e retratti
Spazi contraibili
- [definizione] Spazio contraibile
- [definizione] Insieme stellato
- [definizione] Insieme Convesso
- [proposizione] Mappe a immagine in stellato
Retratti di Deformazione
- [definizione] Retratto
- [proposizione] Proprietà dei retratti
- [definizione] Retratto di deformazione
Rivestimenti
Omeomorfismi locali
- [definizione] Omeomorfismo Locale
- [proposizione] Omeomorfismo locale implica aperta
Rivestimenti
- [definizione] Rivestimento
- [proposizione] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
- [definizione] Fibra
- [teorema] Teorema delle Fibre
- [definizione] Grado di un rivestimento
- [definizione] Rivestimento banale
- [teorema] Rivestimento da azione propriamente discontinua
Sollevamenti
- [definizione] Sollevamento
- [teorema] Unicità del sollevamento
- [teorema] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
- [teorema] Sollevamento dell'omotopia
- [teorema] Sollevamento delle omotopie di cammini
Azione di Monodromia
- [definizione] Azione di monodromia
- [teorema] Proprietà dell'azione di monodromia
Sollevamento di mappe qualsiasi
- [teorema] Sollevamento di mappe qualsiasi
Applicazioni dell'azione di Monodromia
- [teorema] Gruppo fondamentale del cerchio
- [teorema] Teorema di Brower
Teorema di Seifert-Van Kampen
- [teorema] Seifert-Van Kampen
Calcolo del Gruppo fondamentale
Gruppo fondamentale del prodotto
- [teorema] Gruppo fondamentale del prodotto
Prodotto libero e gruppi liberi
- [definizione] Prodotto libero
- [teorema] Esistenza del prodotto libero
- [definizione] Gruppo libero
- [teorema] Propriet`a universale del gruppo libero
Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
- [teorema] Gruppo fondamentale del Bouquet di
n
circonferenze
Prodotto amalgamato
- [definizione] Prodotto amalgamato
- [teorema] Esistenza e unicit`a del prodotto amalgamato
Presentazioni di gruppi
- [definizione] Presentazione
- [proposizione] Propriet`a universale delle presentazioni
- [proposizione] Presentazione del prodotto amalgamato
Rango
- [definizione] Rango
Gruppi fondamentali di proiettivi
- [teorema] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
- [teorema] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
Gruppi fondamentali di superfici
Toro
- [teorema] Gruppo fondamentale del toro
Superfici con dato genere
- [teorema] Gruppo fondamentale delle superfici di genere
g
- [proposizione] Genere determina univocamente il
\pi_1
- [teorema] Genere, classe di Omotopia e
\pi_1
sono invarianti completi
Rivestimento Universale
- [definizione] Rivestimento universale
- [teorema] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
- [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
- [teorema] Esistenza dei rivestimenti universali
Propriet`a categoriche dei rivestimenti
- [proposizione] Propriet`a universale del rivestimento universale
- [definizione] Morfismo di rivestimenti
- [definizione] Automorfismi di rivestimenti
- [proposizione] Azione di
\Aut(p)
e di monodromia commutano
Isomorfismi di rivestimenti
- [teorema] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
- [proposizione] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
- [proposizione] Azione di
\Aut(p)
`e propriamente discontinua - [teorema] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
- [definizione] Rivestimento regolare
- [proposizione] I rivestimenti universali sono regolari
- [teorema] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
- [teorema]
\Aut(p)
in termini del gruppo fondamentale - [proposizione] Automorfismi di rivestimenti regolari
Applicazioni della teoria dei rivestimenti
- [teorema] Borsuk-Ulam