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La categoria hTop

  • [definizione] Omotopia
  • [proposizione] Omotopia è relazione di equivalenza
  • [proposizione] Composizione passa alla relazione di omotopia
  • [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
  • [proposizione] Equivalenza omotopica è una equivalenza

Funtore delle componenti connesse per archi

  • [teorema] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei \pi_0

Gruppo fondamentale

Omotopia di cammini

  • [definizione] Omotopia di cammini

Gruppo Fondamentale

  • [definizione] Gruppo Fondamentale
  • [teorema] Il gruppo fondamentale è un gruppo
  • [definizione] Semplicemente connesso

Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio

  • [proposizione] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
  • [teorema] Propriet`a della corrispondenza tra \pi_1(X) e \spa{S^1,X}
  • [proposizione] Corrispondenza tra omotopie di cammini in \Omega(X,x_0) e omotopie libere in {[S^1,X]}

Funtorialità del gruppo fondamentale

  • [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
  • [proposizione] Funtore da Top_\ast a Grp
  • [definizione] Omotopia puntata
  • [proposizione] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali

Dipendenze del gruppo fondamentale

  • [teorema] Il punto base determina \pi_1(X) a meno di isomorfismo
  • [proposizione] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo

Spazi contraibili e retratti

Spazi contraibili

  • [definizione] Spazio contraibile
  • [definizione] Insieme stellato
  • [definizione] Insieme Convesso
  • [proposizione] Mappe a immagine in stellato

Retratti di Deformazione

  • [definizione] Retratto
  • [proposizione] Proprietà dei retratti
  • [definizione] Retratto di deformazione

Rivestimenti

Omeomorfismi locali

  • [definizione] Omeomorfismo Locale
  • [proposizione] Omeomorfismo locale implica aperta

Rivestimenti

  • [definizione] Rivestimento
  • [proposizione] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
  • [definizione] Fibra
  • [teorema] Teorema delle Fibre
  • [definizione] Grado di un rivestimento
  • [definizione] Rivestimento banale
  • [teorema] Rivestimento da azione propriamente discontinua

Sollevamenti

  • [definizione] Sollevamento
  • [teorema] Unicità del sollevamento
  • [teorema] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
  • [teorema] Sollevamento dell'omotopia
  • [teorema] Sollevamento delle omotopie di cammini

Azione di Monodromia

  • [definizione] Azione di monodromia
  • [teorema] Proprietà dell'azione di monodromia

Sollevamento di mappe qualsiasi

  • [teorema] Sollevamento di mappe qualsiasi

Applicazioni dell'azione di Monodromia

  • [teorema] Gruppo fondamentale del cerchio
  • [teorema] Teorema di Brower

Teorema di Seifert-Van Kampen

  • [teorema] Seifert-Van Kampen

Calcolo del Gruppo fondamentale

Gruppo fondamentale del prodotto

  • [teorema] Gruppo fondamentale del prodotto

Prodotto libero e gruppi liberi

  • [definizione] Prodotto libero
  • [teorema] Esistenza del prodotto libero
  • [definizione] Gruppo libero
  • [teorema] Propriet`a universale del gruppo libero

Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse

  • [teorema] Gruppo fondamentale del Bouquet di n circonferenze

Prodotto amalgamato

  • [definizione] Prodotto amalgamato
  • [teorema] Esistenza e unicit`a del prodotto amalgamato

Presentazioni di gruppi

  • [definizione] Presentazione
  • [proposizione] Propriet`a universale delle presentazioni
  • [proposizione] Presentazione del prodotto amalgamato

Rango

  • [definizione] Rango

Gruppi fondamentali di proiettivi

  • [teorema] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
  • [teorema] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali

Gruppi fondamentali di superfici

Toro

  • [teorema] Gruppo fondamentale del toro

Superfici con dato genere

  • [teorema] Gruppo fondamentale delle superfici di genere g
  • [proposizione] Genere determina univocamente il \pi_1
  • [teorema] Genere, classe di Omotopia e \pi_1 sono invarianti completi

Rivestimento Universale

  • [definizione] Rivestimento universale
  • [teorema] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
  • [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
  • [teorema] Esistenza dei rivestimenti universali

Propriet`a categoriche dei rivestimenti

  • [proposizione] Propriet`a universale del rivestimento universale
  • [definizione] Morfismo di rivestimenti
  • [definizione] Automorfismi di rivestimenti
  • [proposizione] Azione di \Aut(p) e di monodromia commutano

Isomorfismi di rivestimenti

  • [teorema] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
  • [proposizione] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi

Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois

  • [proposizione] Azione di \Aut(p) `e propriamente discontinua
  • [teorema] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
  • [definizione] Rivestimento regolare
  • [proposizione] I rivestimenti universali sono regolari
  • [teorema] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
  • [teorema] \Aut(p) in termini del gruppo fondamentale
  • [proposizione] Automorfismi di rivestimenti regolari

Applicazioni della teoria dei rivestimenti

  • [teorema] Borsuk-Ulam