domande-orali/geoemtria-2/complessa.md

Richiami di calcolo in pi`u variabili

• [definizione] Differenziabilit`a e differenziale
• [definizione] Derivate parziali
• [definizione] Coniugio
• [proposizione] Il differenziale `e \C-lineare
• [proposizione] Propriet`a del differenziale
• [proposizione] Le \R lineari sono la somma diretta delle \C lineari e \C antilineari

Funzioni olomorfe

• [definizione] Funzione olomorfa
• [proposizione] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
• [teorema] Propriet`a aritmetiche delle olomorfe

Analitiche

Serie di potenze

• [definizione] Serie di potenze
• [definizione] Funzione analitica
• [proposizione] Le analitiche sono continue
• [teorema] Serie di potenze sono analitiche
• [teorema] Serie derivata

Ordine di annullamento

• [definizione] Ordine di annullamento
• [teorema] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa

Esponenziale e logaritmo complessi

Esponenziale complesso

• [definizione] Esponenziale complesso
• [proposizione] Propriet`a dell'esponenziale complesso

Logaritmo complesso

• [proposizione] L'esponenziale complesso `e un rivestimento
• [teorema] Branche del logaritmo
• [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
• [proposizione] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
• [proposizione] Le branche del logaritmo sono olomorfe
• [teorema] Espansione in serie del logaritmo

1-Forme complesse

• [definizione] 1-forma continua
• [definizione] Forme esatte e chiuse

Integrazione di 1-forme

• [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a \C
• [definizione] Integrale lungo una curva C^1
• [definizione] Curva C^1 a tratti
• [proposizione] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
• [proposizione] Integrazione di 1-forme esatte
• [definizione] Dominio
• [proposizione] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci

Primitive lungo curve e lungo omotopie

• [definizione] Primitiva lungo una curva
• [teorema] Esistenza e quasi unicit`a delle primitive lungo curve
• [definizione] Primitiva lungo una omotopia
• [teorema] Esistenza e quasi unicit`a delle primitive lungo omotopie
• [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
• [teorema] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi

Forme chiuse da funzioni olomorfe

• [teorema] Gauss-Green
• [teorema] Caratterizzazione delle forme chiuse C^1 con derivate parziali
• [teorema] Cauchy
• [teorema] Continua olomorfa fuori un segmento d`a forma chiusa

Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy

• [definizione] Indice di avvolgimento
• [proposizione] Indice di avvolgimento `e intero
• [teorema] Formula integrale di Cauchy

Olomorfa implica analitica

• [teorema] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco

Propriet`a delle olomorfe ereditate delle analitiche

• [proposizione] Principio di identit`a

Applicazioni

Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville

• [proposizione] Disuguaglianze di Cauchy

Principio della media

• [definizione] Propriet`a della media
• [proposizione] Propriet`a della media implica continua
• [teorema] Principio della media

Principio del massimo

• [teorema] Principio del massimo 1
• [teorema] Teorema dell'applicazione aperta

Singolarit`a

• [definizione] Singolarit`a
• [definizione] Corona

Serie di Laurent

• [definizione] Serie di Laurent
• [proposizione] propriet`a delle serie di Laurent
• [teorema] Olomorfa su Anello `e serie di Laurent

Tipi di singolarit`a

• [definizione] Tipi di singolarit`a
• [teorema] Estensione di Riemann
• [teorema] Casorati-Weierstass

Funzioni meromorfe e Residui

• [definizione] Funzione meromorfa
• [definizione] Residuo
• [proposizione] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
• [teorema] Teorema dei Residui

Derivata Logaritmica

• [definizione] Derivata logaritmica
• [proposizione] Residuo in polo della derivata logaritmica `e l'ordine del polo/zero
• [teorema] Teorema di Derivata logaritmica