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@ -27,6 +27,19 @@
\institute{Seminario per Metodi Numerici per Catene di Markov}
\date{}
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\begin{document}
\frame{\titlepage}
@ -220,7 +233,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\end{frame}
\subsection{QBD}
\subsection{Generatore del QBD}
% \begin{frame}
@ -386,7 +399,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\frametitle{Generatore infinitesimale del processo QBD}
Dove
\begin{itemize}
\item [$E_l^+$] è una matrice di dimensioni $(l+1) \times (l+2)$ con $(E_l^+)_{k,k} = 0$ per $0 \leq k \leq l$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$E_l^+$] è una matrice di dimensioni $(l+1) \times (l+2)$ con $(E_l^+)_{k,k} = 1$ per $0 \leq k \leq l$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$\widetilde{E}_l^-$] è una matrice di dimensioni $(l+1) \times l$ con $(\widetilde{E}_l^-)_{k,k-1} = 1$ per $1 \leq k \leq l$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$I_l^-$] è una matrice di dimensioni $(l+1) \times l$ con $(I_l^-)_{k,k} = 1$ per $0 \leq k \leq l-1$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$I_l^+$] è una matrice di dimensioni $(l+1) \times l$ con $(I_l^+)_{0,l-1} = 1, (I_l^+)_{k,k} = 1$ per $1 \leq k \leq l-1$ e tutte le altre componenti nulle.
@ -402,7 +415,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
% \end{figure}
% \end{frame}
\subsubsection{Condizione di ergodicità del processo QBD}
\subsection{Condizione di ergodicità}
% \begin{frame}
% \frametitle{Introduzione alla proprietà di ergodicità}
@ -415,8 +428,9 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
% \end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Condizione di ergodicità del processo QBD}
Il seguente risultato stabilisce la condizione di ergodicità del processo QBD che governa il sistema in esame.
\frametitle{Condizione di ergodicità}
% Il seguente risultato stabilisce la condizione di ergodicità del processo QBD che governa il sistema in esame.
In un processo ergodico la sua distribuzione di probabilità si stabilisce su un valore costante a lungo termine, indipendentemente dalle condizioni iniziali.
\begin{theorem}
Il processo stocastico CTMC $\{\zeta_t,,t\geq 0\}$ è ergodico se e solo se vale la seguente disuguaglianza:
\begin{equation*}\label{eq:ergodicity}
@ -524,24 +538,24 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\end{block}
\end{frame}
\subsubsection{Calcolo della distribuzione stazionaria del processo QBD}
\subsection{Calcolo della distribuzione stazionaria}
\begin{frame}
\frametitle{Probabilità stazionarie}
\frametitle{Distribuzione stazionaria}
\begin{block}{}
\begin{center}
La distribuzione stazionaria di una CTMC irriducibile ricorrente è la distribuzione di probabilità a cui il processo converge per valori grandi di $t$.
Lo stato stazionario di CTMC è un punto di equilibrio a lungo termine, in cui la distribuzione di probabilità della catena non cambia nel tempo.
\end{center}
% In altre parole, la distribuzione stazionaria è la distribuzione di probabilità di trovare il sistema in uno stato particolare quando il tempo tende all'infinito.
\end{block}
In particolare, per un processo QBD con n stati, la distribuzione stazionaria è un vettore di probabilità
In generale, per un processo QBD con $n$ stati, la distribuzione stazionaria è un vettore di probabilità
$$\pi = (\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n)$$
dove ogni $\pi_i$ rappresenta la probabilità di trovare il sistema nello stato $i$.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Probabilità stazionarie}
\frametitle{Distribuzione stazionaria}
Sotto l'assunzione che la condizione di ergodicità sia valida, esistono le seguenti probabilità stazionarie degli stati del CTMC $\{\zeta_t, t \geq 0\}$:
$$\pi(i,n,\xi) = \lim_{t \to \infty} P\{i_t = i, n_t = n, \xi_t = \xi\}, ~ i \geq 0$$
% $$n \in \{0, 1, \dots , \min\{i,L\}\}, \quad \zeta \in \{0, \dots, n\}$$
@ -555,10 +569,10 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\begin{frame}
\frametitle{Probabilità stazionarie}
Sappiamo che i vettori di probabilità stazionari $\pi_i, i \geq 0$, soddisfano il sistema di equazioni algebriche lineari (equazioni di equilibrio):
\begin{block}{}
$$(\pi_0, \pi_1, \pi_, \dots)Q = 0 \qquad (\pi_0, \pi_1, \pi_, \dots)\textbf{e} = 1$$
\frametitle{Distribuzione stazionaria}
Sappiamo che i vettori di probabilità stazionari $\pi_i, i \geq 0$, soddisfano il sistema di equazioni algebriche lineari:
\begin{block}{Equazioni di equilibrio}
$$(\pi_0, \pi_1, \pi_2, \dots)Q = 0 \qquad (\pi_0, \pi_1, \pi_2, \dots)\textbf{e} = 1$$
\end{block}
dove $Q$ è la matrice di transizione del CTMC $\{\zeta_t, t \geq 0\}$ ed $\textbf{e}$ è il vettore colonna di tutti gli elementi $1$
\end{frame}
@ -629,146 +643,17 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\begin{frame}
\frametitle{Algoritmo per risolvere il sistema di equazioni di equilibrio}
\begin{block}{Osservazioni}
\begin{itemize}
\item L'algoritmo proposto è una modifica dell'algoritmo per il calcolo della distribuzione stazionaria di una CTMC asintotica quasi-Toeplitz.
% \item Utilizzando la ricorsione di vettori anziché quella di matrici si ha una significativa riduzione della complessità in tempo e spazio.
\item Le inverse delle matrici utilizzate nell'algoritmo sono sub-generatori irriducibili e semi-stabili, il che rende stabile l'implementazione numerica dell'algoritmo.
\item L'esistenza delle inverse delle matrici che appaiono nell'algoritmo segue immediatamente dal teorema di O. Tausska
\item Le inverse delle matrici utilizzate nell'algoritmo sono sub-generatori irriducibili e semi-stabili (e quindi le inverse dei negativi di queste matrici sono non
negative), il che rende stabile l'implementazione numerica dell'algoritmo.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
% \subsection{GI/M/1}
% \begin{frame}{Introduzione alle code di tipo GI/M/1}
% \begin{block}{}
% Una coda di tipo GI/M/1 è un processo stocastico che modella il comportamento di un sistema di code con un singolo server
% \end{block}
% \begin{itemize}
% \item [GI] \emph{General inter-arrival time distribution} distribuzione del tempo tra gli arrivi dei clienti alla coda.
% \item [M] \emph{Markovian service time distribution}: si riferisce alla distribuzione dei tempi di servizio per ciascun cliente, che viene assunta essere un processo di Markov.
% \item [1] \emph{One server}: un solo server nel sistema, e che solo un cliente alla volta può essere servito.
% \end{itemize}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Code di tipo GI/M/1}
% \begin{block}{}
% Definiamo come prima cosa lo spazio degli stati $\Omega$ del CTMC come:
% $$\Omega = \{ (i,j,k) ~ : ~ i \geq 0, 0 \leq j \leq K, 1 \leq k \leq m \}$$
% \end{block}
% Definiamo il livello \textbf{i} come:
% \begin{equation*}
% \textbf{i} = \{(i, j, k) : 0 \leq j \leq L, 1 \leq k \leq m\} = \{(\textbf{i}, 0), \dots, (\textbf{i}, L)\}, \quad i \geq 0
% \end{equation*}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Code di tipo GI/M/1}
% \begin{block}{Osservazione}
% \begin{itemize}
% \item il livello $(\textbf{i},\textbf{j})$ indica che il server principale è occupato, ci sono $i-1$ clienti in attesa nella coda principale; il server secondario è occupato e il processo di arrivo si trova in varie fasi
% \item Il livello $(\textbf{0},\textbf{0})$ corrisponde al sistema inattivo con il processo \emph{MAP} in una delle $m$ fasi.
% \end{itemize}
% \end{block}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Il generatore del CTMC}
% Il generatore $\widetilde{Q}$ della CTMC che governa il sistema in studio è:
% \begin{figure}
% \centering
% \includegraphics[width=\textwidth]{Isy9B7s.png}
% \end{figure}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Il generatore del CTMC}
% Dove abbiamo:
% \begin{equation*}
% B_0 =
% \begin{pmatrix}
% D_0 & & & & \\
% \widetilde{\nu}\mu_2 I & D_0 - \mu_2 I & & & \\
% & \widetilde{\nu}\mu_2 I & D_0 - \mu_2 I & & \\
% & & \ddots & \ddots & \\
% & & & \widetilde{\nu}\mu_2 I & D_0 - \mu_2 I
% \end{pmatrix}
% \end{equation*}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Il generatore del CTMC}
% Dove abbiamo:
% \begin{equation*}
% \begin{split}
% A_0 &=
% \begin{pmatrix}
% D_1 & & & & \\
% \nu\mu_2 I & D_1 & & & \\
% & \nu \mu_2 I & D_1 & & \\
% & & \ddots & \ddots & \\
% & & & \nu \mu_2 I & D_1
% \end{pmatrix} \\
% A_1 &= B_0 -\mu_1 I \\
% A_2 & = \mu_1 \Delta(q,1, \dots, 1) \\
% B_1 &= \mu_1 I \\
% B_r &= \rho \mu_1 (e_r^T \otimes e(L+1)) \qquad 2 \leq r \leq L+1 \\
% A_{L+2} &= B_{L+1}
% \end{split}
% \end{equation*}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
% Utilizzando i risultati per le code di tipo G1/M/1 in tempo continuo, si verificano le seguenti proprietà:
% \begin{block}{Proprietà 1}
% Sia
% $$\widetilde{y} = (\widetilde{y_0}, \dots, \widetilde{y_{L}})$$
% il vettore invariante di $\displaystyle A = \sum_{i=0}^{L+2} A_i$. Allora:
% $$ \widetilde{y_0} = \delta(\mu_2I - D_0 - D_1)[\mu_2U + L\rho\mu_1 I - D_0 - D_1]^{-1} $$
% $$ \widetilde{y_r} = \rho \mu_1 \pi_0(\mu_2I - D_0 - D_1)^{-1}, \qquad 1 \leq r \leq L $$
% \end{block}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
% \begin{block}{Proprietà 2}
% La condizione di stabilità
% $$ \widetilde{y} A_0 e < \widetilde{y} \sum_{i=1}^{L+2}(i-1)A_i e $$
% si riduce alla disuguaglianza vista prima:
% $$ \lambda < \mu_1 + \mu_2(1 - \nu) \frac{L(1-q)\mu_1}{L(1-q)\mu_1 + \mu_2} $$
% \end{block}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
% \begin{block}{Proprietà 3}
% Data $R$ la matrice di rate, soddisfa l'equazione matriciale non lineare data da:
% $$ R^{L+2} A_{L+2} + R^2A_2 + RA_1 + A_0 = 0 $$
% \end{block}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
% \begin{block}{Proprietà 4}
% Indicando con $\widetilde{\pi}$ il vettore di probabilità stazionario del generatore $\widetilde{Q}$ come visto prima, otteniamo qui la soluzione matriciale geometrica classica:
% $$ \widetilde{\pi}_i = \widetilde{\pi}_0R^i, \qquad i \geq 1 $$
% dove $\widetilde{\pi}_0$ è ottenuto risolvendo il seguente sistema di equazioni lineari:
% $$ \widetilde{\pi}_0\Bigg[ \sum_{i=0}^{L+1} R^iB_i \Bigg] = 0, \qquad \widetilde{\pi}_0e = 1 $$
% \end{block}
% \end{frame}
\section{Risultati Numerici}
\begin{frame}
\frametitle{Introduzione ai risultati numerici}
@ -858,6 +743,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\end{block}
\end{frame}
\subsection{Primo esempio}
\begin{frame}
\frametitle{Primo esempio illustrativo}
@ -984,6 +870,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\end{frame}
\subsection{Secondo esempio}
\begin{frame}
@ -1035,7 +922,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\begin{itemize}
\item Si aumenta $\lambda$ del 50\% a 0.75 per testare l'importo della riduzione del numero medio di clienti nel sistema.
\item Mantenendo gli altri parametri costanti, si ottiene una riduzione superiore al 52,8\%.
\item Ciò suggerisce che l'aggiunta di un server secondario beneficia notevolmente l'aumento del carico del sistema anche con un tasso di insoddisfazione del cliente del 50\%.
\item Ciò suggerisce che con l'aggiunta di un server secondario, il sistema beneficia notevolmente l'aumento del carico del sistema (anche con un tasso di insoddisfazione del cliente del 50\%).
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
@ -1078,6 +965,7 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
% \item Nel sistema \emph{MAP}/M/1 classico corrispondente, questa misura è $P_\mathrm{idle-system}=0.5$.
% \end{itemize}
% \end{frame}
\subsection{Terzo esempio}
\begin{frame}
@ -1166,7 +1054,135 @@ Dato $\alpha_n$ il numero di nuovi arrivi durante l'intervallo $[n - 1, n)$ e $X
\end{frame}
\subsection*{Appendice}
\begin{frame}{Approfondimento - GI/M/1 type Markov Chains}
\begin{block}{}
Una coda di tipo GI/M/1 è un processo stocastico che modella il comportamento di un sistema di code con un singolo server
\end{block}
\begin{itemize}
\item [GI] \emph{General inter-arrival time distribution} distribuzione del tempo tra gli arrivi dei clienti alla coda.
\item [M] \emph{Markovian service time distribution}: si riferisce alla distribuzione dei tempi di servizio per ciascun cliente, che viene assunta essere un processo di Markov.
\item [1] \emph{One server}: un solo server nel sistema, e che solo un cliente alla volta può essere servito.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Code di tipo GI/M/1}
\begin{block}{}
Definiamo come prima cosa lo spazio degli stati $\Omega$ del CTMC come:
$$\Omega = \{ (i,j,k) ~ : ~ i \geq 0, 0 \leq j \leq K, 1 \leq k \leq m \}$$
\end{block}
Definiamo il livello \textbf{i} come:
\begin{equation*}
\textbf{i} = \{(i, j, k) : 0 \leq j \leq L, 1 \leq k \leq m\} = \{(\textbf{i}, 0), \dots, (\textbf{i}, L)\}, \quad i \geq 0
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Code di tipo GI/M/1}
\begin{block}{Osservazione}
\begin{itemize}
\item il livello $(\textbf{i},\textbf{j})$ indica che il server principale è occupato, ci sono $i-1$ clienti in attesa nella coda principale; il server secondario è occupato e il processo di arrivo si trova in varie fasi
\item Il livello $(\textbf{0},\textbf{0})$ corrisponde al sistema inattivo con il processo \emph{MAP} in una delle $m$ fasi.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Il generatore del CTMC}
Il generatore $\widetilde{Q}$ della CTMC che governa il sistema in studio è:
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Isy9B7s.png}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Il generatore del CTMC}
Dove abbiamo:
\begin{equation*}
B_0 =
\begin{pmatrix}
D_0 & & & & \\
\widetilde{\nu}\mu_2 I & D_0 - \mu_2 I & & & \\
& \widetilde{\nu}\mu_2 I & D_0 - \mu_2 I & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \widetilde{\nu}\mu_2 I & D_0 - \mu_2 I
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Il generatore del CTMC}
Dove abbiamo:
\begin{equation*}
\begin{split}
A_0 &=
\begin{pmatrix}
D_1 & & & & \\
\nu\mu_2 I & D_1 & & & \\
& \nu \mu_2 I & D_1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \nu \mu_2 I & D_1
\end{pmatrix} \\
A_1 &= B_0 -\mu_1 I \\
A_2 & = \mu_1 \Delta(q,1, \dots, 1) \\
B_1 &= \mu_1 I \\
B_r &= \rho \mu_1 (e_r^T \otimes e(L+1)) \qquad 2 \leq r \leq L+1 \\
A_{L+2} &= B_{L+1}
\end{split}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
Utilizzando i risultati per le code di tipo G1/M/1 in tempo continuo, si verificano le seguenti proprietà:
\begin{block}{Proprietà 1}
Sia
$$\widetilde{y} = (\widetilde{y_0}, \dots, \widetilde{y_{L}})$$
il vettore invariante di $\displaystyle A = \sum_{i=0}^{L+2} A_i$. Allora:
$$ \widetilde{y_0} = \delta(\mu_2I - D_0 - D_1)[\mu_2U + L\rho\mu_1 I - D_0 - D_1]^{-1} $$
$$ \widetilde{y_r} = \rho \mu_1 \pi_0(\mu_2I - D_0 - D_1)^{-1}, \qquad 1 \leq r \leq L $$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
\begin{block}{Proprietà 2}
La condizione di stabilità
$$ \widetilde{y} A_0 e < \widetilde{y} \sum_{i=1}^{L+2}(i-1)A_i e $$
si riduce alla disuguaglianza vista prima:
$$ \lambda < \mu_1 + \mu_2(1 - \nu) \frac{L(1-q)\mu_1}{L(1-q)\mu_1 + \mu_2} $$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
\begin{block}{Proprietà 3}
Data $R$ la matrice di rate, soddisfa l'equazione matriciale non lineare data da:
$$ R^{L+2} A_{L+2} + R^2A_2 + RA_1 + A_0 = 0 $$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
\begin{block}{Proprietà 4}
Indicando con $\widetilde{\pi}$ il vettore di probabilità stazionario del generatore $\widetilde{Q}$ come visto prima, otteniamo qui la soluzione matriciale geometrica classica:
$$ \widetilde{\pi}_i = \widetilde{\pi}_0R^i, \qquad i \geq 1 $$
dove $\widetilde{\pi}_0$ è ottenuto risolvendo il seguente sistema di equazioni lineari:
$$ \widetilde{\pi}_0\Bigg[ \sum_{i=0}^{L+1} R^iB_i \Bigg] = 0, \qquad \widetilde{\pi}_0e = 1 $$
\end{block}
\end{frame}
\end{document}

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