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import TestGame.Metadata
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import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "TestWorld"
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Level 5
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Title "Rewrite"
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Introduction
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"
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Oft sind aber die Annahmen nicht genau das, was man zeigen will, sondern man braucht
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mehrere Schritte im Beweis.
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Wenn man eine Annahme `(h : X = Y)` hat die sagt, dass `X` und `Y` gleich sind,
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kann man die Taktik `rw` (steht für 'rewrite') brauchen um im Goal
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das eine durch das andere zu ersetzen.
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"
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Statement umschreiben
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"
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Angenommen man hat die Gleichheiten
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`a = b`, `a = d`, `c = d`.
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Zeige dass `b = c`.
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"
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(a b c d : ℕ) (h₁ : c = d) (h₂ : a = b) (h₃ : a = d) : b = c := by
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rw [h₁]
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rw [←h₂]
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assumption
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-- Gleich am Anfang anzeigen.
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Message (a : ℕ) (b : ℕ) (c : ℕ) (d : ℕ) (h₁ : c = d) (h₂ : a = b) (h₃ : a = d) : b = c =>
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"Wenn man eine Annahme `(h₁ : c = d)` hat, kann man mit `rw [h₁]` (oder `rewrite [h₁]`) das erste
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`c` im Goal mit `d` ersetzen."
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Hint (a : ℕ) (b : ℕ) (c : ℕ) (d : ℕ) (h₁ : c = d) (h₂ : a = b) (h₃ : a = d) : b = c =>
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"Die kleinen Zahlen `h₁ h₂ h₃` werden in Lean oft verwendet und man schreibt diese mit
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`\\1`, `\\2`, `\\3`, …"
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Message (a : ℕ) (b : ℕ) (c : ℕ) (d : ℕ) (h₁ : c = d) (h₂ : a = b) (h₃ : a = d) : b = d =>
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"Mit `rw [← h₂]` (`\\l`, also klein L wie \"left\") kann man eine Hypotheses
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`(h₂ : a = b)` rückwärts anwenden und `b` durch `a` ersetzen."
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-- TODO: Muss ich das wirklich mehrmals auflisten?
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Message (x : ℕ) : x = x =>
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"Der Hauptunterschied zwischen `rw` und `rewrite` ist, dass das erste automatisch versucht,
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anschliessend `rfl` anzuwenden. Bei `rewrite` musst du `rfl` explizit noch aufrufen."
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Conclusion "Übrigens, mit `rw [h₁] at h₂` kann man auch eine andere Annahme umschreiben
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anstatt dem Goal."
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-- TODO: Das macht es doch unmöglich mit den Messages...
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Tactics assumption rw
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