lean4game/server/testgame/TestGame/Levels/Proposition/L12_Or.lean

import TestGame.Metadata
import Std.Tactic.RCases
import Mathlib.Tactic.LeftRight

--set_option tactic.hygienic false

--set_option autoImplicit false


Game "TestGame"
World "Proposition"
Level 13

Title "Oder"

Introduction
"
Der nächste bitte … 
"

Statement
"Angenommen \"$A$ oder ($A$ und $B$)\" wahr ist, zeige, dass $A$ wahr ist."
    (A B : Prop) (h : A ∨ (A ∧ B)) : A := by
  rcases h with h | h
  assumption
  rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
  assumption

Hint
"
**Du** Ja klar, erst ein Und im Ziel, dann ein Und in der Annahme, dann ein Oder im Ziel, und jetzt noch ein Oder in der Annahme.  Ich glaube den ganzen Circus hier langsam nicht mehr.  Die haben sich doch abgesprochen!

**Robo** Lass ihnen doch ihren Spaß.  Wir sind ja gleich hier fertig, und können zu einem interessanteren Planeten weiterfliegen.

**Du** Also, wieder `rcases …`? 

**Robo** Ja, aber diesmal nicht `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩`, sondern `rcases h with h | h`.
"

Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A =>
"
**Robo** Jetzt musst Du Dein Ziel zweimal beweisen:  Einmal unter der Annahme `A`, und einmal unter der Annahme `A ∨ B`.
"
HiddenHint  (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A =>
" 
**Robo** Wie man mit einem Und in den Annahmen umgeht, weißt Du doch schon:  `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩`.  Zur Erinnerung: Für die Klammern schreibst Du `\\<>`.
"

Conclusion
"**Du**  Ok, das scheint ihn zufriedenzustellen.  One to go … Kannst Du mir vorher noch einmal kurz alles Leanish zusammenfassen, das Du mir bis hierher beigebracht hast?

Robo straht überglücklich.  Noch *nie* warst Du so auf ihn angewiesen.  

**Robo** Na klar, schau her!

## Notationen / Begriffe

|               | Beschreibung                                                             |
|:--------------|:-------------------------------------------------------------------------|
| *Goal*        | Was aktuell zu beweisen ist.                                             |
| *Annahme*     | Objekte & Resultate, die man zur Verfügung hat.                          |
| *Taktik*      | Befehl im Beweis. Entspricht einem Beweisschritt.                        |
| `ℕ`           | Typ aller natürlichen Zahlen.                                            |
| `0, 1, 2, …`  | Explizite natürliche Zahlen.                                             |
| `=`           | Gleichheit.                                                              |
| `≠`           | Ungleichheit. Abkürzung für `¬(·=·)`.                                    |
| `Prop`        | Typ aller logischen Aussagen.                                            |
| `True`        | Die logische Aussage `(True : Prop)` ist bedingungslos wahr.             |
| `False`       | Die logische Aussage `(False : Prop)` ist bedingungslos falsch.          |
| `¬`           | Logische Negierung.                                                      |
| `∧`           | Logisch UND.                                                             |
| `∨`           | Logisch ODER.                                                            |
| `(n : ℕ)`     | Eine natürliche Zahl.                                                    |
| `(A : Prop)`  | Eine logische Aussage.                                                   |
| `(ha : A)`    | Ein Beweis, dass die logische Aussage `(A : Prop)` wahr ist.             |
| `(h : A ∧ B)` | Eine Annahme, die den Namen `h` bekommen hat.                            |
| `⟨·,·⟩`       | Schreibweise für Struktur mit mehreren Feldern (kommt später im Detail). |
| `h.1, h.2, …` | Die einzelnen Felder der Stuktur. Auch `h.[Name des Feldes]`             |


## Taktiken

Die Worte, die Du aktiv gebrauchen musst, heißen zusammengefasst `Taktiken`.  Hier sind alle Taktiken, die wir auf diesem Planeten gebraucht haben:

|    | Taktik                    | Beispiel                                          |
|:---|:--------------------------|:--------------------------------------------------|
| 1  | `rfl`                     | Beweist `A = A`.                                  |
| 2  | `assumption`              | Sucht das Goal in den Annahmen.                   |
| 3  | `contradiction`           | Sucht einen Widerspruch.                          |
| 4  | `trivial`                 | Kombiniert die obigen drei Taktiken (und mehr).   |
| 5  | `constructor`             | Teilt ein UND im Goal auf.                        |
| 6  | `left`/`right`            | Beweist eine Seite eines ODER im Goal.            |
| 7ᵃ | `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩`  | Teilt ein UND in den Annahmen auf.                |
| 7ᵇ | `rcases h with h \\| h`   | Teilt ein ODER in den Annahmen in zwei Fälle auf. |

**Du** Woher weißt Du das eigentlich alles?

**Robo** Keine Ahnung.  War, glaube ich, vorinstalliert.
"


NewTactics assumption rcases
DisabledTactics tauto