@ -17,7 +17,7 @@ Ein einziger, einsamer Formalosoph, der sich als Benedictus vorstellt, erwartet
**Benedictus**: Schön, dass Ihr gekommen seid! Ich habe schon auf Euch gewartet!
**Benedictus**: Schön, dass Ihr gekommen seid! Ich habe schon auf Euch gewartet!
**Du**: Hast Du auch ein paar dringende Fragen … ?
**Du**: Hast du auch ein paar dringende Fragen … ?
**Benedictus**: Ach nein, aus dem Alter bin ich heraus. Aber ich kann mir denken, wie es Euch auf Implis und Quantus ergangen ist. Und glaubt, mir auf den anderen Planeten wird es nicht viel besser. Aber ich kann Euch vielleicht ein bisschen vorbereiten.
**Benedictus**: Ach nein, aus dem Alter bin ich heraus. Aber ich kann mir denken, wie es Euch auf Implis und Quantus ergangen ist. Und glaubt, mir auf den anderen Planeten wird es nicht viel besser. Aber ich kann Euch vielleicht ein bisschen vorbereiten.
Statement not_imp_not (A B : Prop) : A → B ↔ (¬ B → ¬ A) := by
Statement not_imp_not (A B : Prop) : A → B ↔ (¬ B → ¬ A) := by
Hint "**Du**: Ja, das habe ich tatsächlich schon einmal gesehen.
Hint "**Du**: Ja, das habe ich tatsächlich schon einmal gesehen.
**Robo**: Ja, klar hast Du das schon einmal gesehen. Das benutzen Mathematiker doch ständig. Wenn ihnen zu $A ⇒ B$ nichts einfällt, zeigen sie stattdessen $¬B ⇒ ¬A$. Ich würde das ja statt *Kontraposition* oder `not_imp_not` eher *von_hinten_durch_die_Brust_ins_Auge* nennen. Aber gut, ich will mich nicht einmisschen.
**Robo**: Ja, klar hast du das schon einmal gesehen. Das benutzen Mathematiker doch ständig. Wenn ihnen zu $A ⇒ B$ nichts einfällt, zeigen sie stattdessen $¬B ⇒ ¬A$. Ich würde das ja statt *Kontraposition* oder `not_imp_not` eher *von_hinten_durch_die_Brust_ins_Auge* nennen. Aber gut, ich will mich nicht einmisschen.
"
"
Hint (hidden := true) "**Robo**: Fang doch mal mit `constructor` an."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Fang doch mal mit `constructor` an."
@ -20,7 +20,7 @@ Statement (A B : Prop) (hb : B) : A → (A ∧ B) := by
**Du**: Einen Moment. Das ist ja gerade so eine Implikation (`\\to`). Wir nehmen an, dass `{B}` gilt, und wollen zeigen, dass dann gilt `{A}` impliziert `{A} und {B}`. Ja, klar! Natürlich stimmt das.
**Du**: Einen Moment. Das ist ja gerade so eine Implikation (`\\to`). Wir nehmen an, dass `{B}` gilt, und wollen zeigen, dass dann gilt `{A}` impliziert `{A} und {B}`. Ja, klar! Natürlich stimmt das.
Der Operationsleiter sieht Dich erwartungsvoll an.
Der Operationsleiter sieht dich erwartungsvoll an.
**Du** *(leise zu Robo)*: Soll ich ihm `tauto` aufschreiben?
**Du** *(leise zu Robo)*: Soll ich ihm `tauto` aufschreiben?
@ -29,11 +29,11 @@ Statement (A B : Prop) (hb : B) : A → (A ∧ B) := by
*Du**: Aber wie denn? Ich glaube, ich würde als erstes gern so etwas sagen wie 'Nehmen wir also an, `{A}` gilt …'
*Du**: Aber wie denn? Ich glaube, ich würde als erstes gern so etwas sagen wie 'Nehmen wir also an, `{A}` gilt …'
**Robo**: Ja, gute Idee. Wähle dazu für Deine Annahme einfach einen Namen, zum Beispiel `h`, und schreib `intro h`."
**Robo**: Ja, gute Idee. Wähle dazu für deine Annahme einfach einen Namen, zum Beispiel `h`, und schreib `intro h`."
intro hA
intro hA
Hint "**Du**: OK. Jetzt habe ich also sowohl `{A}` als auch `{B}` in meinen Annahmen und muss `{A} ∧ {B}` zeigen.
Hint "**Du**: OK. Jetzt habe ich also sowohl `{A}` als auch `{B}` in meinen Annahmen und muss `{A} ∧ {B}` zeigen.
**Robo**: Genau. Und wie das geht, weißt Du ja schon."
**Robo**: Genau. Und wie das geht, weißt du ja schon."
@ -17,7 +17,7 @@ Statement (A B : Prop) (mp : A → B) (mpr : B → A) : A ↔ B := by
**Du**: Also ganz ähnlich wie das UND, `A ∧ B`?
**Du**: Also ganz ähnlich wie das UND, `A ∧ B`?
**Robo**: Genau. Entsprechend kannst Du auch hier mit `constructor` anfangen."
**Robo**: Genau. Entsprechend kannst du auch hier mit `constructor` anfangen."
constructor
constructor
Hint "**Du**: Ah, und die beiden Teile habe ich schon in den Annahmen."
Hint "**Du**: Ah, und die beiden Teile habe ich schon in den Annahmen."
assumption
assumption
@ -32,7 +32,7 @@ heißen bei `(h : A ↔ B)` die beiden Teile `h.mp` und `h.mpr`.
**Du**: Also `h.mp` ist `A → B`? Wieso `mp`?
**Du**: Also `h.mp` ist `A → B`? Wieso `mp`?
**Robo**: `mp` steht für Modus Ponens`. Der Modus ponens ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen … Ach nee, das wolltest Du ja nicht hören. Das \"r\" in `mpr` steht für \"reverse\", weil's die Rückrichtung ist.
**Robo**: `mp` steht für Modus Ponens`. Der Modus ponens ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen … Ach nee, das wolltest du ja nicht hören. Das \"r\" in `mpr` steht für \"reverse\", weil's die Rückrichtung ist.
**Operationsleiter**: Ihr habt mir wirklich so geholfen! Hier ist das letzte Problem. Das habe ich von meinem Vorgänger geerbt. Er hat behauptet, wenn wir das lösen können, dann läuft hier wieder alles. Aber es sah mir immer viel zu schwierig aus, um es überhaupt zu versuchen. Wollt Ihr es einmal probieren?
**Operationsleiter**: Ihr habt mir wirklich so geholfen! Hier ist das letzte Problem. Das habe ich von meinem Vorgänger geerbt. Er hat behauptet, wenn wir das lösen können, dann läuft hier wieder alles. Aber es sah mir immer viel zu schwierig aus, um es überhaupt zu versuchen. Wollt Ihr es einmal probieren?
**Du**: Klar, zeig her! Robo, kannst Du mir vielleicht auch noch einmal so eine nette Zusammenfassung anzeigen, was ich theoretisch in den letzten fünf Minuten gelernt habe?
**Du**: Klar, zeig her! Robo, kannst du mir vielleicht auch noch einmal so eine nette Zusammenfassung anzeigen, was ich theoretisch in den letzten fünf Minuten gelernt habe?
**Robo**: Hier ist die Übersicht:
**Robo**: Hier ist die Übersicht:
@ -49,8 +49,8 @@ Statement imp_iff_not_or (A B : Prop) : (A → B) ↔ ¬ A ∨ B := by
apply not_or_of_imp
apply not_or_of_imp
Hint "**Du**: Gibt es für die Gegenrichtung auch ein Lemma?
Hint "**Du**: Gibt es für die Gegenrichtung auch ein Lemma?
**Robo**: Leider nicht. Da musst Du manuell ran."
**Robo**: Leider nicht. Da musst du manuell ran."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Na Implikationen gehst Du immer mit `intro` an."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Na Implikationen gehst du immer mit `intro` an."
intro h
intro h
intro ha
intro ha
Hint (hidden := true) "**Robo**: Ich würde mal die Annahme `h` mit `rcases` aufteilen."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Ich würde mal die Annahme `h` mit `rcases` aufteilen."
Ihr habt nun alle Fragen aus dem königlichen Päckchen beantwortet, und die Formalosophinnen applaudieren. Dann wollen Sie aber auch noch ein paar Fragen stellen, aber sie können sich nicht einigen, welche.
Ihr habt nun alle Fragen aus dem königlichen Päckchen beantwortet, und die Formalosophinnen applaudieren. Dann wollen Sie aber auch noch ein paar Fragen stellen, aber sie können sich nicht einigen, welche.
Ihr heute abwechselnd die Rufe „Even“ und „Odd“ aus der Menge heraus. Deshalb zeigt Dir Robo vorsichtshalber schon einmal die entsprechenden Definitionen an:
Ihr heute abwechselnd die Rufe „Even“ und „Odd“ aus der Menge heraus. Deshalb zeigt dir Robo vorsichtshalber schon einmal die entsprechenden Definitionen an:
```
```
def Even (n : ℕ) : Prop := ∃ r, n = r + r
def Even (n : ℕ) : Prop := ∃ r, n = r + r
@ -33,14 +33,14 @@ Schließlich taucht von irgendwo aus der Menge folgendes Papier auf:
"
"
Statement even_square (n : ℕ) (h : Even n) : Even (n ^ 2) := by
Statement even_square (n : ℕ) (h : Even n) : Even (n ^ 2) := by
Hint "**Robo**: Du kannst Dir mit `unfold Even` auch hier auf dem Papier die Definition sehen."
Hint "**Robo**: Du kannst dir mit `unfold Even` auch hier auf dem Papier die Definition sehen."
Branch
Branch
unfold Even
unfold Even
Hint "Robo**: Am besten machst Du auch noch `unfold Even at h`, damit Du verstehst, was los ist."
Hint "Robo**: Am besten machst du auch noch `unfold Even at h`, damit du verstehst, was los ist."
Hint "**Robo**: Wie Du oben siehst, ist `Even n` dadurch definiert,
Hint "**Robo**: Wie du oben siehst, ist `Even n` dadurch definiert,
dass ein `r` existiert so dass `r + r = n` ist. Am besten
dass ein `r` existiert so dass `r + r = n` ist. Am besten
öffnest du diese Definition mit `unfold Even at *` einmal.
öffnest du diese Definition mit `unfold Even at *` einmal.
Dann siehst Du besser, was los ist. "
Dann siehst du besser, was los ist. "
unfold Even at *
unfold Even at *
Hint "**Du**: Also von `{h}` weiß ich jetzt, dass ein `r` existiert, so dass `r + r = n` …
Hint "**Du**: Also von `{h}` weiß ich jetzt, dass ein `r` existiert, so dass `r + r = n` …
@ -50,17 +50,17 @@ Statement even_square (n : ℕ) (h : Even n) : Even (n ^ 2) := by
**Robo**: Genau. Und mit `use _` gibst du diese Zahl an."
**Robo**: Genau. Und mit `use _` gibst du diese Zahl an."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Also sowas ähnliches wie `use 4 * r ^ 3`, aber ich kann
Hint (hidden := true) "**Robo**: Also sowas ähnliches wie `use 4 * r ^ 3`, aber ich kann
Dir leider nicht sagen, welche Zahl passt.
dir leider nicht sagen, welche Zahl passt.
"
"
Branch
Branch
rw [hr]
rw [hr]
Hint "**Robo**: Das geht auch, jetzt musst Du aber wirklich `use` verwenden."
Hint "**Robo**: Das geht auch, jetzt musst du aber wirklich `use` verwenden."
use 2 * r ^ 2
use 2 * r ^ 2
ring
ring
use 2 * r ^ 2
use 2 * r ^ 2
Hint "**Du**: Ah, und jetzt `ring`!
Hint "**Du**: Ah, und jetzt `ring`!
**Robo**: Aber zuerst musst Du noch mit
**Robo**: Aber zuerst musst du noch mit
`rw` `n` durch `r + r` ersetzen, da `ring` das sonst nicht weiß."
`rw` `n` durch `r + r` ersetzen, da `ring` das sonst nicht weiß."
Ich würde jetzt lieber mit `use` eine richtige Zahl angeben, und danach umschreiben."
Ich würde jetzt lieber mit `use` eine richtige Zahl angeben, und danach umschreiben."
Branch
Branch
use n + 2
use n + 2
Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst Du `←even_iff_not_odd` verwenden."
Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst du `←even_iff_not_odd` verwenden."
Branch
Branch
use n + 4
use n + 4
Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst Du `←even_iff_not_odd` verwenden."
Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst du `←even_iff_not_odd` verwenden."
use n
use n
Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst Du `←even_iff_not_odd` verwenden."
Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst du `←even_iff_not_odd` verwenden."
rw [←even_iff_not_odd]
rw [←even_iff_not_odd]
unfold Even
unfold Even
use n
use n
--ring
--ring
Conclusion "Die Formalosophinnen sind ganz begeistert.
Conclusion "Die Formalosophinnen sind ganz begeistert.
Nachdem sich der Beifall gelegt hat, hast Du auch einmal eine Frage.
Nachdem sich der Beifall gelegt hat, hast du auch einmal eine Frage.
**Du**: Kann uns hier irgendjemand vielleicht ein bisschen Orientierung im Formaloversum geben?
**Du**: Kann uns hier irgendjemand vielleicht ein bisschen Orientierung im Formaloversum geben?
@ -83,7 +83,7 @@ Nachdem sich der Beifall gelegt hat, hast Du auch einmal eine Frage.
Die Frage war wieder zu konkret. Betretenes Schweigen.
Die Frage war wieder zu konkret. Betretenes Schweigen.
**Robo**: Lass nur. Ich schlage vor, wir machen als nächstes einen Ausflug auf den Asteroiden da drüben. Und bevor Du fragst – hier ist wieder ein Überblick, was Du auf diesem Planeten gelernt hast.
**Robo**: Lass nur. Ich schlage vor, wir machen als nächstes einen Ausflug auf den Asteroiden da drüben. Und bevor du fragst – hier ist wieder ein Überblick, was du auf diesem Planeten gelernt hast.
Jon Eugster
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