even more fixes

(Ho capito cosa no funzionava nella pagina di tutorato ed era il type sbagliato, il problema non era qui)

README.md

@@ -1,58 +1,74 @@
 # Sito Tutorato Matematica
 
-Questo sito è realizzato in Astro e serve come supporto per il tutorato di matematica del corso di laurea in Matematica dell'Università di Pisa.
+Questo sito è realizzato in Astro e serve come supporto per il tutorato di
+matematica del corso di laurea in Matematica dell'Università di Pisa.
 
-
+## Per i Tutor
-## Per i tutors
 
 ### Accedere a Gitea
 
-Collegati a [Gitea](https://git.phc.dm.unipi.it/) e clicca sul tasto Sign in. Nella finestra clicca su
+Collegati a [Gitea](https://git.phc.dm.unipi.it/) e clicca sul tasto Sign in.
-Sign in With Google, e successivamente scrivi il tuo indirizzo email di ateneo
+Nella finestra clicca su Sign in With Google, e successivamente scrivi il tuo
-(ad esempio, nome.cognome@studenti.unipi.it), poi procedi con l'usuale login per i servizi di Ateneo.
+indirizzo email di ateneo (ad esempio, `nome.cognome@studenti.unipi.it`), poi
+procedi con l'usuale login per i servizi di Ateneo.
 
 ### Editare file
 
 Per potere modificare i file, è necessario chiedere ai Macchinisti di aggiornare
-i permessi del proprio account, passando in PHC o mandando una mail.
+i permessi del proprio account, passando in PHC o per mail.
 
 Entra nel [repository](https://git.phc.dm.unipi.it/phc/tutorato) e raggiungi la
-cartella tutorato/src/pages/archivio/[Anno corrente]. Qui troverai il file
+cartella `src/pages/archivio/[Anno corrente]`. Qui troverai il file relativo al
-relativo al tuo tutorato (o se non esiste, chiedi ai macchinisti), ad esempio
+tuo tutorato (se non esiste puoi crearlo usando uno degli altri come template), 
-quello relativo al corso di aritmetica è "aritmetica.md". 
+ad esempio quello relativo al corso di aritmetica è `aritmetica.md`.
+
 Cliccando sul file è possibile aprire l'editor di testo cliccando sulla matita
-in alto a destra (se tale icona non risulta cliccabile, contatta i macchinisti).
+in alto a destra (se non risulta cliccabile, contatta i macchinisti per farti 
+dare l'accesso).
 
-#### Scrivere in Latex
+#### Scrivere in LaTeX
 
-Il file del tutorato è in formato Markdown ([Guida alla sintassi Markdown](https://www.markdownguide.org/basic-syntax/)), 
+Il file del tutorato è in formato Markdown
+([Guida alla sintassi Markdown](https://www.markdownguide.org/basic-syntax/)),
 ed è possibile scrivere in LaTeX tramite KaTeX, il quale supporta molti degli
-usuali environments di LaTeX come, ad esempio, $ $ oppure $$ $$ oppure \[ \].
+usuali environments di LaTeX come, ad esempio `$...$` o `\(...\)` per l'ambiente
-Per famigliarizzarti con scrivere LaTeX in Markdown, vedi la pagina [esempio](https://git.phc.dm.unipi.it/phc/tutorato/src/branch/main/src/pages/archivio/2024-2025/esempio.md) 
+_inline_ oppure `$$...$$` o `\[...\]` per _display_.
-e [la lista dei simboli supportati da KaTeX](https://katex.org/docs/support_table).
+
+Per familiarizzarti con scrivere LaTeX in Markdown, vedi
+[la pagina di esempio](https://git.phc.dm.unipi.it/phc/tutorato/src/commit/b04d9ea/src/pages/archivio/2024-2025/esempio.md)
+e
+la lista dei [simboli supportati da KaTeX](https://katex.org/docs/support_table).
 
 #### Caricare files
 
-È anche possibile includere link di files nella pagina, spostandosi nella cartella
+È anche possibile includere link di files nella pagina, spostandosi nella
-"public/materiale/" e poi cliccando sul menu a tendina "add file".
+cartella `public/materiale/` e poi cliccando sul menu a tendina "_Add File_". A
-A questo punto puoi aggiungere un link alla pagina come
+questo punto puoi aggiungere un link alla pagina come ad esempio
 
 ```
 Tutorato del [13 ottobre 2023](/materiale/TutoratoAnalisi13102023.pdf).
 ```
 
+**Nota**: Il nome del file non deve contenere spazi o caratteri speciali, usa
+`_` o `-` al posto degli spazi.
+
 ### Editing da locale
 
-È anche possibile editare i file da locale con il proprio editor clonando il repository
+È anche possibile editare i file in locale sulla propria macchina, clonando il
-tramite git e facendo push/pull degli aggiornamenti. Per interagire con Gitea in
+repository tramite `git` e facendo push/pull degli aggiornamenti. Per interagire
-questo modo, la configurazione è analoga a quella di altri servizi come Github
+con Gitea in questo modo, la configurazione è analoga a quella di altri servizi
-o Gitlab.
+come Github o Gitlab (in caso di problemi, contattare i macchinisti).
 
-## Sviluppare
+## Preview in locale / Development
 
 Per sviluppare in locale è necessario avere installato Bun o NodeJS
 
 ```bash
+# con "bun"
 bun install
 bun dev
+
+# o con "nodejs/npm"
+npm install
+npm run dev
 ```

astro.config.mjs

@@ -1,4 +1,12 @@
-import { defineConfig } from 'astro/config';
+import { defineConfig } from 'astro/config'
+
+import remarkMath from 'remark-math'
+import rehypeKatex from 'rehype-katex'
 
 // https://astro.build/config
-export default defineConfig({});
+export default defineConfig({
+    markdown: {
+        remarkPlugins: [remarkMath],
+        rehypePlugins: [rehypeKatex],
+    },
+})

package.json

@@ -10,6 +10,8 @@
         "astro": "astro"
     },
     "dependencies": {
-        "astro": "4.15.10"
+        "astro": "4.15.10",
+        "rehype-katex": "^7.0.1",
+        "remark-math": "^6.0.0"
     }
 }

public/favicon.svg

@@ -1,13 +1,13 @@
 <!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN" "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
 <!-- Uploaded to: SVG Repo, www.svgrepo.com, Transformed by: SVG Repo Mixer Tools -->
 <svg width="64px" height="64px" viewBox="-66.56 -66.56 645.12 645.12" version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" fill="#ffffff" stroke="#ffffff" stroke-width="0.00512">
-
<g id="SVGRepo_bgCarrier" stroke-width="0" transform="translate(0,0), scale(1)">
+<g id="SVGRepo_bgCarrier" stroke-width="0" transform="translate(0,0), scale(1)">
-
<rect x="-66.56" y="-66.56" width="645.12" height="645.12" rx="96.76799999999999" fill="#ffffff" strokewidth="0"/>
+<rect x="-66.56" y="-66.56" width="645.12" height="645.12" rx="96.76799999999999" fill="#ffffff" strokewidth="0"/>
-
</g>
+</g>
-
<g id="SVGRepo_tracerCarrier" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke="#aa0000" stroke-width="9.216">
+<g id="SVGRepo_tracerCarrier" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke="#aa0000" stroke-width="9.216">
-
<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
+<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
-
</g>
+</g>
-
<g id="SVGRepo_iconCarrier">
+<g id="SVGRepo_iconCarrier">
-
<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
+<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
-
</g>
+</g>
-
</svg>
+</svg>

src/layouts/Base.astro

@@ -19,33 +19,20 @@ const { title, courses, selectedCourseLabel } = Astro.props
             integrity="sha384-nB0miv6/jRmo5UMMR1wu3Gz6NLsoTkbqJghGIsx//Rlm+ZU03BU6SQNC66uf4l5+"
             crossorigin="anonymous"
         />
-        <script
+
-            defer
-            src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.11/dist/katex.min.js"
-            integrity="sha384-7zkQWkzuo3B5mTepMUcHkMB5jZaolc2xDwL6VFqjFALcbeS9Ggm/Yr2r3Dy4lfFg"
-            crossorigin="anonymous"></script>
-        <script
-            defer
-            src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.11/dist/contrib/auto-render.min.js"
-            integrity="sha384-43gviWU0YVjaDtb/GhzOouOXtZMP/7XUzwPTstBeZFe/+rCMvRwr4yROQP43s0Xk"
-            crossorigin="anonymous"></script>
         <script>
-            document.addEventListener('DOMContentLoaded', function () {
+            // @ts-ignore
-                // @ts-ignore
+            window.goatcounter = {
-                renderMathInElement(document.body, {
+                path: function (p) {
-                    // customised options
+                    return location.host + p
-                    // • auto-render specific keys, e.g.:
+                },
-                    delimiters: [
+            }
-                        { left: '$$', right: '$$', display: true },
-                        { left: '$', right: '$', display: false },
-                        { left: '\\(', right: '\\)', display: false },
-                        { left: '\\[', right: '\\]', display: true },
-                    ],
-                    // • rendering keys, e.g.:
-                    throwOnError: false,
-                })
-            })
         </script>
+        <script
+            data-goatcounter="https://analytics.phc.dm.unipi.it/count"
+            async
+            src="//analytics.phc.dm.unipi.it/count.js"></script>
+
         <title>{title}</title>
     </head>
     <body>

src/pages/archivio/2024-2025/analisi-1.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Analisi 1
+tutors:
+    - name: Stefano Mannella
+      image: /tutors/stefano-mannella.jpg
+---

src/pages/archivio/2024-2025/aritmetica.md

@@ -0,0 +1,384 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Aritmetica
+tutors:
+    - name: Alessio Sgubin
+      image: /tutors/alessio-sgubin.jpg
+      contacts:
+          - type: website
+            value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin'
+    - name: Alessandro Fenu
+      image: /tutors/alessandro-fenu.jpg
+      contacts:
+          - type: email
+            value: a.fenu3@studenti.unipi.it
+          - type: website
+            value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu'
+---
+
+La prima metà del tutorato si è conclusa. Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo
+compitino.
+[Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni](/materiale/simulazione_secondo_compitino_aritmetica.pdf)
+
+---
+
+<h2> Esercizi Settimana del 16 dicembre </h2>
+
+Per consegnarli potete usare
+[questo Form](https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdRYHE4j_j28WXvL6kzqQ3LLuaiJl2QPg76fsS11Ucl871MLQ/viewform?usp=dialog).
+
+## Esercizio 1
+
+Sia $R$ un anello senza nilpotenti, ossia tale che se $x^n = 0$ per qualche $n$, allora
+necessariamente $x = 0$. Sappiamo inoltre che, per ogni $a, b \in R$, vale $(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$.
+Dimostrare che $R$ è commutativo.
+
+## Esercizio 2
+
+Consideriamo l'anello $A$ delle funzioni continue $[0, 1] \to \mathbb{R}$, dove la struttura di
+anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.
+
+Siano adesso, per $n \geq 2$, $f_1, \dots, f_n$ delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano
+tutte contemporaneamente.
+
+1. Mostrare che l'ideale da loro generato $(f_1, \dots, f_n)$ è tutto $A$.
+
+2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali $I \subset A$ e conseguentemente chi è il campo
+   $A/I$.
+
+## Esercizio 3
+
+Definiamo _caratteristica_ di un anello $A$ in maniera grezza come "il minimo numero $n$ tale che
+sommando $n$ volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a $0$". Tale
+caratteristica può essere $0$ quando $n$ è infinito (ossia non arrivo mai a $0$) oppure un numero
+positivo.
+
+Supponiamo adesso $A$ campo.
+
+1. Che valori può avere $n$?
+
+2. Esiste un campo con $n$ elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono
+   $\mathbb{F}_n \to A$? Questi oggetti si chiamano "_oggetti iniziali_" (in un appropriato
+   contesto).
+
+3. Cosa abbiamo usato di $A$ campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo
+   $A$ dominio.
+
+4. Esiste un dominio con $15$ elementi? E con $64$?
+
+## Esercizio 4
+
+L'unità immaginaria $i$ è contenuta nell'estensione dei razionali $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$? E
+$\sqrt{5}$ in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$?
+
+## Esercizio 5
+
+Quanti polinomi irriducibili di grado $n$ esistono nell'anello $\mathbb{F}_p[x]$?
+
+---
+
+## Soluzioni Esercizi del 16 dicembre
+
+Qui le [soluzioni](/materiale/soluzioni_esercizi_16dicembre.pdf).
+
+## Tutorato 8 gennaio.
+
+**Es.1**
+
+Sia $p$ primo. Preso $P(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\dots\cdot (x-(p-1))$ per quali primi $p$ vale
+$a_1\equiv 0 \operatorname{mod} p^2$?
+
+**Es.2**
+
+Calcolare il numero di elementi di ordine $12$ in $\mathbb{Z}_{56}$ e $\mathbb{Z}_{377}$.
+
+**Es.3**
+
+Per quali $n\in \mathbb{N}$ il polinomio $x^{2n}+x^n+1$ è divisibile per $x^2+x+1$ in
+$\mathbb{Q}[x]$?
+
+**Es.4**
+
+Sia $\alpha=2+\sqrt{5+\sqrt{-5}}\in \mathbb{C}$. Determinare i gradi
+$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ e $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$.
+
+**Es.5**
+
+Sia $f(x)=x^4+3x^3+x+1$. Calcolare il grado del campo di spezzamento su $\mathbb{F}_{2^k}$ e
+$\mathbb{F}_{3^k}$. Inoltre detta $\alpha\in\mathbb{C}$ una qualsiasi radice di $f(x)$, calcolare
+$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$.
+
+## Tutorato 15 gennaio
+
+**Es.1**
+
+Dimostrare che $x^4+1$ è riducibile in $\mathbb{F}_p$ per ogni $p$ primo.
+
+**Es.2**
+
+Risolvere il sistema di congruenze
+
+$$
+\begin{cases}
+    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
+    x^{22} +2x\equiv 30 \mod{22}.
+\end{cases}
+$$
+
+**Es.3**
+
+Dimostrare che $x^4+x^2-x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
+
+**Es.4**
+
+Sia $G$ gruppo tale che tutti i suoi sottogruppi normali abbiano indice infinito. Sia ora $F$ un
+sottogruppo **finito** normale di $G$. Dimostrare che $Z(G)$ sta nel centro.
+
+**Es.5**
+
+Esercizio popolare (per lavorare di più con i gruppi): sia $G$ un gruppo di cardinalità $p^n$ per
+qualche $n$ ed $H$ un suo sottogruppo proprio. Dimostrare che il normalizzatore di $H$ contiene
+strettamente $H$.
+
+**Es.6**
+
+Determinare quanti sono i sottogruppi di $S_4$, di $S_5$ e di $S_6$ di cardinalità $9$.
+
+## Tutorato 29 gennaio
+
+**Es.1**
+
+Definiamo $\sigma(n)$ come la somma di tutti i divisori positivi di $n\in \mathbb{N}_{>0}$.
+Determinare le soluzioni all'equazione $$\ 3\cdot \sigma(n)=4\cdot n -17.$$
+
+**Es.2**
+
+Determinare tutte le coppie $(n, h)\in \mathbb{N}^2$ tale che esistano omomorfismi **non banali** da
+$S_n$ ad un gruppo di cardinalità $h$.
+
+**Es.3**
+
+Fattorizzare $x^3+2x+1$ nel campo di spezzamento di $x^4+4$ su $\mathbb{F}_3$.
+
+**Es.4**
+
+Descrivere il centralizzatore dell'elemento $(1234)(567)(89)$ in $S_9$. Dire la cardinalità del
+normalizzatore di $\langle (1234)(567)(89) \rangle$ in $S_9$.
+
+## Soluzioni primo scritto di Aritmetica
+
+### Esercizio 1
+
+Consideriamo la successione definita da $a_1=2, a_2=2$ e $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ per ogni
+$n\geq 3$.
+
+-   **a.** Dimostrare che $a_n$ è un multiplo di $12$ per ogni $n\geq 4$.
+
+-   **b.** Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ vale $a_n\geq \sqrt{n!}$.
+
+**Soluzione a.**
+
+Procediamo per _induzione forte_ su $n$: assumendo che $a_k$ sia divisibile per $12$ per ogni
+$4\leq k<n$ dimostriamo che $a_n$ è divisibile per $12$.
+
+-   **Passo base:** verifichiamo che $a_4$ ed $a_5$ siano multipli di $12$. Per computazione
+    diretta, $a_3=6, a_4=12, a_5=36$, da cui segue il passo base.
+
+-   **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $4\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
+    Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>5$. Scrivendo la ricorsione
+    $$
+    a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
+    $$
+    si nota che $a_{n-1}$ ed $a_{n-2}$ sono entrambi multipli di $12$ per ipotesi induttiva forte,
+    in quanto $n-1, n-2$ sono entrambi maggiori o uguali a $4$ (ricordiamo $n>5$) e chiaramente
+    strettamente minori di $n$. Allora $a_n$ è combinazione di due multipli di $12$ ed è multiplo di
+    $12$.
+
+Abbiamo concluso il passo induttivo e dunque dimostrato che $a_k$ è sempre multiplo di $12$ per ogni
+$k\geq 4$.
+
+**Soluzione b.**
+
+Procediamo nuovamente per induzione forte su $n$. Notiamo preliminarmente che per ogni $n\geq 2$
+vale la disuguaglianza $1+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{n}$: elevando al quadrato è equivalente (per
+positività di ambo i membri) a $n+2\sqrt{n-1}\geq n$ ossia a $2\sqrt{n-1}\geq 0$, chiaramente
+verificata.
+
+-   **Passo base:** dal testo $a_1\geq \sqrt{1}, a_2\geq \sqrt{2}$ seguono.
+
+-   **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $1\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
+    Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>2$. Scrivendo la ricorsione
+
+    $$
+    a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
+    $$
+
+    otteniamo immediatamente $a_n\geq \sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}$ (abbiamo sostituito
+    l'ipotesi induttiva dato che $n-1, n-2$ sono entrambi $\geq 1$) che possiamo esprimere come
+    $$a_n\geq\sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}=\sqrt{(n-1)!}\cdot(1+\sqrt{n-1}).$$
+
+    Applicando l'osservazione iniziale, il membro di destra è maggiore o uguale a
+    $\sqrt{(n-1)!}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n!}$ e dunque
+
+    $$
+    a_n\geq \sqrt{n!}
+    $$
+
+che conclude il passo induttivo e dimostra la tesi.
+
+### Esercizio 2
+
+Trovare tutte le soluzioni intere del sistema
+
+$$
+\begin{cases}
+    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
+    x^{22}+2x\equiv 30 \mod{22}
+\end{cases}
+$$
+
+**Soluzione.** Risolviamo entrambe le equazioni e poi mettiamo a sistema le soluzioni. La prima
+equazione è equivalente al sistema
+
+$$
+\begin{cases}
+    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{4}\\
+    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{7}
+\end{cases}
+$$
+
+Per la prima equazione, basta notare che le potenze di $3$ ciclano modulo $4$ ogni $2$:
+$3^0\equiv 1, 3^1\equiv -1, 3^2\equiv 1,\dots$ come assicurato dal teorema di Eulero-Fermat.
+L'equazione è verificata allora per tutti gli $x$ tali che $x^2-1$ sia dispari $\Rightarrow x$ pari.
+Analogamente per la seconda equazione: il teorema di Eulero-Fermat ci garantisce che le potenze di
+$3$ modulo $7$ si ripetano ogni $6$ pertanto basta calcolare
+$3^0\equiv 1, 3^1\equiv 3, 3^2\equiv 2, 3^3\equiv -1, 3^4\equiv 4, 3^5\equiv -2, 3^5\equiv 1$. La
+seconda equazione sarà allora soddisfatta per tutti e soli gli interi $x$ con
+$x^2-1\equiv 3\mod{6}$, ossia (per verifica diretta <!-- footnote --> (Importante: una semplice
+applicazione del teorema di Eulero-Fermat non ci garantisce una corretta risoluzione dell'equazione.
+I (pochi) conti ci hanno assicurato che $3$ genera $(\mathbb{Z}_7)^*$)) $x\equiv 2, 4\mod{6}$.
+Intersecando le soluzioni trovate, otteniamo che $x\equiv 2, 4\mod{6}$ è la soluzione di questo
+primo sistema.
+
+La seconda equazione del testo è equivalente al sistema
+
+$$
+\begin{cases}
+    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{2}\\
+    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{11}
+\end{cases}
+$$
+
+Dalla prima, si ottiene $x$ pari (nuovamente), per la seconda possiamo usare il teorema di
+Eulero-Fermat che ci garantisce $x^{11}\equiv x^1\mod{11}$ e sostituire $x^{22}$ con $x^2$. Abbiamo
+ora $x^2+2x\equiv 8 \mod{11}$ e dunque
+$(x-2)(x+4)\equiv 0 \mod{11}\Rightarrow x\equiv2, -4 \mod{11}$ dato che $\mathbb{Z}_{11}$ è un
+campo.
+
+Intersecando tutte le soluzioni ottenute abbiamo i $4$ sistemi
+
+$$
+\begin{cases}
+    x\equiv 2, 4 \mod{6}\\
+    x\equiv 2, -4 \mod{11}
+\end{cases}
+$$
+
+Per il Teorema Cinese del Resto sappiamo che ognuno dei $4$ sistemi ammette una e una sola
+soluzione, che possiamo trovare a mano aggiungendo $2$ e togliendo $4$ ai primi sei multipli di
+$11$. Le soluzioni finali saranno $x\equiv 2, 40, 46, 62\mod{66}$.
+
+### Esercizio 3
+
+Dire se il polinomio $p(x)=x^4+ x^2 - x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
+
+**Soluzione.** Per il criterio della radice razionale, se questo polinomio fosse diviso da un
+fattore di grado $1$ avrebbe una radice razionale con numeratore che divide $2$ e denominatore che
+divide $1$ (il termine di testa). Per verifica diretta, $1, -1, 2, -2$ non sono radici pertanto il
+nostro polinomio non è diviso da nessun fattore di grado $1$.
+
+Rimangono due possibilità: o è un prodotto di due fattori di grado $2$ irriducibili oppure è
+irriducibile.
+
+Se fosse $p(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $g$ ed $h$ di grado $2$, allora proiettando tutto tramite
+$\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_3 [x]$ otterremo una fattorizzazione di $p(x)$ in
+$\mathbb{Z}_3[x]$ in fattori di grado al più $2$.
+
+Questo è un assurdo: in $\mathbb{Z}_3[x]$ abbiamo $x^4+x^2-x+2=(x-1)(x^3+x^2+2x+1)$ e il fattore di
+grado $3$ è irriducibile visto che non ha radici. Pertanto la fattorizzazione in $\mathbb{Z}[x]$ non
+può avere fattori irriducibili di grado tutti minori di $3$.
+
+L'unica possibilità rimasta è che $p(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ e abbiamo concluso.
+
+**Conclusione alternativa.** Per escludere che $p(x)$ sia prodotto di due fattori irriducibili di
+grado $2$ possiamo anche procedere diversamente. Una tale fattorizzazione sarebbe della forma
+$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2-x+2$ e svolgendo tutti i prodotti ed eguagliando i coefficienti
+otteniamo un sistema che non ha soluzione in $\mathbb{Q}$.
+
+### Esercizio 4
+
+Sia $Y$ l'insieme costituito dai sottogruppi di $S_5$ che hanno $4$ elementi.
+
+1. Quanti sottogruppi ciclici ci sono in $Y$?
+2. Consideriamo $\sigma=(1, 2, 3, 4)$. Quanti elementi ha il centralizzatore $C(\sigma)$?
+3. Quanti sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ci sono in $Y$?
+4. Per ogni $K\in Y$ consideriamo il suo normalizzatore $N(K)=\{g\in S_5 | gKg^{-1}=K\}$ (assumiamo
+   noto il fatto che il normalizzatore sia a sua volta un sottogruppo di $S_5$). Dire se fra questi
+   normalizzatori ce ne sono alcuni (e se ce ne sono specificare quanti sono) isomorfi a uno dei
+   seguenti gruppi: $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, D_4, A_4, S_4, A_5, S_5$.
+
+**Soluzione (1).** Per contare sottogruppi ciclici di ordine $4$ possiamo contare gli elementi di
+ordine $4$ e dividere per $\varphi(4)=2$ (il numero di generatori per ogni sottogruppo). Gli
+elementi di ordine $4$ in $S_5$ sono tutti e soli i $4-$cicli: dalla teoria sappiamo che sono
+${{5}\choose{4}}\cdot 3!$ e dunque la risposta è $15$.
+
+**Soluzione (2).** Sappiamo che la cardinalità del centralizzatore di $\sigma$ in $S_5$ corrisponde
+(per la formula Orbita-Stabilizzatore) a $|S_5|/|{\text{classe di coniugio di }\sigma}|$. Inoltre la
+classe di coniugio di $\sigma$ è fatta da tutti e soli i $4$-cicli in $S_5$ che per il conto
+precedente sono $30$. La risposta è allora $120/30=4$. Possiamo notare anche che
+$1, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ ci appartengono e sono pertanto tutti e soli gli elementi del
+centralizzatore.
+
+**Soluzione (3).** Dato che $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ è generato da due qualsiasi dei suoi
+elementi di grado $2$ (distinti), ci basta contare le coppie (ordinate) di elementi di grado $2$ che
+commutano in $S_5$ e poi dividere per $6$ (il numero di modi di scegliere una coppia ordinata di
+generatori in $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$).
+
+Per fare il conto procediamo cosi: notiamo che gli elementi di ordine $2$ sono $2-$cicli e
+$2+2-$cicli. Il centralizzatore di un $2$-ciclo contiene $6$ elementi di ordine $2$ distinti dal
+$2-$ciclo di partenza (basta fare il conto con $(12)$) mentre un $2+2-$ciclo ne contiene altri $4$
+(basta fare il conto con $(12)(34)$). Pertanto il numero di coppie ordinate di elementi di ordine
+$2$ che commutano in $S_5$ è
+$\text{numero di 2-cicli}\cdot 6 + \text{numero di 2+2-cicli}\cdot 4=120$. Dividendo per $6$
+otteniamo $\boxed{20}$ che è la risposta corretta.
+
+**Soluzione (4).** Cominciamo osservando che, per la formula orbita-stabilizzatore, il
+normalizzatore di un $4$-ciclo (e dunque dello $\mathbb{Z}_4$ che genera) ha cardinalità
+$5!/\{\text{suoi coniugati}\}$ ed i suoi coniugati sono tutti e soli gli elementi contati al punto
+$(1)$. Il normalizzatore ha cardinalità $8$. Esibiamo due modi per capire chi è. Senza perdita di
+generalità supponiamo che il gruppo sia $\langle (1234) \rangle$. Possiamo imporre
+$g(1234)g^{-1}=(1234)^i$ per $i=0, 1, 2, 3$ e determinare a mano tutti gli $8$ elementi (in questa
+maniera abbiamo mostrato un altro modo per capirne la cardinalità): otteniamo una copia di $D_4$ sui
+vertici $\{1, 2, 3, 4\}$.
+
+Alternativamente potevamo osservare che il $D_4\subset S_5$ sui vertici $\{1, 2, 3, 4\}$ di sicuro
+normalizza $\langle (1234) \rangle$ in quanto esso genera un sottogruppo di indice $2$ dentro $D_4$.
+D'altronde, per il conto iniziale il normalizzatore ha cardinalità proprio $8$ e dunque non contiene
+nient'altro oltre a $D_4$. Con questo ragionamento abbiamo appena esibito $\boxed{15}$
+normalizzatori isomorfi a $D_4$, uno per ogni <!-- footnote --> (Tutte queste copie sono distinte
+dato che dentro un $D_4$ esiste un solo gruppo di ordine $4$) gruppo ciclico dentro $Y$.
+
+Dobbiamo contare i normalizzatori dei rimanenti sottogruppi dentro $Y$, ossia le varie copie di
+$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$.
+
+Dal punto $(3)$ abbiamo scoperto che esistono due copie non coniugate di
+$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ dentro $S_5$: i generati da due cicli disgiunti
+$\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ che sono $15$ (tutti coniugati tra loro) e i generati da
+due $2+2$-cicli $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ che sono $5$ (tutti coniugati tra
+loro). Per gli stessi conti di prima (entrambe le strade funzionano) abbiamo che il normalizzatore
+di $\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ ha cardinalità $8$ ed è dunque un $D_4$, mentre il
+normalizzatore di $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ ha cardinalità $24$. Sarà
+pertanto la copia di $S_4\subset S_5$ dato che ha la giusta cardinalità (è un fatto noto che $S_4$
+normalizzi il _gruppo di Klein_). Di queste copie ne abbiamo $\boxed{5}$ distinte.
+
+Abbiamo concluso.

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@@ -1,59 +0,0 @@
----
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-title: Esempio # e.g. "Analisi 1"
-tutors:
-- name: Nome Cognome 1
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----
-
-Durante le ore di tutorato proveremo innanzitutto a rispondere alle domande ed ai dubbi che possono essere sorti in classe.
-
-Siete caldamente invitati a dare un'occhio alla [raccolta di esercizi](https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_Page/ArchivioDidattico.html) del professor Gobbino, che contiene sfide per tutti i gusti e livelli di difficoltà (sia di teoria che di calculus).
-
-Infine, ricordo a tutt\* che, nel caso in cui sorgesse un qualche piccolo dubbio improssivo ed impellente, gli studenti più grandi (me compreso) sono sempre felici di dare una mano, é una realtà di cui andiamo abbastanza fieri, quindi non abbiate paura di chiedere!
-
-## Esercizi da consegnare
-
-Per quanto riguarda le lezioni di recupero, ho preparato qualche esercizio tipo che potete svolgere e consegnare. Mi raccomando la forma, sia dal punto di vista matematico che da quello grafico!
-
--[Prima consegna](/materiale/EserciziTutorato.pdf)
-
-E delle cose con del latex:
-
-**Tutorato 1:**
-
-- dal libro, es. 10, 12, 16, 17, 19;
-
-- mostrate che $\mathbb{Z}/d$, per $d$ dispari, non è isomorfo al gruppo di automorfismi $\text{Aut}(G)$ di alcun gruppo finito $G$;
-
-- sia $G$ un gruppo che agisce _transitivamente_ su un insieme $X$ (i.e., c'è una sola orbita), e sia $N$ un sottogruppo normale di $G$. Dimostrate che
-
-    - se $x,y\in X$, $\text{stab}_G(x)$ e $\text{stab}_G(y)$ sono coniugati;
-
-    - l'azione di $N$ su $X$ non è necessariamente transitiva;
-
-    - le orbite dell'azione di $N$ su $X$ hanno tutte la stessa cardinalità.
-
-## Pdf dei Tutorati svolti
-
-In questa sezione ho intenzione di caricare i pdf dei tutorati svolti. Non scriverò ogni singolo esercizio, mi limiterò a quelli che ritengo più importanti e/o istruttivi. Non abbiate paura di farmi notare eventuali errori e/o imprecisioni! Riguardo allo stile, soprattutto all'inizio tenterò di essere il più chiaro possibile, quindi non temete, durante un compito non vi verrà mai richiesto di dare così tanti dettagli. 
-
-- Tutorato del [13 ottobre 2023](/materiale/TutoratoAnalisi13102023.pdf).
-
-- Tutorato del [20 ottobre 2023](/materiale/TutoratoAnalisi2010.pdf).
-
-- Tutorato del [1 dicembre 2023](/materiale/LezioneNumeriComplessi.pdf).
-
-- Tutorato del [19 gennaio 2024](/materiale/Tutorato1901.pdf).

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@@ -0,0 +1,9 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Geometria 1
+tutors:
+    - name: Leonardo Migliorini
+      contacts:
+          - type: website
+            value: https://poisson.phc.dm.unipi.it/~lmigliorini/
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@@ -15,10 +15,10 @@ Venire a tutorato è utilissimo per darvi un'idea più chiara del vostro livello
 
 ## Orario
 
-|  | Lun | Mar | Mer | Gio | Ven |
+|       | Lun                    | Mar                    | Mer   | Gio   | Ven                    |
-|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
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+| 11-13 | Alla Pari <br> Aula 2 |                        |       |       |                        |
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