\section { Estensioni algebriche di \texorpdfstring { $ \KK $ } { K} }
\subsection { Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
Si definisce adesso il concetto di \textit { omomorfismo di
valutazione} , che impiegheremo successivamente nello
studio dei quozienti $ \KKx / ( f ( x ) ) $ e dei cosiddetti
\textit { elementi algebrici} (o \textit { trascendenti} ).
\begin { definition}
Sia $ B $ un anello commutativo, e sia $ A \subseteq B $ un suo
sottoanello. Si definisce \textbf { omomorfismo di valutazione} di
$ \alpha \in B $ in $ A $ l'omomorfismo:
\[ \valalpha : A [ x ] \to B, \, f ( x ) \mapsto f ( \alpha ) . \]
\end { definition}
\begin { remark*}
L'omomorfismo di valutazione è effettivamente un omomorfismo
di anelli. Innanzitutto $ \valalpha ( 1 ) = 1 $ . Inoltre vale
la linearità:
\begin { multline*}
\valalpha (f(x))+\valalpha (g(x))=f(\alpha )+g(\alpha )=
(f+g)(\alpha )=\valalpha ((f+g)(x))=\\ =\valalpha (f(x)+g(x)),
\end { multline*}
così come la moltiplicatività:
\begin { multline*}
\valalpha (f(x))\valalpha (g(x))=f(\alpha )g(\alpha )=
(fg)(\alpha )=\valalpha ((fg)(x))=\valalpha (f(x)g(x)).
\end { multline*}
\vskip 0.1in
\end { remark*}
Si evidenziano adesso le principali proprietà di tale
omomorfismo.
\begin { proposition}
\label { prop:imm_ valalpha}
$ \Imm \valalpha = A [ \alpha ] $
\end { proposition}
\begin { proof} Sicuramente $ \Imm \valalpha \subseteq A [ \alpha ] $ ,
dacché ogni immagine di $ \valalpha $ è una valutazione di un
polinomio a coefficienti in $ A $ in $ \alpha $ . \\
Sia dunque $ a = a _ n \alpha ^ n + \ldots + a _ 0 \in A [ \alpha ] $ . Allora
$ \valalpha ( a _ n x ^ n + \ldots + a _ 0 ) = a $ . Pertanto $ a \in \Imm
\valalpha $ , da cui $ A[\alpha ] \in \Imm \valalpha $ . \\
Poiché vale la doppia inclusione, si desume che $ \Imm \valalpha =
A[\alpha ]$ .
\end { proof}
Prima di applicare il \textit { Primo teorema d'isomorfismo} , si
distinguono due importanti casi, sui quali si baseranno le
definizioni di \textit { elemento algebrico} e di
\textit { elemento trascendente} .
\begin { definition}
Sia $ \alpha \in B $ . Se $ \Ker \valalpha = ( 0 ) $ , allora si
dice che $ \alpha $ è un \textbf { elemento trascendente} di
$ B $ su $ A $ .
\end { definition}
\begin { remark*}
Equivalentemente, se $ \alpha \in B $ è trascendente su $ A $ ,
significa che non vi è alcun polinomio non nullo in $ A [ x ] $ che ha $ \alpha $
come soluzione.
\end { remark*}
\begin { example}
Per esempio, il numero di Nepero-Eulero $ e $ è trascendente su $ \QQx $ \footnote { Per una dimostrazione di questo fatto, si
guardi a \cite [pp.~234-237] { herstein2010algebra} } . Quindi
$ \Ker \varphi _ e = ( 0 ) $ , e dunque, dal \textit { Primo teorema di
isomorfismo} , vale che:
\[ \QQx \cong \QQx / ( 0 ) \cong \QQ [ e ] . \]
\end { example}
Possiamo generalizzare questo esempio nel seguente teorema.
\begin { theorem}
\label { th:isomorfismo_ trascendente}
Sia $ B $ un campo e sia $ A \subseteq B $ un suo sottoanello.
Se $ \alpha \in B $ è trascendente su $ A $ , allora vale
la seguente relazione:
\[ A [ x ] \cong A [ \alpha ] . \]
\end { theorem}
\begin { proof}
Si consideri l'omomorfismo $ \valalpha $ . Dacché $ \alpha $ è
trascendente, $ \Ker \valalpha = ( 0 ) $ . Allora, combinando
il \textit { Primo teorema di isomorfismo} con la
\textit { Proposizione \ref { prop:imm_ valalpha} } , si ottiene
proprio $ A [ x ] \cong A [ x ] / ( 0 ) \cong A [ \alpha ] $ , ossia la tesi.
\end { proof}
\begin { definition}
Sia $ \alpha \in B $ . Se $ \Ker \valalpha \neq ( 0 ) $ , allora si
dice che $ \alpha $ è un \textbf { elemento algebrico} di
$ B $ su $ A $ , mentre il generatore monico\footnote { Vi potrebbero
essere infatti più generatori di $ \Ker \valalpha $ , sebbene
tutti associati tra loro. L'attributo \textit { monico} garantisce
così l'unicità del polinomio minimo.} non nullo di $ \Ker \valalpha $ si
dice \textbf { polinomio minimo} di $ \alpha $ su $ A $ . Il grado
di tale polinomio minimo è detto \textbf { grado di} $ \alpha $ .
\end { definition}
\begin { remark*}
Equivalentemente, se $ \alpha \in B $ è trascendente su $ A $ ,
significa che esiste un polinomio non nullo in $ A [ x ] $ che ha $ \alpha $ come
soluzione. In particolare, ogni polinomio in $ A [ x ] $ che ha
$ \alpha $ come soluzione è un multiplo del suo polinomio
minimo su $ A $ .
\end { remark*}
\begin { example}
Sia $ \alpha \in A $ . Allora $ \alpha $ è banalmente un elemento
algebrico su $ A $ , il cui polinomio minimo è $ x - \alpha $ . Vale
dunque che $ \Ker \valalpha = ( x - \alpha ) $ , da cui, secondo
il \textit { Primo teorema di isomorfismo} , si ricava che:
\[ A [ x ] / ( x - \alpha ) \cong A [ \alpha ] \cong A. \]
\end { example}
\begin { example}
$ i \in \CC $ è un elemento algebrico su $ \RR $ . Infatti, si
consideri $ \varphi _ i $ : poiché $ i $ è soluzione di $ x ^ 2 + 1 $ ,
si ha che $ x ^ 2 + 1 \in \Ker \varphi _ i $ , che è quindi non vuoto. \\
Inoltre, dal momento che $ x ^ 2 + 1 $ è irriducibile in $ \RR [ x ] $ ,
esso è generatore di
$ \Ker \varphi _ i $ . Inoltre, poiché monico, è anche il
polinomio minimo di $ i $ su $ \RR $ . \\
Allora, poiché dalla \textit { Proposizione
\ref { prop:imm_ valalpha} } $ \Imm \varphi _ i = \RR [ i ] $ , si deduce dal \textit { Primo teorema di isomorfismo} che:
\[ \RRx / ( x ^ 2 + 1 ) \cong \RR [ i ] \cong \CC . \]
\end { example}
Ancora una volta possiamo generalizzare questo esempio con il
seguente teorema.
\begin { theorem}
\label { th:isomorfismo_ algebrico}
Sia $ B $ un campo e sia $ A \subseteq B $ un suo sottoanello.
Se $ \alpha \in B $ è algebrico su $ A $ , allora, detto
$ f ( x ) $ il polinomio minimo di $ \alpha $ , vale
la seguente relazione:
\[ A [ x ] / ( f ( x ) ) \cong A [ \alpha ] . \]
\end { theorem}
\begin { proof}
Si consideri l'omomorfismo $ \valalpha $ . Dacché $ \Ker \valalpha
= (f(x))$ per definizione di polinomio minimo, combinando
il \textit { Primo teorema di isomorfismo} con la
\textit { Proposizione \ref { prop:imm_ valalpha} } , si ottiene
proprio $ A [ x ] / ( f ( x ) ) \cong A [ \alpha ] $ , ossia la tesi.
\end { proof}
\begin { definition}
Sia $ B $ un campo e sia $ A \subseteq B $ un suo sottoanello. Allora,
dato $ \alpha \in B $ ,
si definisce con la notazione $ A ( \alpha ) $ il
sottocampo di $ B $ che contiene $ A $ e $ \alpha $ che
sia minimale rispetto all'inclusione.
\end { definition}
\begin { remark*}
Le notazioni $ \KK ( \alpha , \beta ) $ e $ \KK ( \alpha ) ( \beta ) $ sono equivalenti.
\end { remark*}
\begin { proposition}
Sia $ B $ un campo e sia $ A \subseteq B $ un suo sottoanello.
Se $ \alpha \in B $ è algebrico su $ A $ , allora $ A ( \alpha ) = A [ \alpha ] $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Se $ \alpha $ è algebrico, allora $ \Ker \valalpha = ( f ( x ) ) \neq ( 0 ) $ ,
dove $ f ( x ) \in A [ x ] $ è irriducibile. Pertanto, per
il \textit { Teorema \ref { th:campo_ quoziente_ irriducibile} } ,
$ A [ x ] / ( f ( x ) ) $ è un campo. \\
Dunque dal \textit { Teorema \ref { th:isomorfismo_ algebrico} } si
ricava che:
\[ A [ x ] / ( f ( x ) ) \cong A [ \alpha ] . \]
\vskip 0.1in
Pertanto $ A [ \alpha ] $ è un campo. Dacché $ A [ \alpha ] \subseteq A ( \alpha ) $ e $ A ( \alpha ) $ è minimale rispetto all'inclusione,
si deduce che $ A [ \alpha ] = A ( \alpha ) $ , ossia la tesi.
\end { proof}
\begin { remark*}
Il teorema che è stato appena enunciato non vale per
gli elementi trascendenti. Infatti, $ A [ \alpha ] $ sarebbe
isomorfo a $ A [ x ] $ , che non è un campo. Al contrario
$ A ( \alpha ) $ è un campo, per definizione.
\end { remark*}
\begin { proposition}
Sia $ B $ un campo e sia $ A \subseteq B $ un suo sottoanello.
Se $ \alpha $ , $ \beta \in B $ sono algebrici su $ A $ e condividono
lo stesso polinomio minimo, allora $ A [ \alpha ] \cong A [ \beta ] $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Sia $ f ( x ) $ il polinomio minimo di $ \alpha $ e $ \beta $ .
Dal \textit { Primo teorema di isomorfismo} e dalla
\textit { Proposizione \ref { prop:imm_ valalpha} } si
desume che $ A [ x ] / ( f ( x ) ) \cong A [ \alpha ] $ . Analogamente
si ricava che $ A [ x ] / ( f ( x ) ) \cong A [ \beta ] $ . Pertanto
$ A [ \alpha ] \cong A [ \beta ] $ .
\end { proof}
\subsection { Teorema delle torri ed estensioni algebriche}
\begin { definition}
Siano $ A \subseteq B $ campi. Allora si denota come
$ [ B : A ] $ la dimensione dello spazio vettoriale $ B $
costruito su $ A $ , ossia $ \dim B _ A $ . Tale dimensione è detta \textbf { grado
dell'estensione} .
\end { definition}
\begin { theorem} [\textit { Teorema delle torri algebriche} ]
\label { th:torri}
Siano $ A \subseteq B \subseteq C $ campi. Allora:
\[ [ C : A ] = [ C : B ] [ B : A ] . \]
\vskip 0.1in
\end { theorem}
\begin { proof}
Siano $ [ C : B ] = m $ e $ [ B : A ] = n $ . Sia
$ \BB _ C = ( a _ 1 , \ldots , a _ m ) $ una base
di $ C $ su $ B $ , e sia $ \BB _ B = ( b _ 1 , \ldots , b _ n ) $ una
base di $ B $ su $ A $ . \\
Si dimostra che la seguente è una base di $ C $ su $ A $ :
\[ \BB _ A \BB _ B = \{ a _ 1 b _ 1 , \ldots , a _ 1 b _ n, \ldots , a _ mb _ n \} . \]
\vskip 0.1in
\ (i) $ \BB _ C \BB _ B $ genera $ A $ su $ C $ . \\
Sia $ c \in C $ . Allora si può descrivere $ a $ nel seguente
modo:
\[ c = \sum _ { i = 1 } ^ m \beta _ i a _ i, \quad \text { con } \beta _ i \in B, \; \forall 1 \leq i \leq m. \]
A sua volta, allora, si può descrivere ogni $ \beta _ i $ nel
seguente modo:
\[ \beta _ i = \sum _ { j = 1 } ^ n \gamma _ j ^ { ( i ) } b _ j, \quad \text { con }
\gamma _ j^ { (i)} \in A, \; \forall 1 \leq j \leq n.\]
\vskip 0.1in
Combinando le due equazioni, si verifica che $ \BB _ C \BB _ B $ genera $ C $ su $ A $ :
\[ c = \sum _ { i = 1 } ^ m \sum _ { j = 1 } ^ n \gamma _ j ^ { ( i ) } b _ j a _ i, \quad \text { con } \gamma _ j ^ { ( i ) } \in A, \; \forall 1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq n. \]
\vskip 0.1in
\ (ii) $ \BB _ C \BB _ B $ è linearmente indipendente. \\
Si consideri l'equazione:
\[ \sum _ { i = 1 } ^ m \sum _ { j = 1 } ^ n \gamma _ j ^ { ( i ) } b _ j a _ i = 0 , \quad \text { con } \gamma _ j ^ { ( i ) } \in A, \; \forall 1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq n . \]
Poiché $ \BB _ C $ è linearmente indipendente, si deduce
che:
\[ \sum _ { j = 1 } ^ n \gamma _ j ^ { ( i ) } b _ j = 0 , \; \forall 1 \leq i \leq m. \]
Tuttavia, $ \BB _ B $ è a sua volta linearmente indipendente,
e quindi $ \gamma _ j ^ { ( i ) } = 0 $ , $ \forall i, j $ . Dunque
$ \BB _ C \BB _ B $ è linearmente indipendente. \\
Dal momento che $ \BB _ C \BB _ B $ è linearmente indipendente e
genera $ C $ su $ A $ , consegue che essa sia una base di $ C $ su
$ A $ . Quindi $ [ C : A ] = mn = [ C : B ] [ B : A ] $ , da cui la tesi.
\end { proof}
\begin { definition}
Siano $ A \subseteq B $ campi. Se $ [ B : A ] \neq \infty $ , allora
si dice che $ BA $ è un'\textbf { estensione finita} di $ A $ .
Altrimenti si dice che $ B $ è un'\textbf { estensione infinita}
di $ A $ .
\end { definition}
\begin { proposition}
\label { prop:estensione_ finita}
Siano $ A \subseteq B \subseteq C $ campi. Allora, se $ C $ è
un'estensione finita di $ A $ , anche $ B $ lo è. Inoltre
$ C $ è un'estensione finita di $ B $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Dal momento che $ B $ è un sottospazio dello spazio vettoriale
$ C $ costruito su $ A $ , e questo ha dimensione finita,
anche $ B $ su $ A $ ha dimensione finita. Quindi $ [ B : A ] \neq
\infty $ , e $ B$ è dunque un'estensione finita di $ A$ . \\
Infine, dacché una base di $ C $ su $ A $ è un generatore finito
di $ C $ su $ B $ , si deduce che $ [ C : B ] \neq \infty $ , e quindi
che $ C $ è un'estensione finita di $ B $ .
\end { proof}
\begin { theorem}
\label { th:estensione_ algebrica}
Siano $ A \subseteq B $ campi. Allora $ a \in B $ è
algebrico su $ A $ se e solo se $ [ A ( a ) : A ] \neq \infty $ ,
ossia solo se $ A ( a ) $ è un'estensione finita di $ A $ .
\end { theorem}
\begin { proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
($ \implies $ )\; Se $ a \in B $ è algebrico su $ A $ , allora
dal \textit { Teorema \ref { th:isomorfismo_ algebrico} } si ricava che:
\[ A [ x ] / ( f ( x ) ) \cong A [ a ] \cong A ( a ) . \]
\vskip 0.1in
Dacché $ A [ x ] / ( f ( x ) ) $ ha dimensione finita, anche $ A ( a ) $
ha dimensione finita, e quindi è un'estensione finita
di $ A $ . \\
($ \, \Longleftarrow \, \, $ )\; Sia $ A ( a ) $ un'estensione
finita di $ A $ e sia $ [ A ( a ) : A ] = m $ . Allora $ I = ( 1 , a, a ^ 2 , \ldots , a ^ m ) $ è linearmente dipendente, dal momento che contiene
$ m + 1 $ elementi. Quindi esiste una sequenza finita non nulla
$ ( \alpha _ i ) _ { i = \, 0 \to m } $ con elementi in $ A $ tale che:
\[ \alpha _ m a ^ m + \ldots + \alpha _ 2 a ^ 2 + \alpha _ 1 a + \alpha _ 0 = 0 . \]
Quindi $ a $ è soluzione del polinomio:
\[ f ( x ) = \alpha _ m x ^ m + \ldots + \alpha _ 2 x ^ 2 + \alpha _ 1 x + \alpha _ 0 \in A [ x ] , \]
\vskip 0.1in
pertanto $ a $ è algebrico su $ A $ , da cui la tesi.
\end { proof}
\begin { definition}
Siano $ A \subseteq B $ campi. Allora si dice che $ B $ è
un'\textbf { estensione algebrica} di $ A $ se ogni elemento
di $ B $ è algebrico su $ A $ .
\end { definition}
\begin { proposition}
\label { prop:estensione_ finita_ algebrica}
Siano $ A \subseteq B $ campi. Se $ B $ è un'estensione finita
di $ A $ , allora $ B $ è una sua estensione algebrica.
\end { proposition}
\begin { proof}
Sia $ \alpha \in B $ e si consideri la catena di campi $ A \subseteq A ( \alpha )
\subseteq B$ . Dacché $ [B : A] \neq \infty $ , per la \propref { prop:estensione _ finita }
anche $ [ A ( \alpha ) : A ] \neq \infty $ . Pertanto, dal \thref { th:estensione_ algebrica} , $ \alpha $ è algebrico. Così tutti gli elementi
di $ B $ sono algebrici in $ A $ , e dunque, per definizione, $ B $ è un'estensione
algebrica di $ A $ .
\end { proof}
\begin { theorem}
\label { th:somma_ prodotto_ algebrici}
Siano $ A \subseteq B $ campi e siano $ \beta _ 1 $ , $ \beta _ 2 $ , $ \ldots $ , $ \beta _ n $
elementi algebrici di $ B $ su $ A $ , con $ n \geq 1 $ .
Allora $ [ A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ n ) : A ] \neq \infty $ .
\end { theorem}
\begin { proof} Si procede applicando il principio di induzione su $ n $ . \\
\ (\textit { passo base} ) La tesi è verificata per il \thref { th:estensione_ algebrica} . \, \\
\ (\textit { passo induttivo} ) Per l'ipotesi induttiva, si sa che
$ [ A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ { n - 1 } ) : A ] \neq \infty $ . \\
Poiché $ \beta _ n $ è algebrico su $ A $ , sin da subito si osserva
che $ [ A ( \beta _ n ) : A ] \neq \infty $ per il \thref { th:estensione_ algebrica} .
Sia allora $ f ( x ) $ il polinomio minimo di $ \beta _ n $ appartenente a
$ A [ x ] $ . Esso è un polinomio che ammette $ \beta _ n $ come radice
anche in $ A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ { n - 1 } ) [ x ] $ , e quindi
$ \Ker \varphi _ { \beta _ n } \neq ( 0 ) $ ammette un generatore
$ p ( x ) $ , che divide $ f ( x ) $ . Si ottiene pertanto la seguente
disuguaglianza:
\[ [ A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ { n - 1 } ) ( \beta _ n ) : A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ { n - 1 } ) ] = \deg p ( x ) \leq
\deg f(x) = [A(\beta _ n) : A]. \]
\vskip 0.1in
Poiché $ [ A ( \beta _ n ) : A ] $ è finito, anche $ [ A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ { n - 1 } ) ( \beta _ n ) : A ( \beta _ 1 , \beta _ 2 , \ldots , \beta _ { n - 1 } ) ] $ lo è. \\
Combinando i due risultati, si ottiene con il \nameref { th:torri} che:
\begin { multline*}
[A(\beta _ 1, \beta _ 2, \ldots , \beta _ n) : A] = [A(\beta _ 1, \beta _ 2, \ldots , \beta _ { n-1} )(\beta _ n) : A(\beta _ 1, \beta _ 2, \ldots , \beta _ { n-1} )] \\ \cdot [A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1}) : A] \neq \infty ,
\end { multline*}
da cui la tesi.
\, \\
\end { proof}
\begin { corollary}
\label { cor:estensione_ algebrica_ due_ elementi}
Siano $ A \subseteq B $ campi e siano $ \alpha $ , $ \beta \in B $ elementi
algebrici su $ A $ . Allora $ A ( \alpha , \beta ) $ è un'estensione algebrica.
\end { corollary}
\begin { proof}
Dal \thref { th:somma_ prodotto_ algebrici} si ricava che $ [ A ( \alpha , \beta ) : A ] \neq
\infty $ . Quindi $ A(\alpha , \beta )$ è un'estensione finita di $ A$ , ed in quanto
tale, per la \propref { prop:estensione_ finita_ algebrica} , essa è algebrica.
\end { proof}
\begin { remark*}
Esistono estensioni algebriche che hanno grado infinito. Un
esempio notevole è $ \mathcal { A } $ , l'insieme dei numeri algebrici di $ \CC $
su $ \QQ $ . Infatti, si ponga $ [ \mathcal { A } : \QQ ] = n - 1 \in \NN $ e si
consideri $ x ^ n - 2 $ . Dal momento che per il \textit { Criterio di Eisenstein}
tale polinomio è irriducibile, si ricava che $ [ \QQ ( \nsqrt { n } { 2 } ) : \QQ ] = n $ . \\
Poiché $ \nsqrt { n } { 2 } $ è algebrico, si deduce che $ \QQ ( \nsqrt { n } { 2 } ) \subseteq
\mathcal { A} $ , dal momento che per il \corref { cor:estensione _ algebrica _ due _ elementi } ogni elemento di $ \QQ (\nsqrt { n} { 2} )$ è algebrico su $ \QQ $ .
Tuttavia questo è un assurdo dal momento che
$ \QQ ( \nsqrt { n } { 2 } ) $ ha
dimensione maggiore di $ \mathcal { A } $ , di cui è sottospazio vettoriale.
\end { remark*}
\begin { proposition}
\label { prop:alpha_ quadro}
Siano $ A \subseteq B $ campi e sia $ \alpha \in B $ . Se $ [ A ( \alpha ) : A ] $
è dispari, allora $ A ( \alpha ^ 2 ) = A ( \alpha ) $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Innanzitutto, si osserva che $ A ( \alpha ^ 2 ) \subseteq A ( \alpha ) $ , ossia
che $ A ( \alpha ) $ è un'estensione di $ A ( \alpha ^ 2 ) $ . Grazie a questa
osservazione è possibile considerare il grado di $ A ( \alpha ) $ su
$ A ( \alpha ^ 2 ) $ , ossia $ [ A ( \alpha ) : A ( \alpha ^ 2 ) ] $ . Poiché $ \alpha $ è
radice del polinomio $ x ^ 2 - \alpha ^ 2 $ in $ A ( \alpha ^ 2 ) $ , si deduce
che tale grado è al più $ 2 $ . \\
Si applichi il \nameref { th:torri} alla catena di estensioni
$ A \subseteq A ( \alpha ^ 2 ) \subseteq A ( \alpha ) $ :
\[ [ A ( \alpha ) : A ] = \underbrace { [ A ( \alpha ) : A ( \alpha ^ 2 ) ] } _ { \leq 2 } [ A ( \alpha ^ 2 ) : A ] . \]
\vskip 0.1in
Se $ [ A ( \alpha ) : A ( \alpha ^ 2 ) ] $ fosse $ 2 $ , $ [ A ( \alpha ) : A ] $ sarebbe
pari, \Lightning { } . Pertanto $ [ A ( \alpha ) : A ( \alpha ^ 2 ) ] = 1 $ , da
cui si ricava che $ [ A ( \alpha ) : A ] = [ A ( \alpha ^ 2 ) : A ] $ , ossia
che $ A ( \alpha ^ 2 ) $ ha la stessa dimensione di $ A ( \alpha ) $ su $ A $ . \\
Dal momento che $ A ( \alpha ^ 2 ) $ è un sottospazio vettoriale di $ A ( \alpha ) $ ,
avere la sua stessa dimensione equivale a coincidere con lo spazio
stesso. Si conclude allora che $ A ( \alpha ^ 2 ) = A ( \alpha ) $ .
\end { proof}
\begin { remark*}
Si osserva che la \propref { prop:alpha_ quadro} si può generalizzare
facilmente ad un esponente $ n $ qualsiasi, finché sia data come ipotesi
la non divisibilità di $ [ A ( \alpha ) : A ] $ per nessun numero primo
minore o uguale di $ n $ . \\
Si può infatti considerare, per
la dimostrazione generale, il polinomio $ x ^ n - \alpha ^ n $ , la cui
esistenza implica che $ [ A ( \alpha ) : A ( \alpha ^ n ) ] $ sia minore
o uguale di $ n $ .
\end { remark*}
\begin { theorem}
Siano $ A \subseteq B \subseteq C $ campi. Se $ B $ è un'estensione algebrica di $ A $
e $ C $ è un'estensione algebrica di $ B $ , allora $ C $ è un'estensione algebrica di
$ A $ .
\end { theorem}
\begin { proof}
Per mostrare che $ C $ è un'estensione algebrica di $ A $ , verificheremo che
ogni suo elemento è algebrico in $ A $ . Sia dunque $ c \in C $ . \\
Poiché per ipotesi $ c $ è algebrico su $ B $ , esiste un polinomio $ f ( x ) \in B [ x ] $
tale che $ c $ ne sia radice. Sia $ f ( x ) $ il polinomio minimo di $ c $ su $ B $ ,
descritto come:
\[ f ( x ) = b _ 0 + b _ 1 x + \ldots + b _ n x ^ n, \quad n = [ B ( c ) : B ] . \]
\vskip 0.1in
Dacché $ B $ è un'estensione algebrica di $ A $ , ogni coefficiente $ b _ i $ di $ f ( x ) $ è
algebrico su $ A $ , ossia $ [ A ( b _ i ) : A ] \neq \infty $ . Allora, per il
\thref { th:somma_ prodotto_ algebrici} , $ [ A ( b _ 0 , \ldots , b _ n ) : A ] \neq \infty $ .
\\
Anche $ [ A ( c, b _ 0 , \ldots , b _ n ) : A ( b _ 0 , \ldots , b _ n ) ] \neq \infty $ , dal
momento che $ c $ è soluzione di $ f ( x ) \in A ( b _ 0 , \ldots , b _ n ) [ x ] $ . \\
Allora, per il \nameref { th:torri} , $ [ A ( c, b _ 0 , \ldots , b _ n ) : A ] = [ A ( c, b _ 0 ,
\ldots , b_ n) : A(b_ 0, \ldots , b_ n)][A(b_ 0, \ldots , b_ n) : A] \neq \infty $ .
Quindi $ A ( c, b _ 0 , \ldots , b _ n ) $ è un'estensione finita di $ A $ . \\
Poiché $ A \subseteq A ( c ) \subseteq A ( c, b _ 0 , \ldots , b _ n ) $ è una
catena di estensione di campi, per la \propref { prop:estensione_ finita} ,
$ A ( c ) $ è un'estensione finita di $ A $ , ed in quanto tale, per
la \propref { prop:estensione_ finita_ algebrica} , è anche algebrica. Quindi
$ c $ è algebrico su $ A $ , da cui la tesi.
\end { proof}
\begin { theorem}
\label { th:esistenza_ spezzamento}
Sia $ A $ un campo, e sia $ f ( x ) \in A [ x ] $ .
Allora esiste sempre un estensione di $ A $ in cui siano
contenute tutte le radici di $ f ( x ) $ .
\end { theorem}
\begin { proof}
Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
grado di $ f ( X ) $ . \\
\ (\textit { passo base} ) \, Sia $ \deg f ( x ) = 0 $ . Allora $ A $ stesso è un
campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
\ (\textit { passo induttivo} ) \, Sia $ \deg f ( x ) = n $ . Sia $ f _ 1 ( x ) $ un
irriducibile di $ f ( x ) $ e sia $ \gamma ( x ) \in A [ x ] $ tale che
$ f ( x ) = f _ 1 ( x ) \gamma ( x ) $ . Allora, per il \thref { th:campo_ quoziente_ irriducibile}
$ A [ x ] / ( f _ 1 ( x ) ) $ è un campo, in cui, per la \propref { prop:radice_ quoziente} ,
$ f _ 1 ( x ) $ ammette radice. \\
Poiché $ \deg \gamma ( x ) < n $ , per il passo induttivo
esiste un campo $ C $ che estende $ A [ x ] / ( f _ 1 ( x ) ) $ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $ C $ contiene $ A [ x ] / ( f _ 1 ( x ) ) $ , sia le radici
di $ f _ 1 ( x ) $ che di $ \gamma ( x ) $ risiedono in $ C $ . Tuttavia queste sono
tutte le radici di $ f ( x ) $ , si conclude che $ C $ , che è un'estensione di $ A [ x ] / ( f _ 1 ( x ) ) $ , e quindi anche di $ A $ , è il campo ricercato.
\end { proof}
\subsection { Campi di spezzamento di un polinomio}
Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit { campo di spezzamento} .
\begin { definition}
Si definisce \textbf { campo di spezzamento} di un polinomio $ f ( x ) \in A [ x ] $ un
campo $ C $ con le seguenti caratteristiche:
\begin { itemize}
\item $ f ( x ) $ si fattorizza in $ C [ x ] $ come prodotto di irriducibili di
primo grado (i.e. in $ C [ x ] $ risiedono tutte le radici di $ f ( x ) $ ),
\item Se $ B $ è un campo tale che $ A \subseteq B \subsetneq C $ , allora
$ f ( x ) $ non si fattorizza in $ B [ x ] $ come prodotto di irriducibili di
primo grado.
\end { itemize}
\end { definition}
\begin { remark*}
Per il \thref { th:esistenza_ spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
\end { remark*}
\begin { remark*}
In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
isomorfi tra loro\footnote { Per la dimostrazione di questo risultato
si rimanda a TODO} .
\end { remark*}
\begin { theorem}
Sia $ A $ un campo e sia $ B \supseteq A $ un campo di spezzamento
di $ f ( x ) \in A [ x ] $ su $ A $ , con $ f ( x ) $ non costante. Sia $ \deg f ( x ) = n $ .
Allora $ [ B : A ] \leq n ! $ .
\end { theorem}
\begin { proof}
Siano $ \lambda _ 1 $ , $ \lambda _ 2 , \, \ldots , $ $ \lambda _ n $ le radici
di $ f ( x ) $ . Allora $ [ \KK ( \lambda _ 1 ) : \KK ] \leq n $ , dacché
$ \lambda _ 1 $ è radice di $ f ( x ) $ . \\
Sia ora $ f ( x ) = ( x - \lambda _ 1 ) g ( x ) $ , con $ \deg g ( x ) = n - 1 $ . Sicuramente
$ \lambda _ 2 $ è radice di $ g ( x ) $ , pertanto $ [ \KK ( \lambda _ 1 , \lambda _ 2 ) : \KK ( \lambda _ 1 ) ] \leq n - 1 $ . Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref { th:torri} :
\[ [ \KK ( \lambda _ 1 , \ldots , \lambda _ n ) : \KK ] = [ \KK ( \lambda _ 1 , \ldots , \lambda _ n ) : \KK ( \lambda _ 1 , \ldots , \lambda _ { n - 1 } ) ] \cdots [ \KK ( \lambda _ 1 ) : \KK ] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n ! , \]
\vskip 0.1in
da cui la tesi.
\end { proof}
