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feat(algebrario): aggiunge il teorema cinese del resto
This commit is contained in:
@@ -490,3 +490,156 @@ euclidei.
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verificando la tesi.
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\end{proof}
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\subsection{Il teorema cinese del resto}
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Il noto \nameref{th:cinese} è un risultato più generale di quanto
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si sia visto nel contesto dell'aritmetica modulare. Difatti, esso è
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applicabile in forma estesa a tutti gli anelli euclidei, non solo ai
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numeri interi (che comunque rimangono un esempio classico di anello euclideo). \\
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\begin{lemma}
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\label{lem:pre_cinese}
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Sia $a$ un elemento riducibile di un anello euclideo $E$ e
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sia $a=bc$, dove $\MCD(b, c) \in E^*$. Allora vale
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il seguente isomorfismo:
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\[ A/(a) \cong A/(b) \times A/(c). \]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Si consideri la funzione $\pi$ definita nel seguente
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modo:
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\[ \pi : A/(a) \to A/(b) \times A/(c),\,e + (a) \mapsto (e + (b), e + (c)). \]
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\vskip 0.1in
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Si verifica che $\pi$ è un omomorfismo. Infatti
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$\pi(1 + (a)) = (1 + (b), 1 + (c))$. \\
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Siano $e$, $k \in A$. Allora
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$\pi$ soddisfa la linearità:
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\begin{multline*}
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\pi\Bigl(\bigl(e + (a)\bigr) + \bigl(k + (a)\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(e + k + (a)\bigr) =
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||||
\bigl(e + k + (b), e + k + (c)\bigr) =
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||||
\bigl(e + (b), e + (c)\bigr) + \\ \bigl(k + (b), k + (c)\bigr) = \pi\bigl(e + (a)\bigr) +
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\pi\bigl(k + (a)\bigr).
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\end{multline*}
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\vskip 0.1in
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e la moltiplicatività:
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\begin{multline*}
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\pi\Bigl(\bigl(e + (a)\bigr) \cdot \bigl(k + (a)\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(ek + (a)\bigr) =
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||||
\bigl(ek + (b), ek + (c)\bigr) =
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||||
\bigl(e + (b), e + (c)\bigr) \cdot \\ \bigl(k + (b), k + (c)\bigr) = \pi\bigl(e + (a)\bigr) \cdot
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\pi\bigl(k + (a)\bigr).
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\end{multline*}
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\vskip 0.1in
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Si studia $\Ker \pi$ per dimostrare l'iniettività di $\pi$.
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Si pone dunque $\pi\bigl(e + (a)\bigr) = \bigl(0 + (b), 0 + (c)\bigr)$.
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Questa condizione è equivalente ad asserire che sia $b$ che $c$ dividano
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$e$. \\
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Sia allora $k \in E$ tale che $e=bk$. Dal momento che $c$ divide $e$, si
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$e$ divide $bk$. Allora, dacché per ipotesi $\MCD(a, b) \in E^*$, per la
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\propref{prop:divisione_gcd} $c$ divide $k$. Quindi esiste $j \in E$ tale che
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$k=cj$. In particolare, unendo le due condizioni si ottiene
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$e=bk=bcj=aj$. Pertanto $a$ divide $e$, da cui si deduce che $e + (a)$
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è equivalente a $0 + (a)$. Allora, poiché $\Ker \pi = (0)$, $\pi$ è un
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monomorfismo. \\
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Si studia invece adesso la surgettività di $\pi$. Siano $\alpha$,
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$\beta \in E$. Si pone dunque $\pi\bigl(e + (a)\bigr) =
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\bigl(\alpha + (b), \beta + (c)\bigr)$. Questa condizione è equivalente
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al seguente sistema:
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\[ \begin{cases} e = \alpha + bk, \\ e = \beta + cj, \end{cases} \quad \text{con } k, j \in E. \]
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\vskip 0.1in
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Unendo le due condizioni si ottiene la seguente equazione:
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\[ \alpha + bk = \beta + cj \iff cj - bk = \alpha - \beta. \]
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\vskip 0.1in
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Si consideri ora $d = \MCD(b, c)$. Per l'\nameref{th:bezout} esistono
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$x$, $y$ tali che:
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\[ cx+by=d, \]
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\vskip 0.1in
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da cui si ricava che:
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\[ (\alpha-\beta)(cx + by) = (\alpha-\beta)d \implies cxd\inv(\alpha-\beta)+byd\inv(\alpha-\beta)=\alpha-\beta, \]
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\vskip 0.1in
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ponendo allora $j=xd\inv(\alpha-\beta)$ e $k=-yd\inv(\alpha-\beta)$
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si ricava una possibile soluzione per $e$. Quindi
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$\pi$ è un epimorfismo. \\
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Poiché $\pi$ è sia un monomorfismo che un epimorfismo, si conclude
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che $\pi$ è un isomorfismo, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[\textit{Teorema cinese del resto}]
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\label{th:cinese}
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Sia $a$ un elemento di un anello euclideo $A$ e sia
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$p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_n^{m_n}$ una sua fattorizzazione
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in irriducibili non associati.
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Allora vale il seguente isomorfismo:
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\[ A/(a) \cong A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_n^{m_n}). \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione su $n$,
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il numero di fattori irriducibili distinti che appaiono
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nella fattorizzazione di $a$. \\
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\,(\textit{passo base}) \, Se $a$ consta di un solo fattore irriducibile,
|
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allora banalmente $A/(a) \cong A/(p_1^{m_1})$. \\
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\,(\textit{passo induttivo}) \, Possiamo riscrivere $a$ come
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il prodotto di $(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}})$ e di
|
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$p_n^{m_n}$. \\
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Si nota innanzitutto che $d = \MCD(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}, p_n^{m_n})$
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è un invertibile. Se così non fosse, infatti, si potrebbe
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considerare un irriducibile $q$ della fattorizzazione di $d$:
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tale $q$, in quanto primo per il \thref{th:irriducibili_primi},
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deve dividere un $p_j$ con $1 \leq j \leq n-1$, così
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come deve dividere $p_n$. Allora $p_j$ e $q$ sono associati,
|
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così come $q$ e $p_n$. Dunque anche $p_j$ e $p_n$ sono associati.
|
||||
Tuttavia questo è un assurdo, dal momento che per ipotesi
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la fattorizzazione di $a$ include irriducibili distinti e
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non associati, \Lightning{}. \\
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Allora dal \lemref{lem:pre_cinese} si ricava che:
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\[ A/(a) \cong A/(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}) \times A/(p_n^{m_n}), \]
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\vskip 0.1in
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mentre dal passo induttivo si sa già che:
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\[ A/(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}) \cong A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_{n-1}^{m_{n-1}}). \]
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\vskip 0.1in
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Pertanto, unendo le due informazioni, si verifica la tesi:
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\[ A/(a) \cong
|
||||
A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_{n-1}^{m_{n-1}}) \times A/(p_n^{m_n}). \]
|
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\end{proof}
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||||
@@ -519,4 +519,79 @@ seguente teorema.
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$A(c)$ è un'estensione finita di $A$, ed in quanto tale, per
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la \propref{prop:estensione_finita_algebrica}, è anche algebrica. Quindi
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$c$ è algebrico su $A$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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||||
\end{proof}
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\begin{theorem}
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||||
\label{th:esistenza_spezzamento}
|
||||
Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
|
||||
Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
|
||||
contenute tutte le radici di $f(x)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
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\begin{proof}
|
||||
Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
|
||||
grado di $f(X)$. \\
|
||||
|
||||
\ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
|
||||
campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
|
||||
|
||||
\ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
|
||||
irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
|
||||
$f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
|
||||
$A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
|
||||
$f_1(x)$ ammette radice. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
|
||||
esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
|
||||
di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
|
||||
tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Campi di spezzamento di un polinomio}
|
||||
|
||||
Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
|
||||
campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
||||
primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
|
||||
\item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
|
||||
$f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
||||
primo grado.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
|
||||
di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
|
||||
isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
|
||||
si rimanda a TODO}.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $A$ un campo e sia $B \supseteq A$ un campo di spezzamento
|
||||
di $f(x) \in A[x]$ su $A$, con $f(x)$ non costante. Sia $\deg f(x) = n$.
|
||||
Allora $[B : A] \leq n!$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Siano $\lambda_1$, $\lambda_2,\,\ldots,$ $\lambda_n$ le radici
|
||||
di $f(x)$. Allora $[\KK(\lambda_1) : \KK] \leq n$, dacché
|
||||
$\lambda_1$ è radice di $f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Sia ora $f(x)=(x-\lambda_1)g(x)$, con $\deg g(x) = n-1$. Sicuramente
|
||||
$\lambda_2$ è radice di $g(x)$, pertanto $[\KK(\lambda_1, \lambda_2) : \KK(\lambda_1)] \leq n-1$. Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref{th:torri}:
|
||||
|
||||
\[ [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK] = [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})] \cdots [\KK(\lambda_1) : \KK] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n!, \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
@@ -1,75 +0,0 @@
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||||
\section{Campi di spezzamento}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:esistenza_spezzamento}
|
||||
Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
|
||||
Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
|
||||
contenute tutte le radici di $f(x)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
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||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
|
||||
grado di $f(X)$. \\
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||||
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||||
\ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
|
||||
campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
|
||||
|
||||
\ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
|
||||
irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
|
||||
$f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
|
||||
$A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
|
||||
$f_1(x)$ ammette radice. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
|
||||
esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
|
||||
di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
|
||||
tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
|
||||
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||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
|
||||
campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
||||
primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
|
||||
\item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
|
||||
$f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
||||
primo grado.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
|
||||
di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
|
||||
isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
|
||||
si rimanda a TODO}.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
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||||
\begin{theorem}
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||||
Sia $A$ un campo e sia $B \supseteq A$ un campo di spezzamento
|
||||
di $f(x) \in A[x]$ su $A$, con $f(x)$ non costante. Sia $\deg f(x) = n$.
|
||||
Allora $[B : A] \leq n!$.
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||||
\end{theorem}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Siano $\lambda_1$, $\lambda_2,\,\ldots,$ $\lambda_n$ le radici
|
||||
di $f(x)$. Allora $[\KK(\lambda_1) : \KK] \leq n$, dacché
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||||
$\lambda_1$ è radice di $f(x)$. \\
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||||
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||||
Sia ora $f(x)=(x-\lambda_1)g(x)$, con $\deg g(x) = n-1$. Sicuramente
|
||||
$\lambda_2$ è radice di $g(x)$, pertanto $[\KK(\lambda_1, \lambda_2) : \KK(\lambda_1)] \leq n-1$. Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref{th:torri}:
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||||
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||||
\[ [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK] = [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})] \cdots [\KK(\lambda_1) : \KK] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n!, \]
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\vskip 0.1in
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da cui la tesi.
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\end{proof}
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+1
-1
@@ -1,4 +1,4 @@
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\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[]}}
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||||
\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
|
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Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
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fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
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Binary file not shown.
@@ -90,25 +90,19 @@
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\thispagestyle{empty}
|
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~\newpage
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|
||||
\include{8. Campi di spezzamento}
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\include{8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
~\newpage
|
||||
|
||||
\include{9. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
|
||||
\include{9. Introduzione a teoria dei campi}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
~\newpage
|
||||
|
||||
\include{10. Introduzione a teoria dei campi}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
~\newpage
|
||||
|
||||
\include{11. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
|
||||
\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
|
||||
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