feat: aggiunge parzialmente gli appunti del 23/03/2023

Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.tex

@@ -0,0 +1,144 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{21 marzo 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Analogie tra i limiti di funzioni e i limiti di successioni}
+	\end{center}
+	
+	\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
+		specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
+		dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
+		sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
+	\end{note}
+	
+	\begin{exercise}
+		Dati $f : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione di $X$
+		tale che $\forall \, (x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ vale che
+		$f(x_n)$ converge. Allora il limite di $f(x_n)$ è sempre lo stesso.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{exercise}
+		Data $(x_n) \subseteq \RR$, definisco $f : \NN \to \RRbar$ tale
+		che $f(n) := x_n$, $\forall n \in \NN$. Allora $f(n) \tendston L \iff x_n \tendston L$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f : X \to \RRbar$, $\xbar \in X$ punto di accumulazione
+		di $X$. Allora sono fatti equivalenti i seguenti:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f(x) \tendsto{\xbar} L$,
+			\item $f$ è continua in $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano le due implicazioni separatamente.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\xbar$ è un punto isolato di $X$, allora $f$ è continua
+		in $\xbar$. Pertanto per rendere la proposizione precedente
+		vera, è necessario ipotizzare che $\xbar$ sia un punto
+		di accumulazione (infatti il limite in un punto isolato
+		non esiste per definizione, mentre in tale punto $f$ è
+		continua).
+	\end{remark}
+
+	\begin{exercise}
+		Siano $f : X \to \RR$  e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$.
+		Siano $L \in \RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ tale
+		che:
+		
+		\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
+			L & \text{se } x = \xbar, \\
+			f(x) & \text{altrimenti}.
+		\end{cases} \]
+	
+		\vskip 0.05in
+	
+		Allora $f(x) \tendsto{\xbar} L \iff \tilde{f}$ è continua in $\xbar$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{remark}
+		Tutte le funzioni elementari (e.g.~$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\exp(x)$, $\ln(x)$, $\abs{x}$, polinomi) sono funzioni continue nel loro insieme
+		di definizione.
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Date $f : X \to Y \subseteq \RRbar$ e $g : Y \to \RRbar$. Sia
+		$f$ continua in $\xbar$ e sia $g$ continua in $f(\xbar)$. Allora
+		$g \circ f$ è continua in $\xbar$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $I$ un intorno di $z = g(f(\xbar))$. Allora, poiché $g$ è continua
+		in $f(\xbar)$, $\exists J$ intorno di $f(\xbar)$ $\mid g(J) \subseteq
+		I$. Tuttavia, poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\exists K$ intorno
+		di $\xbar$ $\mid f(K) \subseteq J$, da cui si conclude che
+		$g(f(K)) \subseteq g(J) \subseteq I$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $f : X \to Y \subseteq \RRbar$, sia $\xbar$ punto di
+		accumulazione di $X$ tale che $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$.
+		Se $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$, $\ybar \in Y \implies
+		g$ continua in $\ybar$ e $g : Y \to \RRbar$
+		è tale che $g(y) \tendstoy{\ybar} \zbar$, allora
+		$g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		
+	\end{proof}
+
+	\begin{exercise}
+		Mostrare che tutte le ipotesi della proposizione precedente sono necessarie, fornendo alcuni controesempi.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{proposition}
+		Date $f_1, f_2 : X \to \RR$ continue in $\xbar$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f_1 + f_2$ è continua in $\xbar$,
+			\item $f_1 f_2$ è continua in $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $f := f_1 + f_2$.
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$,
+			$\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta
+			\implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}, \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq \eps$ (per ogni $\eps > 0$, si prende $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni
+			di $\xbar$). Allora $\abs{f(x) - f(\xbar)} \leq
+			\abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} + \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq 2\eps$.
+			Si conclude dunque che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0
+			\mid \abs{f(x) - f(\xbar)} \leq 2\eps$, e quindi, poiché
+			$2\eps \tends{\eps \to 0} 0$, che $f$ è continua in $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Date $f_1, f_2 : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione
+		di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f_1(x) = L_1 \in \RR$ e
+		$\lim_{x \to \xbar} f_2(x) = L_2 \in \RR$, allora valgono
+		i seguenti risultati:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$,
+			\item $f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+\end{document}

Fisica I/2023-03-23/main.tex

@@ -0,0 +1,89 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[physics]{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{22 marzo 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
+	\end{center}
+
+	\begin{definition}
+		Una forza $\vec{F}(\vec{r})$ si dice \textit{conservativa} se
+		il lavoro effettuato da tale forza tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso,
+		qualsiasi sia la traiettoria che li congiunge, ordinata da $A$ a
+		$B$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		Data $f : \RR^3 \to \RR$ nelle variabili $x$, $y$ e $z$, si definisce \textit{gradiente} come
+		il vettore $\vec{\nabla}f = (\frac{\del f}{\del x}, \frac{\del f}{\del y}, \frac{\del f}{\del z})$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Sia $U(x, y, z)$ l'energia potenziale, e sia $\vec{F}$ conservativa.	
+		Poiché $dL = - dU$, $dL = \vec{F} \cdot d\vec{r} =
+		F_x dx + F_y dy + F_z dz$ e $dU = \frac{\del U}{\del x} dx +
+		\frac{\del U}{\del y} dy + \frac{\del U}{\del z} dz$, si
+		ricava che:
+		
+		\[ \vec{F} = - \vec{\nabla} U  \]
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Si definisce \textit{rotore} di un vettore $\vec{F}$ la seguente quantità:
+		
+		
+		\[\vec{\nabla} \times \vec{F} = \rot \vec{F} = \det \Matrix{\ihat & \jhat & \khat \\ \parx & \pary & \parz \\ \parx F_x & \pary F_y & \parz F_z}.\]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Se la forza è conservativa, per il teorema di Schwarz le
+		derivate parziali miste in $\grad \times \vec{F}$ commutano, e
+		quindi $\grad \times \vec{F} = \vec{0}$
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		In sintesi, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item la forza $\vec{F}$ è conservativa,
+			\item $L_{\gamma(A,B)} (\vec{F})$ non dipende da $\gamma$,
+			ma solo da $A$ e $B$,
+			\item $\oint_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0$.
+		\end{enumerate}
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\vec{F} = \vec{a} + \vec{b}$, dove $\vec{a}$ è conservativa,
+		allora, per il teorema dell'energia cinetica, $L_{\gamma(P_0, P)} =
+		K_P - K_{P_0}$. Pertanto, grazie all'additività del lavoro,
+		si può ricavare che:
+		
+		\[ L_{\gamma(P_0, P)} \vec{F} = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
+		
+		Poiché $\vec{a}$ è conservativa, $L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} = U_{P_0} - U_P$, e quindi, se $\Delta K = 0$:
+		
+		\[ \Delta U =  L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b} \implies U_P = U_{P_0} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
+	\end{remark}
+
+	Supponiamo che $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}$ sia la
+	somma di sole forze conservative su un corpo di massa $m$.
+	Allora ad ogni forza $\vec{F_i}$ possiamo associare un'energia
+	potenziale $U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)} = - L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i})$,
+	da cui $\Delta U = U_P - U_{P_0} = \sum_{i=1}^N \left[U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)}\right] = -L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i}) = K_{P_0} - K_P = -\Delta K$. \\
+	
+	Sia $E = K + U$, detta energia meccanica, allora si ricava che $\Delta E = 0$. Infatti, in presenza di forze conservative, $\frac{dE}{dt} = 0$.
+	Altrimenti $\Delta E = L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{b})$.
+
+	\begin{example}
+		Se si è in presenza di un campo uniforme (ossia dove $\vec{F}(\vec{r}) = \vec{f}$, $\forall \vec{r}$), il rotore è nullo, e quindi la
+		forza è conservativa (e.g.~la forza peso).
+	\end{example}
+\end{document}

tex/latex/style/personal_commands.sty

@@ -9,6 +9,7 @@
 \usepackage{stmaryrd}
 \usepackage{marvosym}
 \usepackage{float}
+\usepackage{enumerate}
 
 \hfuzz=\maxdimen
 \tolerance=10000
@@ -25,7 +26,9 @@
 
 \newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
 
+\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}}
 \newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}}
 \newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
 
 \setlength\parindent{0pt}
@@ -45,6 +48,18 @@
 \newcommand{\del}{\partial}
 \newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}}
 
+\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}}
+\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
+
+\newcommand{\ihat}{\hat{i}}
+\newcommand{\jhat}{\hat{j}}
+\newcommand{\khat}{\hat{k}}
+
+\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}}
+\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}}
+\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}}
+\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}}
+
 % Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
 %\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}}
 \newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}}
@@ -55,6 +70,8 @@
 \newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
 
 \newcommand{\xbar}{\overline{x}}
+\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
+\newcommand{\zbar}{\overline{z}}
 \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
 
 % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.