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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{21 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Analogie tra i limiti di funzioni e i limiti di successioni}
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\end{center}
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\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
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specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
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dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
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sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
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\end{note}
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\begin{exercise}
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Dati $f : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione di $X$
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tale che $\forall \, (x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ vale che
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$f(x_n)$ converge. Allora il limite di $f(x_n)$ è sempre lo stesso.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}
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Data $(x_n) \subseteq \RR$, definisco $f : \NN \to \RRbar$ tale
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che $f(n) := x_n$, $\forall n \in \NN$. Allora $f(n) \tendston L \iff x_n \tendston L$.
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\end{exercise}
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\begin{proposition}
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Siano $f : X \to \RRbar$, $\xbar \in X$ punto di accumulazione
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di $X$. Allora sono fatti equivalenti i seguenti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f(x) \tendsto{\xbar} L$,
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\item $f$ è continua in $\xbar$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si dimostrano le due implicazioni separatamente.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Se $\xbar$ è un punto isolato di $X$, allora $f$ è continua
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in $\xbar$. Pertanto per rendere la proposizione precedente
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vera, è necessario ipotizzare che $\xbar$ sia un punto
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di accumulazione (infatti il limite in un punto isolato
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non esiste per definizione, mentre in tale punto $f$ è
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continua).
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\end{remark}
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\begin{exercise}
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Siano $f : X \to \RR$ e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$.
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Siano $L \in \RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ tale
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che:
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\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
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L & \text{se } x = \xbar, \\
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f(x) & \text{altrimenti}.
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\end{cases} \]
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\vskip 0.05in
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Allora $f(x) \tendsto{\xbar} L \iff \tilde{f}$ è continua in $\xbar$.
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\end{exercise}
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\begin{remark}
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Tutte le funzioni elementari (e.g.~$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\exp(x)$, $\ln(x)$, $\abs{x}$, polinomi) sono funzioni continue nel loro insieme
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di definizione.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Date $f : X \to Y \subseteq \RRbar$ e $g : Y \to \RRbar$. Sia
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$f$ continua in $\xbar$ e sia $g$ continua in $f(\xbar)$. Allora
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$g \circ f$ è continua in $\xbar$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $I$ un intorno di $z = g(f(\xbar))$. Allora, poiché $g$ è continua
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in $f(\xbar)$, $\exists J$ intorno di $f(\xbar)$ $\mid g(J) \subseteq
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I$. Tuttavia, poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\exists K$ intorno
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di $\xbar$ $\mid f(K) \subseteq J$, da cui si conclude che
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$g(f(K)) \subseteq g(J) \subseteq I$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $f : X \to Y \subseteq \RRbar$, sia $\xbar$ punto di
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accumulazione di $X$ tale che $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$.
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Se $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$, $\ybar \in Y \implies
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g$ continua in $\ybar$ e $g : Y \to \RRbar$
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è tale che $g(y) \tendstoy{\ybar} \zbar$, allora
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$g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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\end{proof}
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\begin{exercise}
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Mostrare che tutte le ipotesi della proposizione precedente sono necessarie, fornendo alcuni controesempi.
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\end{exercise}
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\begin{proposition}
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Date $f_1, f_2 : X \to \RR$ continue in $\xbar$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f_1 + f_2$ è continua in $\xbar$,
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\item $f_1 f_2$ è continua in $\xbar$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $f := f_1 + f_2$.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$,
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$\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta
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\implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}, \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq \eps$ (per ogni $\eps > 0$, si prende $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni
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di $\xbar$). Allora $\abs{f(x) - f(\xbar)} \leq
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\abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} + \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq 2\eps$.
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Si conclude dunque che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0
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\mid \abs{f(x) - f(\xbar)} \leq 2\eps$, e quindi, poiché
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$2\eps \tends{\eps \to 0} 0$, che $f$ è continua in $\xbar$.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Date $f_1, f_2 : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione
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di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f_1(x) = L_1 \in \RR$ e
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$\lim_{x \to \xbar} f_2(x) = L_2 \in \RR$, allora valgono
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i seguenti risultati:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$,
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\item $f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@ -0,0 +1,89 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{22 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
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\end{center}
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\begin{definition}
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Una forza $\vec{F}(\vec{r})$ si dice \textit{conservativa} se
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il lavoro effettuato da tale forza tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso,
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qualsiasi sia la traiettoria che li congiunge, ordinata da $A$ a
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$B$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Data $f : \RR^3 \to \RR$ nelle variabili $x$, $y$ e $z$, si definisce \textit{gradiente} come
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il vettore $\vec{\nabla}f = (\frac{\del f}{\del x}, \frac{\del f}{\del y}, \frac{\del f}{\del z})$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Sia $U(x, y, z)$ l'energia potenziale, e sia $\vec{F}$ conservativa.
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Poiché $dL = - dU$, $dL = \vec{F} \cdot d\vec{r} =
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F_x dx + F_y dy + F_z dz$ e $dU = \frac{\del U}{\del x} dx +
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\frac{\del U}{\del y} dy + \frac{\del U}{\del z} dz$, si
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ricava che:
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\[ \vec{F} = - \vec{\nabla} U \]
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si definisce \textit{rotore} di un vettore $\vec{F}$ la seguente quantità:
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\[\vec{\nabla} \times \vec{F} = \rot \vec{F} = \det \Matrix{\ihat & \jhat & \khat \\ \parx & \pary & \parz \\ \parx F_x & \pary F_y & \parz F_z}.\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Se la forza è conservativa, per il teorema di Schwarz le
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derivate parziali miste in $\grad \times \vec{F}$ commutano, e
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quindi $\grad \times \vec{F} = \vec{0}$
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\end{remark}
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\begin{remark}
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In sintesi, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item la forza $\vec{F}$ è conservativa,
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\item $L_{\gamma(A,B)} (\vec{F})$ non dipende da $\gamma$,
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ma solo da $A$ e $B$,
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\item $\oint_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Se $\vec{F} = \vec{a} + \vec{b}$, dove $\vec{a}$ è conservativa,
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allora, per il teorema dell'energia cinetica, $L_{\gamma(P_0, P)} =
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K_P - K_{P_0}$. Pertanto, grazie all'additività del lavoro,
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si può ricavare che:
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\[ L_{\gamma(P_0, P)} \vec{F} = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
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Poiché $\vec{a}$ è conservativa, $L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} = U_{P_0} - U_P$, e quindi, se $\Delta K = 0$:
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\[ \Delta U = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b} \implies U_P = U_{P_0} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
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\end{remark}
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Supponiamo che $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}$ sia la
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somma di sole forze conservative su un corpo di massa $m$.
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Allora ad ogni forza $\vec{F_i}$ possiamo associare un'energia
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potenziale $U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)} = - L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i})$,
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da cui $\Delta U = U_P - U_{P_0} = \sum_{i=1}^N \left[U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)}\right] = -L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i}) = K_{P_0} - K_P = -\Delta K$. \\
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Sia $E = K + U$, detta energia meccanica, allora si ricava che $\Delta E = 0$. Infatti, in presenza di forze conservative, $\frac{dE}{dt} = 0$.
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Altrimenti $\Delta E = L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{b})$.
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\begin{example}
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Se si è in presenza di un campo uniforme (ossia dove $\vec{F}(\vec{r}) = \vec{f}$, $\forall \vec{r}$), il rotore è nullo, e quindi la
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forza è conservativa (e.g.~la forza peso).
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\end{example}
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\end{document}
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