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feat(algebra1/scheda): gruppi di Galois noti, teoremi fondamentali
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-7
@@ -153,10 +153,17 @@
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di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
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inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
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di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
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$K$-isomorfi tra loro. Per il criterio della derivata,
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$K$-isomorfi tra loro. \medskip
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Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
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radici distinte. Per il criterio della derivata,
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$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
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$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
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formale di $p$. \medskip
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formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
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$[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
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conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
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Galois sulle radici. \medskip
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Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
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@@ -192,13 +199,41 @@
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una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
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\subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
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Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
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$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
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ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
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contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
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può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
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vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
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vettori in $L$.
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vettori in $L$. \medskip
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Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è
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un'estensione finita se e solo se $L / F$ e
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$F / K$ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente
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per torri). Inoltre, se $\basis_{L/F}$ e $\basis_{F/K}$
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sono basi di $L/F$ e $F/K$, allora
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$\basis_{L/F} \basis_{F/K}$ è una base di
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$L / K$, dove i suoi elementi sono i prodotti tra
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i vari elementi delle due basi. Infine
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se $L / K$ è finita, allora
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anche $LM / M$ è finita, e vale che $[LM : M] \leq [L : K]$ (infatti una base di $L / K$ può essere trasformata
|
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in un insieme di generatori di $LM / M$), e quindi
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la finitezza vale per \textit{shift}. Sempre per
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il Teorema delle torri algebriche, se $L / K$ è
|
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finito, allora vale che:
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\[ [L : K] = [L : F] [F : K]. \]
|
||||
Se $L / K$ e $M / K$ sono finite, anche $LM / K$ lo
|
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è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit{shift}). In particolare, vale che:
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\[ \mcm([L : K], [M : K]) \mid [LM : K]. \]
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Se $[L : K]$ ed $[M : K]$ sono coprimi tra loro,
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allora vale proprio l'uguaglianza
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$[LM : K] = [L : K] [M : K]$. Infatti, in tal caso,
|
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si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e
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$[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$.
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\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
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@@ -257,7 +292,8 @@
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||||
$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
|
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$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
|
||||
che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni
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polinomio irriducibile ammette radici distinte.
|
||||
polinomio irriducibile ammette radici distinte,
|
||||
ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
|
||||
In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
|
||||
è separabile. Si definiscono i coniugati di
|
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$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
|
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@@ -297,7 +333,7 @@
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$\overline{\RR} = \CC$.
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\subsection{Estensioni normali e $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
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\subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
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||||
Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
|
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$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
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@@ -308,7 +344,7 @@
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in $\overline{K}$. \medskip
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Se $L / K$ è un'estensione finita su $K$, allora
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||||
Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora
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esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
|
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da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
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||||
tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
|
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@@ -321,6 +357,17 @@
|
||||
tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
|
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|
||||
Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
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i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente
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calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni
|
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di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione
|
||||
da $K(\alpha)$ può estendersi a $K$-immersione di
|
||||
$L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può
|
||||
restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In
|
||||
particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$
|
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su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip
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||||
Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
|
||||
se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
|
||||
vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente
|
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@@ -336,15 +383,261 @@
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||||
un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
|
||||
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||||
Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
|
||||
ed in particolare può sempre scriversi come
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$L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato
|
||||
in $K$.
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Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
|
||||
degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
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||||
$L$ è normale e separabile, si dice
|
||||
\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
|
||||
$\Gal(L / K) := (\Aut_K L, \circ)$, ossia come
|
||||
il suo \textbf{gruppo di Galois}
|
||||
$\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come
|
||||
il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
|
||||
composizione.
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||||
\subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento}
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Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile.
|
||||
Allora si definisce
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||||
il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo
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di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di
|
||||
spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e
|
||||
$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
|
||||
$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
|
||||
mediante $\Xi$, in modo tale che:
|
||||
\vskip -0.3in
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{split}
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||||
\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
|
||||
&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\vskip -0.2in
|
||||
In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
|
||||
$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
|
||||
(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
|
||||
$\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo
|
||||
abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve
|
||||
valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip
|
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|
||||
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|
||||
Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale
|
||||
che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora
|
||||
$[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che:
|
||||
\[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \]
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Diagrammi di campo e proprietà}
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||||
Si definisce \textbf{diagramma di campo} un
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||||
diagramma della seguente forma:
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||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
& LM \\
|
||||
L & {} & M \\
|
||||
& {L \cap M} \\
|
||||
& K
|
||||
\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
|
||||
\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
|
||||
\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
|
||||
\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
|
||||
\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
In particolare il precedente diagramma rappresenta
|
||||
lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e
|
||||
rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni
|
||||
di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre,
|
||||
per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
|
||||
della stessa freccia. \medskip
|
||||
|
||||
|
||||
Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si
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||||
studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo
|
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le seguenti tre modalità:
|
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\begin{itemize}
|
||||
\item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia
|
||||
vale per tutta la torre di estensioni,
|
||||
\item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale
|
||||
per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia
|
||||
vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$,
|
||||
\item validità per il \textbf{composto}: se
|
||||
$\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora
|
||||
vale anche per $LM / K$.
|
||||
\item validità per l'\textbf{intersezione}:
|
||||
se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$,
|
||||
allora vale anche per $L \cap M / K$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente}
|
||||
per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo
|
||||
se vale per $L / F$ sottoestensione.
|
||||
Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente}
|
||||
per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se
|
||||
e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$
|
||||
vale anche per l'intersezione. \medskip
|
||||
|
||||
|
||||
Si dice che
|
||||
$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
|
||||
\textit{shift} se $\mathcal{P}$ vale su
|
||||
$LF / F$ solo se vale su $L / K$. Si dice che
|
||||
$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
|
||||
il composto se $\mathcal{P}$ vale su $LF / K$
|
||||
implica che $\mathcal{P}$ valga anche su $L / K$
|
||||
e $F / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{completamente} per \textit{shift} o composto se $\mathcal{P}$
|
||||
vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o
|
||||
composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e
|
||||
per \textit{shift}, allora vale anche per il
|
||||
composto.
|
||||
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||||
La seguente tabella raccoglie le proprietà
|
||||
delle estensioni sui diagrammi di campo:
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||||
\begin{center}
|
||||
\scriptsize
|
||||
\vskip -0.1in
|
||||
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
|
||||
\hline
|
||||
$\mathcal{P}$ & Torri & \textit{Shift} & Composto & Intersez. \\ \hline
|
||||
Est. fin. & Strett. & Normal. & Complet. & Sì \\ \hline
|
||||
Est. alg. & Strett. & Complet. & Complet. & Sì \\ \hline
|
||||
Est. sep. & Strett. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline
|
||||
Est. nor. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline
|
||||
Est. Gal. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Teorema dell'elemento primitivo}
|
||||
|
||||
Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile,
|
||||
$L$ è in particolare un'estensione semplice di
|
||||
$K$, per il \textbf{Teorema dell'elemento primitivo}.
|
||||
In campi finiti, un tale elemento primitivo è
|
||||
un generatore di $L^*$. In campi infiniti, per
|
||||
$L = K(a, b)$,
|
||||
si può invece considerare il seguente polinomio:
|
||||
\[ p(x) = \prod_{i < j} (\varphi_i(a) + x \varphi_i(b) - \varphi_j(b) - x \varphi_j(b)), \]
|
||||
dove le varie $\varphi_i$ sono le $K$-immersioni di
|
||||
$L$ su $\overline{K}$.
|
||||
Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto
|
||||
ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale
|
||||
per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che
|
||||
$L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su
|
||||
tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
|
||||
un elemento primitivo desiderato.
|
||||
|
||||
\section{Teorema di corrispondenza di Galois}
|
||||
|
||||
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||||
Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$,
|
||||
si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$
|
||||
fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$.
|
||||
In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$.
|
||||
Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto:
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
|
||||
di $L / K$ estensione di Galois. Sia
|
||||
$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
|
||||
$\Gal(L / K)$. Allora $\mathcal{E}$ è
|
||||
in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
|
||||
la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
|
||||
tale per cui:
|
||||
\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(L / F) \leq
|
||||
\Gal(L / K), \]
|
||||
la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
|
||||
è tale per cui:
|
||||
\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
|
||||
Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di
|
||||
$L / K$ è normale su $K$ se e solo se
|
||||
il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$
|
||||
è normale. Infine, se $F / K$ è normale,
|
||||
$F$ è in particolare di Galois e vale che:
|
||||
\[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \]
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia
|
||||
grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$),
|
||||
\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di
|
||||
un certo indice $n$ è uguale al numero di
|
||||
sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su
|
||||
$K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} =
|
||||
[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$),
|
||||
\item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$,
|
||||
\item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$,
|
||||
\item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$,
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
In particolare, un diagramma di campi -- a patto
|
||||
che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
|
||||
essere collegato ad un diagramma di gruppi,
|
||||
``invertendo'' le inclusioni. Se
|
||||
$G = \Gal(L / K)$ e $H \subseteq G$, allora il
|
||||
diagramma:
|
||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
L \\
|
||||
{L^H} \\
|
||||
K
|
||||
\arrow["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1]
|
||||
\arrow["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1]
|
||||
\arrow["H"', no head, from=2-1, to=1-1]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
si relaziona tramite corrispondenza al
|
||||
diagramma:
|
||||
\[\begin{tikzcd}[row sep=small]
|
||||
{\{e\}} \\
|
||||
\\
|
||||
H \\
|
||||
\\
|
||||
G
|
||||
\arrow[no head, from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow[no head, from=3-1, to=5-1]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
|
||||
\section{Gruppi di Galois noti}
|
||||
|
||||
\subsection{Campi finiti}
|
||||
|
||||
Il campo finito $\FF_{p^n}$ è sempre normale
|
||||
su $\FF_p$, dal momento che può essere costruito
|
||||
come campo di spezzamento di $x^{p^n} - x$ su
|
||||
$\FF_p$ stesso. Equivalentemente, poiché
|
||||
un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque
|
||||
conserva sempre la cardinalità),
|
||||
una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$
|
||||
in un campo della stessa cardinalità, e quindi
|
||||
necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip
|
||||
|
||||
|
||||
Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che
|
||||
fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
|
||||
spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che:
|
||||
\[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \]
|
||||
|
||||
|
||||
Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$,
|
||||
tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
|
||||
al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$.
|
||||
|
||||
\subsection{Polinomi biquadratici}
|
||||
|
||||
Sia $p(x) = x^4 + ax^2 + b$ irriducibile su $\QQ$.
|
||||
Allora, se $L$ è un suo campo di spezzamento e $\Delta = a^2 - 4b$ è l'usuale discriminante di $p$ visto come polinomio in $x^2$, vale che:
|
||||
|
||||
\[ \Gal(L / \QQ) \cong \begin{cases}
|
||||
\ZZmod{4} & \se b \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
|
||||
\ZZmod{2} \times \ZZmod{2} & \se b \Delta \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
|
||||
D_4 & \altrimenti.
|
||||
\end{cases} \]
|
||||
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\hrule
|
||||
~\\
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
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