@ -153,10 +153,17 @@
di polinomi di $ K [ x ] $ un sovracampo minimale per
di polinomi di $ K [ x ] $ un sovracampo minimale per
inclusione di $ K $ che fa sì che ogni polinomio di $ \mathcal { F } $ si decomponga in fattori lineari. I campi
inclusione di $ K $ che fa sì che ogni polinomio di $ \mathcal { F } $ si decomponga in fattori lineari. I campi
di spezzamento di $ \mathcal { F } $ sono sempre
di spezzamento di $ \mathcal { F } $ sono sempre
$ K $ -isomorfi tra loro. Per il criterio della derivata,
$ K $ -isomorfi tra loro. \medskip
Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
radici distinte. Per il criterio della derivata,
$ p \in K [ x ] $ ammette radici multiple se e solo se
$ p \in K [ x ] $ ammette radici multiple se e solo se
$ \MCD ( p, p' ) $ non è invertibile, dove $ p' $ è la derivata
$ \MCD ( p, p' ) $ non è invertibile, dove $ p' $ è la derivata
formale di $ p $ . \medskip
formale di $ p $ . Se $ p \in K [ x ] $ e $ n : = \deg p $ , il campo di spezzamento $ L $ di $ p $ è tale per cui
$ [ L : K ] \leq n ! $ . Se $ p $ è irriducibile e separabile, vale anche che $ n \mid [ L : K ] \mid n ! $ , come
conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
Galois sulle radici. \medskip
Se $ p $ è irriducibile in $ K [ x ] $ , $ ( p ) $ è un ideale
Se $ p $ è irriducibile in $ K [ x ] $ , $ ( p ) $ è un ideale
@ -192,13 +199,41 @@
una $ K $ -immersione che è isomorfismo. \medskip
una $ K $ -immersione che è isomorfismo. \medskip
\subsection { Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
Date estensioni $ L $ e $ M $ su $ K $ , si definisce
Date estensioni $ L $ e $ M $ su $ K $ , si definisce
$ LM = L ( M ) = M ( L ) $ come il \textbf { composto} di $ L $
$ LM = L ( M ) = M ( L ) $ come il \textbf { composto} di $ L $
ed $ M $ , ossia come la più piccola estensione di $ K $ che
ed $ M $ , ossia come la più piccola estensione di $ K $ che
contiene sia $ L $ che $ M $ . In particolare, $ LM $
contiene sia $ L $ che $ M $ . In particolare, $ LM $
può essere visto come $ L $ -spazio vettoriale con
può essere visto come $ L $ -spazio vettoriale con
vettori in $ M $ , o analogamente come $ M $ -spazio con
vettori in $ M $ , o analogamente come $ M $ -spazio con
vettori in $ L $ .
vettori in $ L $ . \medskip
Per il Teorema delle torri algebriche, $ L / K $ è
un'estensione finita se e solo se $ L / F $ e
$ F / K $ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente
per torri). Inoltre, se $ \basis _ { L / F } $ e $ \basis _ { F / K } $
sono basi di $ L / F $ e $ F / K $ , allora
$ \basis _ { L / F } \basis _ { F / K } $ è una base di
$ L / K $ , dove i suoi elementi sono i prodotti tra
i vari elementi delle due basi. Infine
se $ L / K $ è finita, allora
anche $ LM / M $ è finita, e vale che $ [ LM : M ] \leq [ L : K ] $ (infatti una base di $ L / K $ può essere trasformata
in un insieme di generatori di $ LM / M $ ), e quindi
la finitezza vale per \textit { shift} . Sempre per
il Teorema delle torri algebriche, se $ L / K $ è
finito, allora vale che:
\[ [ L : K ] = [ L : F ] [ F : K ] . \]
Se $ L / K $ e $ M / K $ sono finite, anche $ LM / K $ lo
è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit { shift} ). In particolare, vale che:
\[ \mcm ( [ L : K ] , [ M : K ] ) \mid [ LM : K ] . \]
Se $ [ L : K ] $ ed $ [ M : K ] $ sono coprimi tra loro,
allora vale proprio l'uguaglianza
$ [ LM : K ] = [ L : K ] [ M : K ] $ . Infatti, in tal caso,
si avrebbe $ [ L : K ] [ M : K ] \leq [ LM : K ] $ e
$ [ LM : K ] = [ LM : M ] [ M : K ] \leq [ L : K ] [ M : K ] $ .
\subsection { Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
\subsection { Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
@ -257,7 +292,8 @@
$ K $ se per ogni elemento $ \alpha \in L $ ,
$ K $ se per ogni elemento $ \alpha \in L $ ,
$ \mu _ \alpha $ ammette radici distinte. Si dice
$ \mu _ \alpha $ ammette radici distinte. Si dice
che $ K $ è un \textbf { campo perfetto} se ogni
che $ K $ è un \textbf { campo perfetto} se ogni
polinomio irriducibile ammette radici distinte.
polinomio irriducibile ammette radici distinte,
ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
è separabile. Si definiscono i coniugati di
è separabile. Si definiscono i coniugati di
$ \alpha $ algebrico su $ K $ come le radici
$ \alpha $ algebrico su $ K $ come le radici
@ -297,7 +333,7 @@
$ \overline { \RR } = \CC $ .
$ \overline { \RR } = \CC $ .
\subsection { Estensioni normali e $ K $ -immersioni di un'estensione finita di $ K $ }
\subsection { Estensioni normali e di Galois, $ K $ -immersioni di un'estensione finita di $ K $ }
Sia $ \alpha $ un elemento algebrico su $ K $ . Allora
Sia $ \alpha $ un elemento algebrico su $ K $ . Allora
$ [ K ( \alpha ) : K ] = \deg _ K \alpha $ . Le
$ [ K ( \alpha ) : K ] = \deg _ K \alpha $ . Le
@ -308,7 +344,7 @@
in $ \overline { K } $ . \medskip
in $ \overline { K } $ . \medskip
Se $ L / K $ è un'estensione finita su $ K $ , allora
Se $ L / K $ è un'estensione separabile finita su $ K $ , allora
esistono esattamente $ [ L : K ] $ $ K $ -immersioni
esistono esattamente $ [ L : K ] $ $ K $ -immersioni
da $ L $ in $ \overline { K } $ . Per quanto detto prima,
da $ L $ in $ \overline { K } $ . Per quanto detto prima,
tali immersioni mappano gli elementi $ L $ nei
tali immersioni mappano gli elementi $ L $ nei
@ -321,6 +357,17 @@
tali per cui $ \restr { \varphi _ i } { K } = \varphi $ . \medskip
tali per cui $ \restr { \varphi _ i } { K } = \varphi $ . \medskip
Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
i coniugati di $ \alpha \in L $ su $ K $ , è sufficiente
calcolare i distinti valori delle $ K $ -immersioni
di $ L $ su $ \alpha $ . Infatti, ogni $ K $ -immersione
da $ K ( \alpha ) $ può estendersi a $ K $ -immersione di
$ L $ , e viceversa ogni $ K $ -immersione di $ L $ può
restringersi a $ K $ -immersione di $ K ( \alpha ) $ . In
particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $ \alpha $
su $ K $ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $ x - \alpha _ i $ dove gli $ \alpha _ i $ sono tutti i coniugati di $ \alpha $ ). \medskip
Si dice che un'estensione algebrica $ L / K $ è un'\textbf { estensione normale}
Si dice che un'estensione algebrica $ L / K $ è un'\textbf { estensione normale}
se per ogni $ K $ -immersione $ \varphi $ da $ L $ in $ \overline { K } $
se per ogni $ K $ -immersione $ \varphi $ da $ L $ in $ \overline { K } $
vale che $ \varphi ( L ) = L $ . Equivalentemente
vale che $ \varphi ( L ) = L $ . Equivalentemente
@ -336,15 +383,261 @@
un automorfismo di $ L $ che fissa $ K $ . \medskip
un automorfismo di $ L $ che fissa $ K $ . \medskip
Un'estensione finita $ L / K $ di grado $ 2 $ è sempre normale,
ed in particolare può sempre scriversi come
$ L = K ( \sqrt { \Delta } ) $ , dove $ \Delta $ non è un quadrato
in $ K $ .
Si indica con $ \Aut _ K ( L ) = \Aut ( L / K ) $ l'insieme
Si indica con $ \Aut _ K ( L ) = \Aut ( L / K ) $ l'insieme
degli automorfismi di $ L $ che fissano $ K $ . Se
degli automorfismi di $ L $ che fissano $ K $ . Se
$ L $ è normale e separabile, si dice
$ L $ è normale e separabile, si dice
\textbf { estensione di Galois} , e si definisce
\textbf { estensione di Galois} , e si definisce
$ \Gal ( L / K ) : = ( \Aut _ K L, \circ ) $ , ossia come
il suo \textbf { gruppo di Galois}
$ \Gal ( L / K ) $ come $ ( \Aut _ K L, \circ ) $ , ossia come
il gruppo $ \Aut _ K L $ con l'operazione di
il gruppo $ \Aut _ K L $ con l'operazione di
composizione.
composizione.
\subsection { Azione di $ \Gal ( L / K ) $ sulle radici di $ L $ campo di spezzamento}
Sia $ p \in K [ x ] $ irriducibile e separabile.
Allora si definisce
il \textbf { gruppo di Galois di $ p $ } come il gruppo
di Galois $ \Gal ( L / K ) $ , dove $ L $ è un campo di
spezzamento di $ p $ su $ K $ . Se $ \deg p = n $ e
$ a _ 1 $ , ..., $ a _ n $ sono le radici di $ p $ ,
$ \Gal ( L / K ) $ agisce su $ \{ a _ 1 , \ldots , a _ n \} $
mediante $ \Xi $ , in modo tale che:
\vskip -0.3in
\begin { equation*}
\begin { split}
\Xi : \Gal (& L / K) \to S(\{ a_ 1, \ldots , a_ n\} ) \cong S_ n, \\
& \varphi _ i \xmapsto { \Xi } [a_ j \mapsto \varphi _ i(a_ j)].
\end { split}
\end { equation*}
\vskip -0.2in
In particolare tale azione è transitiva (dunque $ \Orb ( a _ i ) = \{ a _ j \} _ { j = 1 - n } $ )e fedele. Poiché $ \Xi $ è fedele, vale che
$ \Gal ( L / K ) \mono S _ n $ . Se $ \Gal ( L / K ) $ è abeliano
(e in tal caso si dice che $ L $ è un'\textbf { estensione abeliana} ), $ \Xi $ è anche transitiva, e quindi
$ \Gal ( L / K ) $ si identifica come un sottogruppo
abeliano transitivo di $ S _ n $ , e in quanto tale deve
valere che $ \abs { \Gal ( L / K ) } = n $ . \medskip
Dal momento che $ \Xi $ è un'immersione, vale
che $ \abs { \Gal ( L / K ) } \mid n ! $ . Dacché allora
$ [ K ( a _ 1 ) : K ] = n $ , vale in particolare che:
\[ n \mid \abs { \Gal ( L / K ) } = [ L : K ] \mid n ! . \]
\section { Diagrammi di campo e proprietà}
Si definisce \textbf { diagramma di campo} un
diagramma della seguente forma:
\[ \begin { tikzcd }
& LM \\
L & { } & M \\
& { L \cap M} \\
& K
\arrow [no head, from=4-2, to=3-2]
\arrow [no head, from=3-2, to=2-1]
\arrow [no head, from=2-1, to=1-2]
\arrow [no head, from=3-2, to=2-3]
\arrow [no head, from=2-3, to=1-2]
\end { tikzcd} \]
In particolare il precedente diagramma rappresenta
lo studio dell'estensione di $ LM $ su $ K $ , e
rappresenta $ L $ , $ M $ e $ L \cap M $ come sottoestensioni
di $ LM $ . Un estremo superiore di una freccia è sempre,
per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
della stessa freccia. \medskip
Sia $ \mathcal { P } $ una proprietà. Allora si
studia la proprietà $ \mathcal { P } $ secondo
le seguenti tre modalità:
\begin { itemize}
\item validità per \textbf { torri} : se $ \mathcal { P } $ vale in due estensioni in $ K \subseteq F \subseteq L $ , allora vale anche per la terza estensione, ossia
vale per tutta la torre di estensioni,
\item validità per \textbf { \textit { shift} } (o per il \textbf { traslato} ): se $ \mathcal { P } $ vale
per $ F / K $ , allora vale anche per $ LF / F $ , ossia
vale sul ramo parallelo a quello di $ F / K $ ,
\item validità per il \textbf { composto} : se
$ \mathcal { P } $ vale per $ L / K $ ed $ M / K $ , allora
vale anche per $ LM / K $ .
\item validità per l'\textbf { intersezione} :
se $ \mathcal { P } $ vale per $ L / K $ ed $ M / K $ ,
allora vale anche per $ L \cap M / K $ .
\end { itemize}
Si dice che $ \mathcal { P } $ vale \textit { debolmente}
per torri, se $ \mathcal { P } $ vale per $ L / K $ solo
se vale per $ L / F $ sottoestensione.
Si dice che $ \mathcal { P } $ vale \textit { strettamente}
per torri, se è $ \mathcal { P } $ vale per $ L / K $ se
e solo se vale per $ L / F $ e $ F / K $ . Se $ \mathcal { P } $ vale strettamente per torri, allora $ \mathcal { P } $
vale anche per l'intersezione. \medskip
Si dice che
$ \mathcal { P } $ vale \textit { inversamente} per
\textit { shift} se $ \mathcal { P } $ vale su
$ LF / F $ solo se vale su $ L / K $ . Si dice che
$ \mathcal { P } $ vale \textit { inversamente} per
il composto se $ \mathcal { P } $ vale su $ LF / K $
implica che $ \mathcal { P } $ valga anche su $ L / K $
e $ F / K $ . Si dice che $ \mathcal { P } $ vale \textit { completamente} per \textit { shift} o composto se $ \mathcal { P } $
vale \textit { inversamente} e normalmente per \textit { shift} o
composto. Se $ \mathcal { P } $ vale per torri e
per \textit { shift} , allora vale anche per il
composto.
La seguente tabella raccoglie le proprietà
delle estensioni sui diagrammi di campo:
\begin { center}
\scriptsize
\vskip -0.1in
\begin { tabular} { l|l|l|l|l}
\hline
$ \mathcal { P } $ & Torri & \textit { Shift} & Composto & Intersez. \\ \hline
Est. fin. & Strett. & Normal. & Complet. & Sì \\ \hline
Est. alg. & Strett. & Complet. & Complet. & Sì \\ \hline
Est. sep. & Strett. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline
Est. nor. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline
Est. Gal. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì
\end { tabular}
\end { center}
\section { Teorema dell'elemento primitivo}
Se $ L / K $ è un'estensione finita e separabile,
$ L $ è in particolare un'estensione semplice di
$ K $ , per il \textbf { Teorema dell'elemento primitivo} .
In campi finiti, un tale elemento primitivo è
un generatore di $ L ^ * $ . In campi infiniti, per
$ L = K ( a, b ) $ ,
si può invece considerare il seguente polinomio:
\[ p ( x ) = \prod _ { i < j } ( \varphi _ i ( a ) + x \varphi _ i ( b ) - \varphi _ j ( b ) - x \varphi _ j ( b ) ) , \]
dove le varie $ \varphi _ i $ sono le $ K $ -immersioni di
$ L $ su $ \overline { K } $ .
Si verifica che $ p ( x ) $ è non nullo, e pertanto
ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $ t \in K $ tale
per cui $ p ( t ) \neq 0 $ , da cui si ricava che
$ L = K ( a + bt ) $ . Reiterando questo algoritmo su
tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
un elemento primitivo desiderato.
\section { Teorema di corrispondenza di Galois}
Se $ L / K $ è di Galois, detto $ H \leq \Gal ( L / K ) $ ,
si definisce $ L ^ H $ come la sottoestensione di $ L $
fissata da tutte le $ K $ -immersioni di $ H $ .
In particolare vale che $ L ^ H = K \iff H = \Gal ( L / K ) $ .
Conseguentemente, vale il \textbf { Teorema di corrispondenza di Galois} , di seguito descritto:
\begin { theorem}
Sia $ \mathcal { E } $ l'insieme delle sottoestensioni
di $ L / K $ estensione di Galois. Sia
$ \mathcal { G } $ l'insieme dei sottogruppi di
$ \Gal ( L / K ) $ . Allora $ \mathcal { E } $ è
in bigezione con $ \mathcal { G } $ attraverso
la mappa $ \alpha : \mathcal { E } \to \mathcal { G } $
tale per cui:
\[ F \xmapsto { \alpha } \Gal ( L / F ) \leq
\Gal (L / K), \]
la cui inversa $ \beta : \mathcal { G } \to \mathcal { E } $
è tale per cui:
\[ H \xmapsto { \beta } L ^ H \subseteq L. \]
Inoltre, una sottoestensione $ F / K $ di
$ L / K $ è normale su $ K $ se e solo se
il corrispondente sottogruppo di $ \Gal ( L / K ) $
è normale. Infine, se $ F / K $ è normale,
$ F $ è in particolare di Galois e vale che:
\[ \Gal ( F / K ) \cong \faktor { \Gal ( L / K ) } { \Gal ( L / F ) } . \]
\end { theorem}
Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:
\begin { itemize}
\item il numero di sottogruppi di $ \Gal ( L / K ) $ di un certo ordine $ n $ è uguale al numero di sottoestensioni di $ L $ tali per cui $ L $ abbia
grado $ n $ su di esse (infatti $ [ L : F ] = \abs { \Gal ( L / F ) } $ ),
\item il numero di sottogruppi di $ \Gal ( L / K ) $ di
un certo indice $ n $ è uguale al numero di
sottoestensioni di $ L $ che hanno grado $ n $ su
$ K $ (infatti $ [ F : K ] = [ L : K ] / [ L : F ] = \abs { \Gal ( L / K ) } ) / \abs { \Gal ( L : F ) } =
[\Gal (L / K) : \Gal (L / F)]$ ) ,
\item $ L ^ H \subset L ^ Q \iff Q < H $ ,
\item $ L ^ H L ^ Q = L ^ H ( L ^ Q ) = L ^ { H \cap Q } $ ,
\item $ L ^ { \gen { H, Q } } = L ^ H \cap L ^ Q $ ,
\end { itemize}
In particolare, un diagramma di campi -- a patto
che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
essere collegato ad un diagramma di gruppi,
``invertendo'' le inclusioni. Se
$ G = \Gal ( L / K ) $ e $ H \subseteq G $ , allora il
diagramma:
\[ \begin { tikzcd }
L \\
{ L^ H} \\
K
\arrow ["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1]
\arrow ["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1]
\arrow ["H"', no head, from=2-1, to=1-1]
\end { tikzcd} \]
si relaziona tramite corrispondenza al
diagramma:
\[ \begin { tikzcd } [ row sep = small ]
{ \{ e\} } \\
\\
H \\
\\
G
\arrow [no head, from=1-1, to=3-1]
\arrow [no head, from=3-1, to=5-1]
\end { tikzcd} \]
\section { Gruppi di Galois noti}
\subsection { Campi finiti}
Il campo finito $ \FF _ { p ^ n } $ è sempre normale
su $ \FF _ p $ , dal momento che può essere costruito
come campo di spezzamento di $ x ^ { p ^ n } - x $ su
$ \FF _ p $ stesso. Equivalentemente, poiché
un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque
conserva sempre la cardinalità),
una $ \FF _ p $ -immersione deve mandare $ \FF _ { p ^ n } $
in un campo della stessa cardinalità, e quindi
necessariamente un campo isomorfo a $ \FF _ { p ^ n } $ . \medskip
Per un campo finito, $ \Frob $ è un automorfismo che
fissa $ \FF _ p $ . Allora $ \Frob \in \Gal ( \FF _ { p ^ n } / \FF _ p ) $ . Inoltre $ \ord \Frob = n = \abs { \Gal ( \FF _ { p ^ n } / \FF _ p } $ (altrimenti $ \FF _ { p ^ n } $ non sarebbe campo di
spezzamento di $ x ^ { p ^ n } - x $ ), e quindi vale che:
\[ \Gal ( \FF _ { p ^ n } / \FF _ p ) = \gen { \Frob } \cong \ZZmod { n } . \]
Pertanto se $ \alpha \in \FF _ { p ^ n } \setminus \FF _ p $ ,
tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
al più $ p ^ n $ volte $ \Frob $ su $ \alpha $ .
\subsection { Polinomi biquadratici}
Sia $ p ( x ) = x ^ 4 + ax ^ 2 + b $ irriducibile su $ \QQ $ .
Allora, se $ L $ è un suo campo di spezzamento e $ \Delta = a ^ 2 - 4 b $ è l'usuale discriminante di $ p $ visto come polinomio in $ x ^ 2 $ , vale che:
\[ \Gal ( L / \QQ ) \cong \begin { cases }
\ZZmod { 4} & \se b \text { è quadrato in $ \QQ $ } , \\
\ZZmod { 2} \times \ZZmod { 2} & \se b \Delta \text { è quadrato in $ \QQ $ } , \\
D_ 4 & \altrimenti .
\end { cases} \]
\vfill
\vfill
\hrule
\hrule
~\\
~\\
