feat(algebrario): aggiunge il teorema cinese del resto

Aritmetica/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex

@@ -490,3 +490,156 @@ euclidei.
     verificando la tesi.
 \end{proof}
 
+\subsection{Il teorema cinese del resto}
+
+    Il noto \nameref{th:cinese} è un risultato più generale di quanto
+    si sia visto nel contesto dell'aritmetica modulare. Difatti, esso è
+    applicabile in forma estesa a tutti gli anelli euclidei, non solo ai
+    numeri interi (che comunque rimangono un esempio classico di anello euclideo). \\
+    
+    \begin{lemma}
+        \label{lem:pre_cinese}
+
+        Sia $a$ un elemento riducibile di un anello euclideo $E$ e
+        sia $a=bc$, dove $\MCD(b, c) \in E^*$. Allora vale
+        il seguente isomorfismo:
+        
+        \[ A/(a) \cong A/(b) \times A/(c). \]
+    \end{lemma}
+    
+    \begin{proof}
+        Si consideri la funzione $\pi$ definita nel seguente
+        modo:
+        
+        \[ \pi : A/(a) \to A/(b) \times A/(c),\,e + (a) \mapsto (e + (b), e + (c)). \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Si verifica che $\pi$ è un omomorfismo. Infatti
+        $\pi(1 + (a)) = (1 + (b), 1 + (c))$. \\
+        
+        Siano $e$, $k \in A$. Allora
+        $\pi$ soddisfa la linearità:
+        
+        \begin{multline*}
+            \pi\Bigl(\bigl(e + (a)\bigr) + \bigl(k + (a)\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(e + k + (a)\bigr) =
+            \bigl(e + k + (b), e + k + (c)\bigr) =
+            \bigl(e + (b), e + (c)\bigr) + \\ \bigl(k + (b), k + (c)\bigr) = \pi\bigl(e + (a)\bigr) +
+            \pi\bigl(k + (a)\bigr).
+        \end{multline*}
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        e la moltiplicatività:
+        
+        \begin{multline*}
+            \pi\Bigl(\bigl(e + (a)\bigr) \cdot \bigl(k + (a)\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(ek + (a)\bigr) =
+            \bigl(ek + (b), ek + (c)\bigr) =
+            \bigl(e + (b), e + (c)\bigr) \cdot \\ \bigl(k + (b), k + (c)\bigr) = \pi\bigl(e + (a)\bigr) \cdot
+            \pi\bigl(k + (a)\bigr).
+        \end{multline*}
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Si studia $\Ker \pi$ per dimostrare l'iniettività di $\pi$.
+        Si pone dunque $\pi\bigl(e + (a)\bigr) = \bigl(0 + (b), 0 + (c)\bigr)$.
+        Questa condizione è equivalente ad asserire che sia $b$ che $c$ dividano
+        $e$. \\
+        
+        Sia allora $k \in E$ tale che $e=bk$. Dal momento che $c$ divide $e$, si
+        $e$ divide $bk$. Allora, dacché per ipotesi $\MCD(a, b) \in E^*$, per la
+        \propref{prop:divisione_gcd} $c$ divide $k$. Quindi esiste $j \in E$ tale che
+        $k=cj$. In particolare, unendo le due condizioni si ottiene
+        $e=bk=bcj=aj$. Pertanto $a$ divide $e$, da cui si deduce che $e + (a)$
+        è equivalente a $0 + (a)$. Allora, poiché $\Ker \pi = (0)$, $\pi$ è un
+        monomorfismo. \\
+        
+        Si studia invece adesso la surgettività di $\pi$. Siano $\alpha$,
+        $\beta \in E$. Si pone dunque $\pi\bigl(e + (a)\bigr) =
+        \bigl(\alpha + (b), \beta + (c)\bigr)$. Questa condizione è equivalente
+        al seguente sistema:
+        
+        \[ \begin{cases} e = \alpha + bk, \\ e = \beta + cj, \end{cases} \quad \text{con } k, j \in E. \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Unendo le due condizioni si ottiene la seguente equazione:
+        
+        \[ \alpha + bk = \beta + cj \iff cj - bk = \alpha - \beta.  \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Si consideri ora $d = \MCD(b, c)$. Per l'\nameref{th:bezout} esistono
+        $x$, $y$ tali che:
+        
+        \[ cx+by=d, \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        da cui si ricava che:
+        
+        \[ (\alpha-\beta)(cx + by) = (\alpha-\beta)d \implies cxd\inv(\alpha-\beta)+byd\inv(\alpha-\beta)=\alpha-\beta, \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        ponendo allora $j=xd\inv(\alpha-\beta)$ e $k=-yd\inv(\alpha-\beta)$
+        si ricava una possibile soluzione per $e$. Quindi
+        $\pi$ è un epimorfismo. \\
+        
+        Poiché $\pi$ è sia un monomorfismo che un epimorfismo, si conclude
+        che $\pi$ è un isomorfismo, da cui la tesi.
+        
+    \end{proof}
+
+    \begin{theorem}[\textit{Teorema cinese del resto}]
+        \label{th:cinese}
+    
+        Sia $a$ un elemento di un anello euclideo $A$ e sia
+        $p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_n^{m_n}$ una sua fattorizzazione
+        in irriducibili non associati.
+        Allora vale il seguente isomorfismo:
+        
+        \[ A/(a) \cong A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_n^{m_n}). \]
+    \end{theorem}
+    
+    \begin{proof}
+        Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione su $n$,
+        il numero di fattori irriducibili distinti che appaiono
+        nella fattorizzazione di $a$. \\
+        
+        \,(\textit{passo base}) \, Se $a$ consta di un solo fattore irriducibile,
+        allora banalmente $A/(a) \cong A/(p_1^{m_1})$. \\
+        
+        \,(\textit{passo induttivo}) \, Possiamo riscrivere $a$ come
+        il prodotto di $(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}})$ e di
+        $p_n^{m_n}$. \\
+        
+        Si nota innanzitutto che $d = \MCD(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}, p_n^{m_n})$
+        è un invertibile. Se così non fosse, infatti, si potrebbe
+        considerare un irriducibile $q$ della fattorizzazione di $d$:
+        tale $q$, in quanto primo per il \thref{th:irriducibili_primi},
+        deve dividere un $p_j$ con $1 \leq j \leq n-1$, così
+        come deve dividere $p_n$. Allora $p_j$ e $q$ sono associati,
+        così come $q$ e $p_n$. Dunque anche $p_j$ e $p_n$ sono associati.
+        Tuttavia questo è un assurdo, dal momento che per ipotesi
+        la fattorizzazione di $a$ include irriducibili distinti e
+        non associati, \Lightning{}. \\
+        
+        Allora dal \lemref{lem:pre_cinese} si ricava che:
+        
+        \[ A/(a) \cong A/(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}) \times A/(p_n^{m_n}), \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        mentre dal passo induttivo si sa già che:
+        
+        \[ A/(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}) \cong A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_{n-1}^{m_{n-1}}). \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Pertanto, unendo le due informazioni, si verifica la tesi:
+        
+            \[ A/(a) \cong
+            A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_{n-1}^{m_{n-1}}) \times A/(p_n^{m_n}). \]
+        
+    \end{proof}

Aritmetica/7. Estensioni algebriche di K.tex

@@ -520,3 +520,78 @@ seguente teorema.
     la \propref{prop:estensione_finita_algebrica}, è anche algebrica. Quindi
     $c$ è algebrico su $A$, da cui la tesi.
 \end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:esistenza_spezzamento}
+    Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
+    Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
+    contenute tutte le radici di $f(x)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
+    grado di $f(X)$. \\
+
+    \ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
+    campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
+
+    \ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
+    irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
+    $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
+    $A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
+    $f_1(x)$ ammette radice. \\
+
+    Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
+    esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
+    di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
+    tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
+\end{proof}
+
+\subsection{Campi di spezzamento di un polinomio}
+
+Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
+
+\begin{definition}
+    Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
+    campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
+              primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
+        \item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
+              $f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
+              primo grado.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
+    di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+    In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
+    isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
+        si rimanda a TODO}.
+\end{remark*}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $A$ un campo e sia $B \supseteq A$ un campo di spezzamento
+    di $f(x) \in A[x]$ su $A$, con $f(x)$ non costante. Sia $\deg f(x) = n$.
+    Allora $[B : A] \leq n!$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $\lambda_1$, $\lambda_2,\,\ldots,$ $\lambda_n$ le radici
+    di $f(x)$. Allora $[\KK(\lambda_1) : \KK] \leq n$, dacché
+    $\lambda_1$ è radice di $f(x)$. \\
+    
+    Sia ora $f(x)=(x-\lambda_1)g(x)$, con $\deg g(x) = n-1$. Sicuramente
+    $\lambda_2$ è radice di $g(x)$, pertanto $[\KK(\lambda_1, \lambda_2) : \KK(\lambda_1)] \leq n-1$. Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref{th:torri}:
+    
+    \[ [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK] = [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})] \cdots [\KK(\lambda_1) : \KK] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n!, \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    da cui la tesi.
+\end{proof}

Aritmetica/8. Campi di spezzamento.tex

@@ -1,75 +0,0 @@
-\section{Campi di spezzamento}
-
-\begin{theorem}
-    \label{th:esistenza_spezzamento}
-    Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
-    Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
-    contenute tutte le radici di $f(x)$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
-    grado di $f(X)$. \\
-
-    \ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
-    campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
-
-    \ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
-    irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
-    $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
-    $A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
-    $f_1(x)$ ammette radice. \\
-
-    Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
-    esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
-    di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
-    tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
-\end{proof}
-
-Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
-
-\begin{definition}
-    Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
-    campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
-
-    \begin{itemize}
-        \item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
-              primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
-        \item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
-              $f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
-              primo grado.
-    \end{itemize}
-\end{definition}
-
-\begin{remark*}
-    Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
-    di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
-\end{remark*}
-
-\begin{remark*}
-    In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
-    isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
-        si rimanda a TODO}.
-\end{remark*}
-
-\begin{theorem}
-    Sia $A$ un campo e sia $B \supseteq A$ un campo di spezzamento
-    di $f(x) \in A[x]$ su $A$, con $f(x)$ non costante. Sia $\deg f(x) = n$.
-    Allora $[B : A] \leq n!$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Siano $\lambda_1$, $\lambda_2,\,\ldots,$ $\lambda_n$ le radici
-    di $f(x)$. Allora $[\KK(\lambda_1) : \KK] \leq n$, dacché
-    $\lambda_1$ è radice di $f(x)$. \\
-    
-    Sia ora $f(x)=(x-\lambda_1)g(x)$, con $\deg g(x) = n-1$. Sicuramente
-    $\lambda_2$ è radice di $g(x)$, pertanto $[\KK(\lambda_1, \lambda_2) : \KK(\lambda_1)] \leq n-1$. Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref{th:torri}:
-    
-    \[ [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK] = [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})] \cdots [\KK(\lambda_1) : \KK] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n!, \]
-    
-    \vskip 0.1in
-    
-    da cui la tesi.
-\end{proof}
-

Aritmetica/8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[]}}
+\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
 
 Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
 fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda

Aritmetica/aritmetica.tex

@@ -90,25 +90,19 @@
 \thispagestyle{empty}
 ~\newpage
 
-\include{8. Campi di spezzamento}
+\include{8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
 
 \newpage
 \thispagestyle{empty}
 ~\newpage
 
-\include{9. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
+\include{9. Introduzione a teoria dei campi}
 
 \newpage
 \thispagestyle{empty}
 ~\newpage
 
-\include{10. Introduzione a teoria dei campi}
-
-\newpage
-\thispagestyle{empty}
-~\newpage
-
-\include{11. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
+\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
 
 \newpage
 \thispagestyle{empty}