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a24c5116ee
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\section{Gruppi}
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\subsection{Definizione e motivazione}
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Innanzitutto, prima di dare una definizione formale, un
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\vocab{gruppo} è una struttura algebrica, ossia un insieme
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di oggetti di varia natura che rispettano alcune determinate
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regole.
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Il motivo (con ogni probabilità l'unico) per cui la teoria dei
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gruppi risulta interessante è la facilità con cui un'astrazione
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come la struttura di gruppo permette di desumere teoremi universali
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per oggetti matematici apparentemente scollegati.
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Infatti, dimostrato un teorema in modo astratto per un gruppo
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generico, esso è valido per ogni gruppo. Per quanto questo
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fatto risulti di una banalità assoluta, esso è di fondamentale
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aiuto nello studio della matematica. Si pensi ad esempio all'
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aritmetica modulare, o alle funzioni bigettive, o ancora
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alle trasformazioni del piano: tutte queste nozioni condividono
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teoremi e metodi che si fondano su una stessa logica. Come vedremo,
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esse condividono la natura di gruppo.
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\begin{definition}
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Dato un insieme non vuoto $G$, esso si dice \textbf{gruppo} se data
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un'operazione ben definita $\cdot : G \times G \to G$ è t.c:
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\begin{itemize}
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\item (\vocab{associatività}) $\forall a, b, c \in G, \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. neutro}) $\exists e \in G \mid a \cdot e = a = e \, \cdot a \forall a \in G$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. inverso}) $\forall a \in G, \, \exists a^{-1} \in G \mid a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\chapter{Teoria degli insiemi}
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Il concetto di insieme è primitivo e pertanto non definito formalmente
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in questa sede. Viene tuttavia definita la terminologia che riguarda
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le teoria dei suddetti insiemi.
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Quando si leggerà $a \in S$, s'intenderà che ``$a$ appartiene all'insieme $S$'', mentre
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$a \notin S$ si legge ``$a$ non appartiene all'insieme $S$''. Un insieme $A$ si dice
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sottoinsieme di $B$ ($A \subseteq B$) quando $a \in A \rightarrow a \in B$; in particolare
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si dice sottoinsieme proprio di $B$ ($A \subset B$) quando
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$A \subseteq B \land \exists b \in B \mid b \notin A$.
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Due insiemi $A$ e $B$ sono uguali se e solo se $A \subseteq B \land B \subseteq A$.
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L'insieme vuoto è l'insieme che non ha elementi, ed è sottoinsieme di ogni insieme.
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\section{L'operazione di unione}
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L'unione di due insiemi $A$ e $B$ è un'operazione che restituisce un insieme
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$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$.
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Tale operazione si può estendere a più insiemi mediante l'introduzione di
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un \textit{insieme di indici} $T$ per una famiglia di insiemi. Un insieme di
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indici $T$ rispetto a un famiglia $F=\{A_t\}$ ha la seguente proprietà: $\forall t \in
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T, \exists A_t \in F$; ossia è in grado di enumerare gli insiemi della famiglia $F$.
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L'unione è pertanto definita su una famiglia $F$ come $\bigcup_{t \in T} A_t =
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\{x \mid (\exists t \in T \mid x \in A_t)\}$.
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L'unione gode delle seguente proprietà: $A \subseteq B \rightarrow A \cup B = B$
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(in particolare, $A \cup \emptyset = A$).
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\section{L'operazione di intersezione}
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Analogamente a come è stata definita l'unione, l'intersezione è un'operazione che
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resistuisce un insieme $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$; ossia estesa a più
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insiemi: $\bigcap_{t \in T} A_t = \{x \mid (\forall t \in T \mid x \in A_t)\}$.
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In modo opposto all'unione, l'intersezione è tale per cui $A \subseteq B \rightarrow
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A \cap B = A$ (in particolare, $A \cap \emptyset = \emptyset$).
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\subsection{Relazioni tra l'operazione di intersezione e di unione}
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Si può facilmente dimostrare la seguente relazione, valida per qualunque scelta
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di insiemi $A$, $B$ e $C$: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
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\begin{proof}
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Prima di tutto, un elemento di entrambi i due insiemi appartiene obbligatoriamente a $C$:
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nel caso del primo membro, il motivo è banale; riguardo al secondo membro, invece, ci accorgiamo
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che esso appartiene almeno a uno dei due insiemi dell'unione, riconducendoci a un'intersezione
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con l'insieme $C$.
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Ogni elemento di $(A \cup B) \cap C$ appartiene inoltre ad almeno $A$ o $B$, e quindi,
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appartenendo anche a $C$, appartiene a $A \cap C$ o $B \cap C$, e quindi a $(A \cap C) \cup (B \cap C)$.
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Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
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In direzione opposta, ogni elemento di $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ appartiene almeno
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ad uno di dei due insiemi dell'unione. Per appartenere all'intersezione, tale elemento
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appartiene ad almeno $A$ o $B$; e quindi appartiene ad $A \cup B$. Appartenendo anche a $C$,
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appartiene anche $(A \cup B) \cap C$. Quindi $(A \cap C) \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap C$.
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Valendo l'inclusione in entrambe le direzioni, $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
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\end{proof}
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\section{L'operazione di sottrazione e di complemento}
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L'operazione di sottrazione su due insiemi $A$ e $B$ è definita come
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$A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$. Si può facilmente
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verificare che $A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
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\begin{proof}
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Ogni elemento di $A$ può appartenere o non appartenere a $B$: nel primo caso,
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appartiene anche a $A \cap B$, e quindi a $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$;
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altrimenti appartiene per definizione a $A \setminus B$, e quindi sempre
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a $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$. Pertanto $A \subseteq (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
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Ogni elemento di $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$ appartiene ad almeno uno
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dei due operandi dell'unione; in entrambi i casi deve appartenere ad $A$. Quindi
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$(A \cap B) \cup (A \setminus B) \subseteq A$.
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\end{proof}
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In particolare, se $B \subseteq A$, $A \setminus B$ si dice \textbf{complemento di $B$ in $A$}.
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L'operazione di complemento viene indicata con $A'$ qualora sia noto l'universo di riferimento $U$
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per cui $A' = U \setminus A$.
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\subsection{Le leggi di De Morgan}
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Si possono dimostrare le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
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\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
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\end{itemize}
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\begin{proof}[Prima legge di De Morgan]
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Un elemento che appartiene a $(A \cup B)'$ non appartiene né a $A$ né a $B$, e quindi
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appartiene sia a $A'$ che a $B'$, pertanto anche alla loro intersezione $A' \cap B'$
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[$(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$].
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Allo stesso modo, un elemento di $A' \cap B'$ non appartiene né ad $A$ né a $B$, e quindi
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non appartiene ad $A \cup B$, appartenendo dunque a $(A \cup B)'$
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[$A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$]. Pertanto $(A \cup B)' = A' \cap B'$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Seconda legge di De Morgan]
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Un elemento che appartiene a $(A \cap B)'$ può appartenere al più ad $A$ o esclusivamente
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a $B$; pertanto appartiene ad almeno $A'$ o $B'$, e qunidi alla loro unione
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[$(A \cap B)' \subseteq A' \cup B'$].
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Allo stesso modo, un elemento di $A' \cup B'$ appartiene ad almeno $A'$ o $B'$, e quindi
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non può appartenere a entrambi $A$ e $B$, appartenendo dunque a $(A \cap B)'$
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[$A' \cup B' \subseteq (A \cap B)'$]. Pertanto $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
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\end{proof}
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\subsection{La logica affrontata con gli insiemi}
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In modo veramente interessante, ogni operatore logico segue la logica
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dell'insiemistica (e viceversa); laddove l'operatore $\cup$ (o $\cap$) ha una certa proprietà,
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la soddisfa anche $\lor$ (o $\land$).
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Quindi valgono tutte le leggi sopracitate:
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\begin{itemize}
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\item $(a \lor b) \land c = (a \land c) \lor (b \land c)$
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\item $(a \land b) \lor c = (a \lor c) \land (b \lor c)$
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\item $\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$
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\item $\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$
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\end{itemize}
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\section{Il prodotto cartesiano}
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Il prodotto cartesiano di una famiglia ordinata di insiemi $F$ con un certo insieme
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di indici $T$ è l'insieme
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$\bigtimes_{t \in T} A_t = \{(a_{t_0}, a_{t_1}, \ldots) \mid a_{t_0} \in A_{t_0} \land
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a_{t_1} \in A_{t_1} \land \ldots\}$. In particolare, il prodotto cartesiano di
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due due insiemi $A$ e $B$ si indica con $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}$.
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Una $n$-tupla ordinata, ossia la forma in cui è raccolto un certo elemento di un prodotto cartesiano,
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è uguale ad una altra tupla se e solo se ogni elemento di una tupla è uguale a quello
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corrispondente in ordine dell'altra: pertanto, in generale, $(a, b) \neq (b, a)$.
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Inoltre, il prodotto cartesiano $A \times A$ viene indicato con $A^2$ (analogamente,
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$A^n = \bigtimes_{i=1}^{n} A$).
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\chapter{Relazioni di equivalenza e applicazioni}
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\section{Le relazioni di equivalenza}
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Utilizzando le nozioni di base della teoria degli
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insiemi è possibile definire formalmente il concetto
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di relazione di equivalenza.
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Dato un sottoinsieme $R$ di $A \times A$, $R$ si
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dice relazione di equivalenza se:
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\begin{itemize}
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\item $(a,a) \in R$ (proprietà riflessiva)
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\item $(a,b) \in R \implies (b,a) \in R$ (proprietà simmetrica)
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\item $(a,b), (b,c) \in R \implies (a,c) \in R$ (proprietà transitiva)
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\end{itemize}
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Tale definizione può essere semplificata
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implementando l'operazione binaria $\sim$ tale per cui
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$a\sim b \iff (a,b) \in R$. In questo modo, le condizioni
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di una relazione di equivalenza $R$ diventano:
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\begin{itemize}
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\item $a \sim a$
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\item $a \sim b \implies b \sim a$
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\item $a \sim b \land b \sim c \implies a \sim c$
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\end{itemize}
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\begin{lemma}
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Definita una relazione di equivalenza $R$ con operazione
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binaria $\sim$, $a \sim b \land c \sim b \implies a \sim c$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Dalla proprietà riflessiva di $R$, $c \sim b \implies b \sim c$.
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Verificandosi sia $a \sim b$ che $b \sim c$, si applica la proprietà
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transitiva di $R$, che implica $a \sim c$.
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\end{proof}
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\subsection{Classi di equivalenza}
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Si definisce classe di equivalenza di $a$ per un certo insieme
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$A$ e una certa relazione di equivalenza $R$ l'insieme
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$\cl(a)=\{x \in A \mid a \sim x\}$, ossia l'insieme di tutti i punti che
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si relazionano ad $a$ mediante tale relazione di equivalenza.
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\begin{theorem}
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Le classi di equivalenza partizionano l'insieme di relazione
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in insiemi a due a due disgiunti.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Prima di tutto è necessario dimostrare che l'unione di tutte
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le classi di equivalenza dà luogo all'insieme di relazione $A$.
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Per ogni elemento $a \in A$, $a$ appartiene a $\cl(a)$ per la proprietà
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riflessiva di $R$, ossia della relazione di equivalenza su cui
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$\cl$ è definita. Pertanto $\bigcup_{a \in A} \cl(a)$, che contiene solo
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elementi di $A$, è uguale ad $A$.
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In secondo luogo, è necessario dimostrare che le classi di equivalenza
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sono o disgiunte o identiche. Ponendo l'esistenza
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di un $a \in \cl(x) \, \cap \, \cl(y)$, la dimostrazione deriva dalle proprietà
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di $R$: sia $b \in cl(x)$, allora $b \sim a$; dunque, dal momento che $b \sim a$ e che
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$a \sim y$, $b \sim y$, ossia $\cl(x) \subseteq \cl(y)$ (analogamente si ottiene
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$\cl(y) \subseteq \cl(x)$, e quindi $\cl(x) = \cl(y)$).
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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Data una partizione di un insieme che lo compone in insiemi a due
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a due disgiunti, è sempre possibile costruire delle classi di equivalenza.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Vogliamo dimostrare che, data la stessa appartenenza ad un insieme come relazione,
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essa è una relazione di equivalenza.
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Sicuramente $a \sim a$ (proprietà riflessiva).
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Inoltre, $a \sim b \implies a, b \in A_\alpha \implies b \sim a$
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(proprietà simmetrica).
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Infine, $a \sim b, \, b \sim c \implies a, b, c \in A_\alpha \implies a \sim c$
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(proprietà transitiva).
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In particolare, dato $a \in A_\alpha$, $\cl(a) = A_\alpha$.
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\end{proof}
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\section{Le applicazioni}
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La nozione di applicazione di un insieme in un altro ci permette
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di generalizzare, ma soprattutto di definire, il concetto di
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funzione.
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\begin{definition}[Applicazione]
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Dati due insiemi $S$ e $T$, si dice che $\sigma$ è un'applicazione
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da $S$ a $T$, se $\sigma \subseteq (S \times T) \land \forall s \in S, \existsone
|
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||||||
t \in T \mid (s, t) \in \sigma$. Tale applicazione allora si scrive come
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||||||
$\sigma : S \to T$.
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\end{definition}
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Si scrive $\sigma : s \rightarrowtail \sigma(s)$ per sottintendere che
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||||||
$\forall \, (s, t) \in \sigma, (s, t) = (s, \sigma(t))$. Dato
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|
||||||
$t=\sigma(s)$, si dice che $t$ è l'\textit{immagine} di $s$ appartenente
|
|
||||||
al \textit{codominio} $T$, enunciato come $\Codom(\sigma)$, mentre $s$ è
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|
||||||
la \textit{preimmagine} di $t$, appartenente al \textit{dominio} $S$, detto
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||||||
$\Dom(\sigma)$. L'insieme ${(s, t) \in \Dom(\sigma) \times \Codom(\sigma) \mid (s, t) \in \sigma}$ è
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||||||
detto \textit{grafico} di $\sigma$, ossia $\Gr(\sigma)$.
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\subsection{Proprietà delle applicazioni}
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\begin{definition}[Iniettività]
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Un'applicazione si dice iniettiva se ad ogni immagine
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è corrisposto al più un elemento, ossia anche che
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$s_1 \neq s_2 \implies \sigma(s_1) \neq \sigma(s_2)$.
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\end{definition}
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||||||
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\begin{definition}[Surgettività]
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||||||
Un'applicazione si dice surgettiva (o talvolta \textit{su $T$}) se ad ogni immagine
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||||||
è corrisposto almeno un elemento, ossia anche che
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||||||
$\forall t \in T, \exists s \mid \sigma(s) = t$.
|
|
||||||
\end{definition}
|
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||||||
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||||||
\begin{definition}[Bigettività]
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||||||
Un'applicazione si dice bigettiva se è sia iniettiva che
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|
||||||
suriettiva, ossia se $\forall t \in T, \existsone s \in S
|
|
||||||
\mid \sigma(s) = t$.
|
|
||||||
\end{definition}
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|
||||||
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||||||
\subsection{Composizione di applicazioni}
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||||||
\begin{definition}[Composizione]
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||||||
Date due applicazioni $\sigma : S \to T$ e
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|
||||||
$\tau : T \to U$, si può definire
|
|
||||||
un'applicazione detta composizione
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||||||
$(\tau \circ \sigma) : S \to U$, tale per cui
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|
||||||
$(\tau \circ \sigma) : s \mapsto \tau(\sigma(s))$.
|
|
||||||
\end{definition}
|
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||||||
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|
||||||
Dobbiamo tuttavia assicurarci che tale applicazione
|
|
||||||
possa esistere, ossia verificare che $\forall s \in S \existsone
|
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||||||
u \in U \mid (s, u) \in S \times U$; quindi che $\tau(\sigma(s))$
|
|
||||||
sia unico. Tuttavia questa proprietà è banale: $\sigma(s)$ è Sicuramente
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|
||||||
unico poiché $\sigma$ è un'applicazione, e pertanto $\tau(\sigma(s))$ lo è,
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||||||
essendo anch'essa un'applicazione.
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||||||
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\subsubsection{Proprietà associativa della composizione}
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||||||
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||||||
È inoltre interessante dimostrare che la composizione rispetta la proprietà associativa,
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||||||
ossia che $(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$.
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||||||
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||||||
\begin{lemma}[Proprietà associativa della composizione]
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\label{lemma:associativita_composizione}
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Date tre applicazioni $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,
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$(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Preso un $a$ appartenente al dominio di $\gamma$, per il primo membro abbiamo:
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$$((\alpha \circ \beta) \circ \gamma)(a) = (\alpha \circ \beta)(\gamma(a)) =
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\alpha(\beta(\gamma(a)))$$
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||||||
Analogamente per il secondo membro abbiamo:
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$$(\alpha \circ (\beta \circ \gamma))(a) = \alpha((\beta \circ \gamma)(a)) =
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\alpha(\beta(\gamma(a)))$$
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\end{proof}
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\subsubsection{Iniettività, surgettività e bigettività della composizione}
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L'iniettività, la surgettività e la bigettività di una composizione sono
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ereditate dalle applicazioni di cui è composta se tutte queste le rispettano, ossia:
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\begin{itemize}
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||||||
\item $(\tau \circ \sigma)$ è iniettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
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||||||
\item $(\tau \circ \sigma)$ è surgettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
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||||||
\item $(\tau \circ \sigma)$ è bigettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
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\end{itemize}
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\begin{lemma}[Iniettività della composizione]
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\label{lemma:iniettivita_composizione}
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$(\tau \circ \sigma)$ è iniettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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||||||
Dal momento che $\sigma$ è iniettiva $s_1 \neq s_2 \implies \sigma(s_1) \neq \sigma(s_2)$,
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ma a sua volta, essendo $\tau$ iniettiva, $\sigma(s_1) \neq \sigma(s_2) \implies
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\tau(\sigma(s_1)) \neq \tau(\sigma(s_2))$.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[Surgettività della composizione]
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\label{lemma:surgettivita_composizione}
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$(\tau \circ \sigma)$ è surgettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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||||||
Dal momento che $\tau$ è surgettiva, allora $\forall u \in
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\Codom(\tau), \exists t \in \Dom(\tau) \mid u = \tau(t)$.
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||||||
Poiché $t \in \Codom(\sigma)$, allora, poiché anche
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||||||
$\sigma$ è surgettiva, $\exists s \in \Dom(\sigma) \mid
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t = \sigma(s)$. Pertanto $\exists s \in \Dom(\sigma) \mid
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||||||
u = \tau(\sigma(s))$.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[Bigettività della composizione]
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\label{lemma:bigettivita_composizione}
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||||||
$(\tau \circ \sigma)$ è bigettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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||||||
Se $\tau$ e $\sigma$ sono bigettive, sono sia iniettive che surgettive;
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pertanto $(\tau \circ \sigma)$ è sia iniettiva che bigettiva per i
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lemmi \ref{lemma:iniettivita_composizione} e
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||||||
\ref{lemma:surgettivita_composizione}.
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\end{proof}
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\section{Applicazione inversa}
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Qualora un'applicazione $\sigma : S \to T$ sia bigettiva, si dice che essa
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crea una \textit{corrispondenza biunivoca} tra $S$ e $T$, ossia che dato un
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||||||
elemento qualsiasi appartenente a $S$ è possibile associarlo ad un unico elemento
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|
||||||
di $T$, e viceversa. Questo è possibile dal momento che $\sigma$ è sia iniettiva
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||||||
($\forall t \in T, \existsone \lor \nexists s \in S \mid t = \sigma(s)$) che
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||||||
surgettiva ($\forall t \in T, \exists s \in S \mid t = \sigma(s)$), prescrivendo
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|
||||||
che $\forall t \in T, \existsone s \in S \mid t = \sigma(s)$.
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|
||||||
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||||||
Da questa conclusione è possibile definire l'\textit{applicazione inversa} di
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||||||
$\sigma$, detta $\sigma^{-1}$, che è l'applicazione che associa ad ogni $t \in T$
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||||||
un unico $s \in S$. Quindi, $t = \sigma(s) \iff s = \sigma^{-1} (t)$.
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||||||
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In particolare, $(\sigma \circ \sigma^{-1}) = (\sigma^{-1} \circ \sigma) = \Id$,
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||||||
ossia l'identità di $\sigma$, per la quale ogni elemento viene associato a sé stesso.
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||||||
Banalmente, per ogni applicazione $\alpha$, $(\alpha \circ \Id) = (\Id \circ \alpha) = \alpha$.
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\begin{lemma}
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\label{lemma:inversa_applicazione}
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$\sigma : S \to T$ è una corrispondenza biunivoca se e solo se
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esiste un'applicazione $\mu : T \to S$ tale per cui
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||||||
$(\sigma \circ \mu) = (\mu \circ \sigma) = \Id$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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||||||
Dal momento che $\sigma$ è bigettiva, $\sigma^{-1}$ esiste, e questa è
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tale per cui $(\sigma \circ \mu) = (\mu \circ \sigma) = \Id$.
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||||||
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||||||
In direzione opposta, se esiste una $\mu$ tale per cui $(\sigma \circ \mu) =
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||||||
(\mu \circ \sigma) = \Id$, allora:
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\begin{itemize}
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||||||
\item $\sigma$ è iniettiva: $\sigma(s_1) = \sigma(s_2) \implies
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||||||
\mu(\sigma(s_1)) = \mu(\sigma(s_2)) \implies s_1 = s_2$.
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|
||||||
\item $\sigma$ è surgettiva: $\forall t \in T, t = \sigma(\mu(t)) \implies
|
|
||||||
\exists s = \mu(t) \in S \mid t = \sigma(s)$.
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||||||
\end{itemize}
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||||||
\end{proof}
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||||||
\begin{lemma}[Unicità dell'applicazione inversa]
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Per ogni applicazione bigettiva $\sigma$, $\sigma^{-1}$ è unica.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Poniamo $\alpha \neq \beta$ come due applicazioni inverse distinte
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di $\sigma$. Allora $\alpha = \alpha \circ (\sigma \circ \beta) =
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(\alpha \circ \sigma) \circ \beta = \beta$, che è una contraddizione.
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||||||
\end{proof}
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||||||
\section{Il gruppo \texorpdfstring{$A(S)$}{A(S)} delle corrispondenze biunivoche}
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Si definisce $A(S)$ come l'insieme $\{\sigma : S \to S \mid \sigma \text{ sia biunivoca}\} =
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\{\sigma : S \to S \mid \forall s \in S \existsone t \in S \mid t = \sigma(s)\}$.
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Prendendo in considerazione l'operazione di composizione $\circ$, si può dimostrare
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che $(A(S), \circ)$ è un gruppo:
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\begin{itemize}
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||||||
\item $\forall \alpha, \beta \in A(S), \alpha \circ \beta \in A(S)$ (vd. Lemma \ref{lemma:bigettivita_composizione}).
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||||||
\item $\forall \alpha, \beta, \gamma \in A(S), (\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$ (vd. Lemma \ref{lemma:associativita_composizione}).
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||||||
\item $\exists \Id \in A(S) \mid \forall \alpha \in A(S), (\Id \circ \alpha) = (\alpha \circ \Id) = \alpha$.
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|
||||||
\item $\forall \alpha \in A(S), \exists \alpha^{-1} \in A(S) \mid (\alpha \circ \alpha^{-1}) = (\alpha^{-1} \circ \alpha) = \Id$ (vd. Lemma \ref{lemma:inversa_applicazione}).
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||||||
\end{itemize}
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||||||
\begin{lemma}
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||||||
Se $S$ consta di più di due elementi ($\nnorm{S} > 2$), allora esistono sicuramente
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||||||
due applicazioni $\alpha, \beta \in A(S)$ tale per cui $(\alpha \circ \beta) \neq
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||||||
(\beta \circ \alpha)$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Se $S$ consta di più di due elementi, $S$ possiede almeno tre elementi $s_1, s_2, s_3$,
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possiamo definire due applicazioni $\sigma$ e $\tau$ come segue:
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\begin{itemize}
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||||||
\item $\sigma(s_1) = s_2$, $\sigma(s_2) = s_3$, $\sigma(s_3) = s_1$.
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||||||
\item $\tau(s_1) = s_1$, $\tau(s_2) = s_3$, $\tau(s_3) = s_2$.
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|
||||||
\item $\sigma(a) = \tau(a) = a \forall a \notin \{s_1, s_2, s_3\}$.
|
|
||||||
\end{itemize}
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||||||
Allora $(\sigma \circ \tau)(s_1) = \sigma(s_1) = s_2$ e
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||||||
$(\tau \circ \sigma)(s_1) = \tau(s_2) = s_3$, ma $s_2 \neq s_3$.
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||||||
\end{proof}
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Binary file not shown.
@ -0,0 +1,762 @@
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% | \ %
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% ______ __ __ ______ _______ _______ _| ▓▓_ __ __ %
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% / \| \ / \| \| \ / \ ▓▓ \ | \ | \ %
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% | ▓▓▓▓▓▓\\▓▓\ / ▓▓ \▓▓▓▓▓▓\ ▓▓▓▓▓▓▓\ | ▓▓▓▓▓▓▓\▓▓▓▓▓▓ | ▓▓ | ▓▓ %
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% | ▓▓ ▓▓ \▓▓\ ▓▓ / ▓▓ ▓▓ | ▓▓ \▓▓ \ | ▓▓ __| ▓▓ | ▓▓ %
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% | ▓▓▓▓▓▓▓▓ \▓▓ ▓▓ | ▓▓▓▓▓▓▓ ▓▓ | ▓▓__ _\▓▓▓▓▓▓\ | ▓▓| \ ▓▓__/ ▓▓ %
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% \▓▓ \ \▓▓▓ \▓▓ ▓▓ ▓▓ | ▓▓ \ ▓▓ \▓▓ ▓▓\▓▓ ▓▓ %
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% \▓▓▓▓▓▓▓ \▓ \▓▓▓▓▓▓▓\▓▓ \▓▓\▓▓\▓▓▓▓▓▓▓ \▓▓▓▓ _\▓▓▓▓▓▓▓ %
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% | \__| ▓▓ %
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% \▓▓ ▓▓ %
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% \▓▓▓▓▓▓ %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
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% ░█▄█░▄▀▄░█░░▒█░░░▀█▀░▄▀▄░░░█▒█░▄▀▀▒██▀
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% ▒█▒█░▀▄▀░▀▄▀▄▀▒░░▒█▒░▀▄▀▒░░▀▄█▒▄██░█▄▄
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%
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||||||
|
% If you don't know how to use this file, read:
|
||||||
|
% +--------------------------------------------+
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||||||
|
% | https://web.evanchen.cc/faq-latex.html#L-4 |
|
||||||
|
% +--------------------------------------------+
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% TL;DR of the Boost license conditions are as follows:
|
||||||
|
%
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||||||
|
% 1. Any SOURCE VERSIONS must cite evan.sty and the Boost license below.
|
||||||
|
% 2. For COMPILED PDF OUTPUT, attribution of evan.sty is OPTIONAL (but nice).
|
||||||
|
% 3. NO OTHER REQUIREMENTS; you may modify, redistribute, sell freely.
|
||||||
|
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||||
|
%
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||||||
|
% BOOST SOFTWARE LICENSE - VERSION 1.0 - 17 AUGUST 2003
|
||||||
|
%
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||||||
|
% Copyright (c) 2022 Evan Chen [evan at evanchen.cc]
|
||||||
|
% https://web.evanchen.cc/ || github.com/vEnhance
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% Available for download at:
|
||||||
|
% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% Permission is hereby granted, free of charge, to any person or organization
|
||||||
|
% obtaining a copy of the software and accompanying documentation covered by
|
||||||
|
% this license (the "Software") to use, reproduce, display, distribute,
|
||||||
|
% execute, and transmit the Software, and to prepare derivative works of the
|
||||||
|
% Software, and to permit third-parties to whom the Software is furnished to
|
||||||
|
% do so, all subject to the following:
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% The copyright notices in the Software and this entire statement, including
|
||||||
|
% the above license grant, this restriction and the following disclaimer,
|
||||||
|
% must be included in all copies of the Software, in whole or in part, and
|
||||||
|
% all derivative works of the Software, unless such copies or derivative
|
||||||
|
% works are solely in the form of machine-executable object code generated by
|
||||||
|
% a source language processor.
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
|
||||||
|
% IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
|
||||||
|
% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE, TITLE AND NON-INFRINGEMENT. IN NO EVENT
|
||||||
|
% SHALL THE COPYRIGHT HOLDERS OR ANYONE DISTRIBUTING THE SOFTWARE BE LIABLE
|
||||||
|
% FOR ANY DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, TORT OR OTHERWISE,
|
||||||
|
% ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER
|
||||||
|
% DEALINGS IN THE SOFTWARE.
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
|
||||||
|
\ProvidesPackage{evan}
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||||||
|
%%fakesection Argument processing
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% Default Arguments
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|
% We include "Evan" in all of these to make sure
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||||||
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% that they don't collide with anything in external packages
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||||||
|
\newif\ifevanfancy\evanfancytrue
|
||||||
|
\newif\ifevanhdr\evanhdrtrue
|
||||||
|
\newif\ifevanhref\evanhreftrue
|
||||||
|
\newif\ifevansetup\evansetuptrue
|
||||||
|
\newif\ifevanthm\evanthmtrue
|
||||||
|
\newif\ifevansecthm\evansecthmfalse
|
||||||
|
\newif\ifevanht\evanhtfalse
|
||||||
|
\newif\ifevanpkg\evanpkgtrue
|
||||||
|
\newif\ifevanpdf\evanpdftrue
|
||||||
|
\newif\ifevanauthor\evanauthortrue
|
||||||
|
\newif\ifevanchinese\evanchinesefalse
|
||||||
|
\newif\ifevanmdthm\evanmdthmfalse
|
||||||
|
\newif\ifevandiagrams\evandiagramsfalse
|
||||||
|
\newif\ifevanpatchasy\evanpatchasyfalse
|
||||||
|
\newif\ifevanhints\evanhintsfalse
|
||||||
|
\newif\ifevanasy\evanasytrue
|
||||||
|
\newif\ifevancolorsec\evancolorsecfalse
|
||||||
|
\newif\ifevantitlemark\evantitlemarktrue
|
||||||
|
\newif\ifevanvonenabled\evanvonenabledfalse
|
||||||
|
\newif\ifevanbritish\evanbritishtrue
|
||||||
|
|
||||||
|
%Receive Arguments
|
||||||
|
\DeclareOption{chinese}{\evanhreffalse\evanchinesetrue} % Chinese support
|
||||||
|
% allow href to override this one
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||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{sexy}{\evansecthmtrue\evanmdthmtrue\evancolorsectrue} % long docs
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{fancy}{\evanfancytrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nofancy}{\evanfancyfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{hdr}{\evanhdrtrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nohdr}{\evanhdrfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{href}{\evanhreftrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nohref}{\evanhreffalse}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{nosetup}{\evansetupfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{thm}{\evanthmtrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nothm}{\evanthmfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{secthm}{\evansecthmtrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nosecthm}{\evansecthmfalse}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{ht}{\evanhttrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nopdf}{\evanpdffalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{nopkg}{\evanpkgfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{noauthor}{\evanauthorfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{titlemark}{\evantitlemarktrue} % Sets title in ohead, not \rightmark
|
||||||
|
\DeclareOption{sectionmark}{\evantitlemarkfalse} % Uses \rightmark not title in ohead
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{mdthm}{\evanmdthmtrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nomdthm}{\evanmdthmfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{diagrams}{\evandiagramstrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nodiagrams}{\evandiagramsfalse}
|
||||||
|
\DeclareOption{colorsec}{\evancolorsectrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{nocolorsec}{\evancolorsecfalse}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{patchasy}{\evanpatchasytrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{noasy}{\evanasyfalse}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{hints}{\evanhintstrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{von}{\evanvonenabledtrue}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclareOption{british}{\evanbritishtrue}
|
||||||
|
\DeclareOption{american}{\evanbritishfalse}
|
||||||
|
|
||||||
|
\ProcessOptions\relax
|
||||||
|
|
||||||
|
% if packages not loaded, turn off mdthm and asy
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|
\ifevanpkg\else\evanmdthmfalse\fi
|
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|
\ifevanpkg\else\evanasyfalse\fi
|
||||||
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||||||
|
% If no setup, turn off theorems
|
||||||
|
\ifevansetup\else\evanthmfalse\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Some macros
|
||||||
|
%Small commands
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||||||
|
\usepackage{amsmath,amssymb}
|
||||||
|
\usepackage{iftex}
|
||||||
|
\ifevanpkg
|
||||||
|
\usepackage[minimal]{yhmath}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
|
||||||
|
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
|
||||||
|
\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
|
||||||
|
\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
|
||||||
|
\newcommand{\ol}{\overline}
|
||||||
|
\newcommand{\ul}{\underline}
|
||||||
|
\newcommand{\wt}{\widetilde}
|
||||||
|
\newcommand{\wh}{\widehat}
|
||||||
|
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
|
||||||
|
%\renewcommand{\iff}{\Leftrightarrow}
|
||||||
|
%\renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
|
||||||
|
\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
|
||||||
|
\providecommand{\alert}{\vocab}
|
||||||
|
\providecommand{\half}{\frac{1}{2}}
|
||||||
|
\newcommand{\catname}{\mathsf}
|
||||||
|
\newcommand{\hrulebar}{
|
||||||
|
\par\hspace{\fill}\rule{0.95\linewidth}{.7pt}\hspace{\fill}
|
||||||
|
\par\nointerlineskip \vspace{\baselineskip}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%For use in author command
|
||||||
|
\newcommand{\plusemail}[1]{\\ \normalfont \texttt{\mailto{#1}}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%More commands and math operators
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\cis}{cis}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator*{\lcm}{lcm}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg min}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg max}
|
||||||
|
|
||||||
|
%Convenient Environments
|
||||||
|
\newenvironment{soln}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
|
||||||
|
\newenvironment{parlist}{\begin{inparaenum}[(i)]}{\end{inparaenum}}
|
||||||
|
\newenvironment{gobble}{\setbox\z@\vbox\bgroup}{\egroup}
|
||||||
|
|
||||||
|
%Inequalities
|
||||||
|
\newcommand{\cycsum}{\sum_{\mathrm{cyc}}}
|
||||||
|
\newcommand{\symsum}{\sum_{\mathrm{sym}}}
|
||||||
|
\newcommand{\cycprod}{\prod_{\mathrm{cyc}}}
|
||||||
|
\newcommand{\symprod}{\prod_{\mathrm{sym}}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
|
||||||
|
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
|
||||||
|
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
|
||||||
|
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
|
||||||
|
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
|
||||||
|
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
|
||||||
|
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
|
||||||
|
\newcommand{\charin}{\text{ char }}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\GL}{GL} % General linear group
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\SL}{SL} % Special linear group
|
||||||
|
|
||||||
|
%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
|
||||||
|
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
|
||||||
|
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
|
||||||
|
\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
|
||||||
|
\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
|
||||||
|
\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%From M275 "Topology" at SJSU
|
||||||
|
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
|
||||||
|
\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
|
||||||
|
\newcommand{\inv}{^{-1}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%From M170 "Introduction to Graph Theory" at SJSU
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
|
||||||
|
\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%From the USAMO .tex files
|
||||||
|
\newcommand{\ts}{\textsuperscript}
|
||||||
|
\newcommand{\dg}{^\circ}
|
||||||
|
\newcommand{\ii}{\item}
|
||||||
|
|
||||||
|
% From Math 55 and Math 145 at Harvard
|
||||||
|
\newenvironment{subproof}[1][Proof]{%
|
||||||
|
\begin{proof}[#1] \renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}}%
|
||||||
|
{\end{proof}}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
|
||||||
|
\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
|
||||||
|
\newcommand{\opname}{\operatorname}
|
||||||
|
\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
|
||||||
|
\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
|
||||||
|
\newcommand{\On}{\mathrm{On}} % ordinals
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\img}{im} % Image
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Img}{Im} % Image
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\coker}{coker} % Cokernel
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} % Cokernel
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} % Kernel
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} % spectrum
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} % trace
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\pr}{pr} % projection
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\ext}{ext} % extension
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\pred}{pred} % predecessor
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\dom}{dom} % domain
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\ran}{ran} % range
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} % homomorphism
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor} % morphisms
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\End}{End} % endomorphism
|
||||||
|
|
||||||
|
% Things Lie
|
||||||
|
\newcommand{\kb}{\mathfrak b}
|
||||||
|
\newcommand{\kg}{\mathfrak g}
|
||||||
|
\newcommand{\kh}{\mathfrak h}
|
||||||
|
\newcommand{\kn}{\mathfrak n}
|
||||||
|
\newcommand{\ku}{\mathfrak u}
|
||||||
|
\newcommand{\kz}{\mathfrak z}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} % Ext functor
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} % Tor functor
|
||||||
|
\newcommand{\gl}{\opname{\mathfrak{gl}}} % frak gl group
|
||||||
|
% \renewcommand{\sl}{\opname{\mathfrak{sl}}} % frak sl group chktex 6
|
||||||
|
|
||||||
|
% More script letters etc.
|
||||||
|
\newcommand{\SA}{\mathcal A}
|
||||||
|
\newcommand{\SB}{\mathcal B}
|
||||||
|
\newcommand{\SC}{\mathcal C}
|
||||||
|
\newcommand{\SF}{\mathcal F}
|
||||||
|
\newcommand{\SG}{\mathcal G}
|
||||||
|
\newcommand{\SH}{\mathcal H}
|
||||||
|
\newcommand{\OO}{\mathcal O}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand{\SCA}{\mathscr A}
|
||||||
|
\newcommand{\SCB}{\mathscr B}
|
||||||
|
\newcommand{\SCC}{\mathscr C}
|
||||||
|
\newcommand{\SCD}{\mathscr D}
|
||||||
|
\newcommand{\SCE}{\mathscr E}
|
||||||
|
\newcommand{\SCF}{\mathscr F}
|
||||||
|
\newcommand{\SCG}{\mathscr G}
|
||||||
|
\newcommand{\SCH}{\mathscr H}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Mathfrak primes
|
||||||
|
\newcommand{\km}{\mathfrak m}
|
||||||
|
\newcommand{\kp}{\mathfrak p}
|
||||||
|
\newcommand{\kq}{\mathfrak q}
|
||||||
|
|
||||||
|
%% Napkin commands
|
||||||
|
\newcommand{\prototype}[1]{
|
||||||
|
\emph{{\color{red} Prototypical example for this section:} #1} \par\medskip
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\newenvironment{moral}{%
|
||||||
|
\begin{mdframed}[linecolor=green!70!black]%
|
||||||
|
\bfseries\color{green!70!black}}%
|
||||||
|
{\end{mdframed}}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Asymptote setup
|
||||||
|
\ifevanasy
|
||||||
|
\ifevanpatchasy
|
||||||
|
\usepackage{patch-asy}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\usepackage{asymptote}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\begin{asydef}
|
||||||
|
defaultpen(fontsize(10pt));
|
||||||
|
size(8cm); // set a reasonable default
|
||||||
|
usepackage("amsmath");
|
||||||
|
usepackage("amssymb");
|
||||||
|
settings.tex="pdflatex";
|
||||||
|
settings.outformat="pdf";
|
||||||
|
// Replacement for olympiad+cse5 which is not standard
|
||||||
|
import geometry;
|
||||||
|
// recalibrate fill and filldraw for conics
|
||||||
|
void filldraw(picture pic = currentpicture, conic g, pen fillpen=defaultpen, pen drawpen=defaultpen)
|
||||||
|
{ filldraw(pic, (path) g, fillpen, drawpen); }
|
||||||
|
void fill(picture pic = currentpicture, conic g, pen p=defaultpen)
|
||||||
|
{ filldraw(pic, (path) g, p); }
|
||||||
|
// some geometry
|
||||||
|
pair foot(pair P, pair A, pair B) { return foot(triangle(A,B,P).VC); }
|
||||||
|
pair orthocenter(pair A, pair B, pair C) { return orthocentercenter(A,B,C); }
|
||||||
|
pair centroid(pair A, pair B, pair C) { return (A+B+C)/3; }
|
||||||
|
// cse5 abbreviations
|
||||||
|
path CP(pair P, pair A) { return circle(P, abs(A-P)); }
|
||||||
|
path CR(pair P, real r) { return circle(P, r); }
|
||||||
|
pair IP(path p, path q) { return intersectionpoints(p,q)[0]; }
|
||||||
|
pair OP(path p, path q) { return intersectionpoints(p,q)[1]; }
|
||||||
|
path Line(pair A, pair B, real a=0.6, real b=a) { return (a*(A-B)+A)--(b*(B-A)+B); }
|
||||||
|
// cse5 more useful functions
|
||||||
|
picture CC() {
|
||||||
|
picture p=rotate(0)*currentpicture;
|
||||||
|
currentpicture.erase();
|
||||||
|
return p;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
pair MP(Label s, pair A, pair B = plain.S, pen p = defaultpen) {
|
||||||
|
Label L = s;
|
||||||
|
L.s = "$"+s.s+"$";
|
||||||
|
label(L, A, B, p);
|
||||||
|
return A;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
pair Drawing(Label s = "", pair A, pair B = plain.S, pen p = defaultpen) {
|
||||||
|
dot(MP(s, A, B, p), p);
|
||||||
|
return A;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
path Drawing(path g, pen p = defaultpen, arrowbar ar = None) {
|
||||||
|
draw(g, p, ar);
|
||||||
|
return g;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\end{asydef}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection BEGIN MAIN SETUP
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
|
||||||
|
\ifevansetup
|
||||||
|
%%fakesection Set up author and date
|
||||||
|
\ifevanauthor
|
||||||
|
\title{} % empty title to avoid crashes
|
||||||
|
\ifluatex
|
||||||
|
\author{Evan Chen《陳誼廷》}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\author{Evan Chen}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\date{\today}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
%%fakesection Hyperref
|
||||||
|
\ifevanpkg
|
||||||
|
\PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
|
||||||
|
\usepackage{xcolor}
|
||||||
|
\ifevanhref
|
||||||
|
\usepackage[colorlinks=false]{hyperref}
|
||||||
|
\hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\usepackage[nameinlink]{cleveref}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection New Theorem Styles
|
||||||
|
\ifevanthm
|
||||||
|
\usepackage{amsthm}
|
||||||
|
\usepackage{thmtools}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\ifevanmdthm
|
||||||
|
\ifevanthm
|
||||||
|
%% theorem packages loaded already
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\usepackage{amsthm}
|
||||||
|
\usepackage{thmtools}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed}
|
||||||
|
|
||||||
|
\mdfdefinestyle{mdbluebox}{%
|
||||||
|
roundcorner=10pt,
|
||||||
|
linewidth=1pt,
|
||||||
|
skipabove=12pt,
|
||||||
|
innerbottommargin=9pt,
|
||||||
|
skipbelow=2pt,
|
||||||
|
linecolor=blue,
|
||||||
|
nobreak=true,
|
||||||
|
backgroundcolor=TealBlue!5,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\declaretheoremstyle[
|
||||||
|
headfont=\sffamily\bfseries\color{MidnightBlue},
|
||||||
|
mdframed={style=mdbluebox},
|
||||||
|
headpunct={\\[3pt]},
|
||||||
|
postheadspace={0pt}
|
||||||
|
]{thmbluebox}
|
||||||
|
|
||||||
|
\mdfdefinestyle{mdredbox}{%
|
||||||
|
linewidth=0.5pt,
|
||||||
|
skipabove=12pt,
|
||||||
|
frametitleaboveskip=5pt,
|
||||||
|
frametitlebelowskip=0pt,
|
||||||
|
skipbelow=2pt,
|
||||||
|
frametitlefont=\bfseries,
|
||||||
|
innertopmargin=4pt,
|
||||||
|
innerbottommargin=8pt,
|
||||||
|
nobreak=true,
|
||||||
|
backgroundcolor=Salmon!5,
|
||||||
|
linecolor=RawSienna,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\declaretheoremstyle[
|
||||||
|
headfont=\bfseries\color{RawSienna},
|
||||||
|
mdframed={style=mdredbox},
|
||||||
|
headpunct={\\[3pt]},
|
||||||
|
postheadspace={0pt},
|
||||||
|
]{thmredbox}
|
||||||
|
|
||||||
|
\mdfdefinestyle{mdgreenbox}{%
|
||||||
|
skipabove=8pt,
|
||||||
|
linewidth=2pt,
|
||||||
|
rightline=false,
|
||||||
|
leftline=true,
|
||||||
|
topline=false,
|
||||||
|
bottomline=false,
|
||||||
|
linecolor=ForestGreen,
|
||||||
|
backgroundcolor=ForestGreen!5,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\declaretheoremstyle[
|
||||||
|
headfont=\bfseries\sffamily\color{ForestGreen!70!black},
|
||||||
|
bodyfont=\normalfont,
|
||||||
|
spaceabove=2pt,
|
||||||
|
spacebelow=1pt,
|
||||||
|
mdframed={style=mdgreenbox},
|
||||||
|
headpunct={ --- },
|
||||||
|
]{thmgreenbox}
|
||||||
|
|
||||||
|
\mdfdefinestyle{mdblackbox}{%
|
||||||
|
skipabove=8pt,
|
||||||
|
linewidth=3pt,
|
||||||
|
rightline=false,
|
||||||
|
leftline=true,
|
||||||
|
topline=false,
|
||||||
|
bottomline=false,
|
||||||
|
linecolor=black,
|
||||||
|
backgroundcolor=RedViolet!5!gray!5,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\declaretheoremstyle[
|
||||||
|
headfont=\bfseries,
|
||||||
|
bodyfont=\normalfont\small,
|
||||||
|
spaceabove=0pt,
|
||||||
|
spacebelow=0pt,
|
||||||
|
mdframed={style=mdblackbox}
|
||||||
|
]{thmblackbox}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand{\listhack}{$\empty$\vspace{-2em}}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Theorem setup
|
||||||
|
\ifevanthm
|
||||||
|
\theoremstyle{definition}
|
||||||
|
%Branching here: the option secthm changes theorems to be labelled by section
|
||||||
|
\ifevanmdthm
|
||||||
|
\ifevansecthm
|
||||||
|
\declaretheorem[%
|
||||||
|
style=thmbluebox,name=Teorema,numberwithin=section]{theorem}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\declaretheorem[%
|
||||||
|
style=thmbluebox,name=Teorema]{theorem}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\ifevansecthm
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Theorem,numberwithin=section]{theorem}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Theorem]{theorem}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
\ifevanmdthm
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Algoritmo,sibling=theorem]{algorithm}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Algoritmo,numbered=no]{algorithm*}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,sibling=theorem]{claim}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,numbered=no]{claim*}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Algoritmo,sibling=theorem]{algorithm}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Algoritmo,numbered=no]{algorithm*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Claim,sibling=theorem]{claim}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Claim,numbered=no]{claim*}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
\ifevanmdthm
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,sibling=theorem]{example}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,numbered=no]{example*}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Esempio,sibling=theorem]{example}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Esempio,numbered=no]{example*}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
% Remark-style theorems
|
||||||
|
%\theoremstyle{remark}
|
||||||
|
\ifevanmdthm
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmblackbox,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmblackbox,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Congettura,sibling=theorem]{conjecture}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Definizione,numbered=no]{definition*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Esercizio,sibling=theorem]{exercise}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Fatto noto,sibling=theorem]{fact}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Fatto noto,numbered=no]{fact*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Problema,sibling=theorem]{problem}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Domanda,sibling=theorem]{ques}
|
||||||
|
\declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\ifevanpkg
|
||||||
|
\Crefname{claim}{Claim}{Claims}
|
||||||
|
\Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
|
||||||
|
\Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizio}
|
||||||
|
\Crefname{fact}{Fatto noto}{Fatti noti}
|
||||||
|
\Crefname{problem}{Problema}{Problemi}
|
||||||
|
\Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Fancy section and chapter heads
|
||||||
|
\ifevancolorsec
|
||||||
|
\@ifundefined{KOMAClassName}{}{
|
||||||
|
\@ifundefined{chapter}{}{
|
||||||
|
\addtokomafont{partprefix}{\rmfamily}
|
||||||
|
\renewcommand*{\partformat}{\color{purple}
|
||||||
|
\scalebox{2.5}{\thepart}\enlargethispage{2em}}
|
||||||
|
\addtokomafont{chapterprefix}{\raggedleft}
|
||||||
|
\RedeclareSectionCommand[beforeskip=0.5em]{chapter}
|
||||||
|
\renewcommand*{\chapterformat}{\mbox{%
|
||||||
|
\scalebox{1.5}{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}}%
|
||||||
|
\scalebox{2.718}{\color{purple}\thechapter}\enskip}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\renewcommand*{\sectionformat}%
|
||||||
|
{\color{purple}\S\thesection\enskip}
|
||||||
|
\renewcommand*{\subsectionformat}%
|
||||||
|
{\color{purple}\S\thesubsection\enskip}
|
||||||
|
\renewcommand*{\subsubsectionformat}%
|
||||||
|
{\color{purple}\S\thesubsubsection\enskip}
|
||||||
|
\KOMAoptions{numbers=noenddot}
|
||||||
|
%\usetocstyle{KOMAlike}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Loads a bunch of useful packages (but allow disabling)
|
||||||
|
\ifevanpkg
|
||||||
|
\ifevanvonenabled
|
||||||
|
\IfFileExists{von.sty}{\usepackage{von}}{}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\usepackage{listings}
|
||||||
|
\usepackage{mathrsfs}
|
||||||
|
\usepackage{textcomp}
|
||||||
|
\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
|
||||||
|
backgroundcolor=\color{green!2!white},
|
||||||
|
breakatwhitespace=true,
|
||||||
|
breaklines=true,
|
||||||
|
commentstyle=\color{green!70!black},
|
||||||
|
frame=shadowbox,
|
||||||
|
frame=single,
|
||||||
|
identifierstyle=\color{green!20!black},
|
||||||
|
keywordstyle=\bfseries,
|
||||||
|
keywordstyle=\bfseries\color{blue},
|
||||||
|
numbers=left,
|
||||||
|
numbersep=5pt,
|
||||||
|
numberstyle=\tiny\sffamily\itshape\color{black!60},
|
||||||
|
rulecolor=\color{blue!70!black},
|
||||||
|
rulesepcolor=\color{blue!30!black},
|
||||||
|
showstringspaces=false,
|
||||||
|
stringstyle=\color{orange},
|
||||||
|
tabsize=4,
|
||||||
|
} % chktex 6
|
||||||
|
\lstdefinelanguage{gitcommit}{
|
||||||
|
alsoletter={:},
|
||||||
|
morecomment=[l]{|},
|
||||||
|
morekeywords={commit,Author:,Date:,chore,doc,edit,feat,fix,polish,style,tests,},
|
||||||
|
sensitive=true,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\lstdefinelanguage{gitlog}{
|
||||||
|
morekeywords={chore,doc,edit,feat,fix,polish,style,tests,},
|
||||||
|
morecomment=[s]{[}{]}, % chktex 9
|
||||||
|
sensitive=true,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
|
||||||
|
\usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
|
||||||
|
\usepackage{textcomp}
|
||||||
|
\usepackage{multirow}
|
||||||
|
% Tiny optimizations:
|
||||||
|
\usepackage{mathtools}
|
||||||
|
\usepackage{microtype}
|
||||||
|
\usepackage{xstring}
|
||||||
|
\usepackage{wrapfig}
|
||||||
|
\ifevanbritish
|
||||||
|
% Use day-first date format
|
||||||
|
\usepackage[cleanlook,british]{isodate}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
% a list I like for walkthrough's --- Drew-style parts
|
||||||
|
\newlist{walk}{enumerate}{3}
|
||||||
|
\setlist[walk]{label=\bfseries (\alph*)}
|
||||||
|
% list item for MO style rubrics
|
||||||
|
\newcommand{\worth}[1]{\def\hfill{\hskip 20pt plus 1fill}\dotfill%
|
||||||
|
\IfEq{#1}{0}{\textbf{0~points}}%
|
||||||
|
{\textbf{\color{blue}#1~point\IfEndWith{#1}{1}{}{s}}}%
|
||||||
|
\par}
|
||||||
|
\newcommand{\subworth}[1]{\def\hfill{\hskip 20pt plus 1fill}\dotfill%
|
||||||
|
\IfEq{#1}{0}{{\footnotesize0~points}}%
|
||||||
|
{\textbf{\footnotesize#1~point\IfEndWith{#1}{1}{}{s}}}%
|
||||||
|
\par}
|
||||||
|
\newlist{rubric}{enumerate}{2}
|
||||||
|
\setlist[rubric,1]{label=\Roman*.}
|
||||||
|
\setlist[rubric,2]{label=(\Roman{rubrici}.\alph*)}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection \maketitle configuration
|
||||||
|
\@ifundefined{KOMAClassName}%
|
||||||
|
{} % do nothing outside KOMA class
|
||||||
|
{% If KOMA exists. . .
|
||||||
|
\addtokomafont{subtitle}{\Large}
|
||||||
|
\setkomafont{author}{\Large\scshape}
|
||||||
|
\setkomafont{date}{\Large\normalsize}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\providecommand{\thetitle}{\@title}
|
||||||
|
\providecommand{\theauthor}{\@author}
|
||||||
|
\providecommand{\thedate}{\@date}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Commutative diagrams support
|
||||||
|
\ifevandiagrams
|
||||||
|
\usepackage{tikz-cd}
|
||||||
|
\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Page Setup
|
||||||
|
\ifevanfancy
|
||||||
|
\@ifundefined{KOMAClassName}
|
||||||
|
{
|
||||||
|
\usepackage{fancyhdr}
|
||||||
|
\setlength{\headheight}{0.75in}
|
||||||
|
\setlength{\oddsidemargin}{0in}
|
||||||
|
\setlength{\evensidemargin}{0in}
|
||||||
|
\setlength{\voffset}{-1.0in}
|
||||||
|
\setlength{\headsep}{10pt}
|
||||||
|
\setlength{\textwidth}{6.5in}
|
||||||
|
\setlength{\headwidth}{6.5in}
|
||||||
|
\setlength{\textheight}{8.75in}
|
||||||
|
\setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
|
||||||
|
\setlength{\footskip}{0.3in}
|
||||||
|
\ifevanhdr
|
||||||
|
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
|
||||||
|
\renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}
|
||||||
|
\pagestyle{fancy}
|
||||||
|
\lhead{Evan Chen}
|
||||||
|
\chead{}
|
||||||
|
\rhead{\nouppercase{\leftmark}}
|
||||||
|
\lfoot{}
|
||||||
|
\cfoot{\thepage}
|
||||||
|
\rfoot{}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{
|
||||||
|
\usepackage[headsepline]{scrlayer-scrpage}
|
||||||
|
\renewcommand{\headfont}{}
|
||||||
|
\addtolength{\textheight}{3.14cm}
|
||||||
|
\setlength{\footskip}{0.5in}
|
||||||
|
\setlength{\headsep}{10pt}
|
||||||
|
\ihead{\footnotesize\textbf{\theauthor} --- \thedate}
|
||||||
|
\automark{section}
|
||||||
|
\chead{}
|
||||||
|
\ohead{\footnotesize\textbf{\thetitle}}
|
||||||
|
\cfoot{\pagemark}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Unicode
|
||||||
|
\ifevanpkg
|
||||||
|
\ifluatex
|
||||||
|
\usepackage{fontspec}
|
||||||
|
% https://tex.stackexchange.com/a/572220/76888
|
||||||
|
\directlua{luaotfload.add_fallback
|
||||||
|
("evans_fallbacks",
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"NotoColorEmoji:mode=harf;",
|
||||||
|
"Source Han Sans TW:style=Regular;",
|
||||||
|
"Noto Serif CJK SC:style=Regular;",
|
||||||
|
}
|
||||||
|
)}
|
||||||
|
\setmainfont{lmroman10-regular}[
|
||||||
|
BoldFont=lmroman10-bold,
|
||||||
|
ItalicFont=lmroman10-italic,
|
||||||
|
BoldItalicFont=lmroman10-bolditalic,
|
||||||
|
SlantedFont=lmromanslant10-regular,
|
||||||
|
BoldSlantedFont=lmromanslant10-bold,
|
||||||
|
SmallCapsFont=lmromancaps10-regular,
|
||||||
|
RawFeature={fallback=evans_fallbacks}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\setsansfont{lmsans10-regular}[
|
||||||
|
BoldFont=lmsans10-bold,
|
||||||
|
ItalicFont=lmsans10-oblique,
|
||||||
|
BoldItalicFont=lmsans10-boldoblique,
|
||||||
|
RawFeature={fallback=evans_fallbacks}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\else
|
||||||
|
\ifevanchinese
|
||||||
|
\usepackage{babel}
|
||||||
|
\usepackage[encapsulated]{CJK}
|
||||||
|
\usepackage{ucs}
|
||||||
|
\usepackage[utf8x]{inputenc}
|
||||||
|
\newenvironment{bsmi}{\begin{CJK}{UTF8}{bsmi}}{\end{CJK}}
|
||||||
|
\newcommand{\cn}[1]{\begin{bsmi}#1\end{bsmi}}
|
||||||
|
\AtBeginDocument{\begin{CJK}{UTF8}{bsmi}}
|
||||||
|
\AtEndDocument{\end{CJK}}
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
|
||||||
|
%%fakesection Hints
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||||||
|
\ifevanhints
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||||||
|
\usepackage{answers}
|
||||||
|
\Newassociation{hint}{hintitem}{hints}
|
||||||
|
\renewcommand{\solutionextension}{out}
|
||||||
|
\Opensolutionfile{hints}
|
||||||
|
\newcommand{\makehints}{\Closesolutionfile{hints}\input{hints.out}} % chktex 27
|
||||||
|
\fi
|
||||||
|
%%fakesection END MAIN SETUP
|
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\fi
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Binary file not shown.
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