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\chapter*{Premessa}
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TODO
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\chapter{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
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Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
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fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
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a \cite[pp.~142-143]{di2013algebra}, avvisando della sua
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estrema tecnicità. Una dimostrazione a tema strettamente
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algebrico è dovuta invece al matematico francese Laplace (1749 -- 1827), per la quale
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si rimanda a \cite[pp.~120-122]{Remmert1991}.}.
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\begin{theorem}[\textit{Teorema fondamentale dell'Algebra}]
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\label{th:algebra}
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Un polinomio non costante $f(x) \in \CCx$ ammette sempre almeno una radice in
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$\CC$.
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\end{theorem}
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\begin{corollary}
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Sia $f(x) \in \CCx$ di grado $n\geq1$. Allora $f(x)$ ammette
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esattamente $n$ radici, contate con la giusta molteplicità.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Sia $\zeta_1$ una radice complessa di $f(x)$, la cui esistenza
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è garantita dal \nameref{th:algebra}. Si divida $f(x)$ per
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$(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
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ignori il resto, che
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per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
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è nullo. \\
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Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
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posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo,
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e si chiami infine questo quoziente di grado nullo $\alpha$.
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Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
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ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini esattamente
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dopo $n$ iterazioni. Pertanto, $f(x)$ a priori ha almeno $n$ radici. \\
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In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
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\begin{equation}
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\label{eq:fattorizzazione_fx__reali}
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f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_n).
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\end{equation}
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\vskip 0.1in
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Dal momento che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq n$
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e dacché $\KKx$, in quanto anello euclideo, è un UFD, si dimostra
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che \eqref{eq:fattorizzazione_fx__reali} è l'unica fattorizzazione di
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$f(x)$, a meno di associati. Pertanto $f(x)$ ammette esattamente
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$n$ radici.
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\end{proof}
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\title{L'Algebrario}
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\subtitle{dispense del corso di Aritmetica}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}}
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\maketitle
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\include{0. Premessa}
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\tableofcontents
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\include{1. Introduzione alla teoria degli anelli}
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\include{2. Anelli euclidei, PID e UFD}
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\include{3. Esempi notevoli di anelli euclidei}
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\include{4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]}
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\include{5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]}
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\include{6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche}
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\include{7. Estensioni algebriche di K}
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\include{8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
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\include{9. Introduzione a teoria dei campi}
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\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
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\include{11. Polinomi simmetrici e Teorema fondamentale dell'Algebra}
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\chapter{Riferimenti bibliografici}
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\printbibliography[heading=none]
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\end{document}
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@book{di2013algebra,
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title={Algebra},
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author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
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isbn={9788867410958},
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series={Didattica e Ricerca. Manuali},
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year={2013},
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publisher={Pisa University Press},
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shorthand={DM}
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@book{herstein2010algebra,
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title={Algebra},
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author={Herstein, I.N.},
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isbn={9788864732107},
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year={2010},
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publisher={Editori Riuniti University Press},
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@Inbook{Remmert1991,
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author="Remmert, R.",
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title="The Fundamental Theorem of Algebra",
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bookTitle="Numbers",
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year="1991",
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publisher="Springer New York",
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address="New York, NY",
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pages="97--122",
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isbn="978-1-4612-1005-4",
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ISSN = {00029890, 19300972},
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URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
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author = {M. A. Jodeit},
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||||||
journal = {The American Mathematical Monthly},
|
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||||||
number = {7},
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pages = {835--836},
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publisher = {Mathematical Association of America},
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title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
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volume = {74},
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year = {1967}
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publisher={Editori Riuniti University Press},
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% Original file:
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% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
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% TL;DR of the Boost license conditions are as follows:
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% 1. Any SOURCE VERSIONS must cite evan.sty and the Boost license below.
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% 2. For COMPILED PDF OUTPUT, attribution of evan.sty is OPTIONAL (but nice).
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% 3. NO OTHER REQUIREMENTS; you may modify, redistribute, sell freely.
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% BOOST SOFTWARE LICENSE - VERSION 1.0 - 17 AUGUST 2003
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% Copyright (c) 2022 Evan Chen [evan at evanchen.cc]
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% https://web.evanchen.cc/ || github.com/vEnhance
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% Available for download at:
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% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
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%
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|
% Permission is hereby granted, free of charge, to any person or organization
|
||||||
|
% obtaining a copy of the software and accompanying documentation covered by
|
||||||
|
% this license (the "Software") to use, reproduce, display, distribute,
|
||||||
|
% execute, and transmit the Software, and to prepare derivative works of the
|
||||||
|
% Software, and to permit third-parties to whom the Software is furnished to
|
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% do so, all subject to the following:
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%
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% The copyright notices in the Software and this entire statement, including
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% the above license grant, this restriction and the following disclaimer,
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|
% must be included in all copies of the Software, in whole or in part, and
|
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|
% all derivative works of the Software, unless such copies or derivative
|
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% works are solely in the form of machine-executable object code generated by
|
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% a source language processor.
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%
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|
% THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
|
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|
% IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
|
||||||
|
% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE, TITLE AND NON-INFRINGEMENT. IN NO EVENT
|
||||||
|
% SHALL THE COPYRIGHT HOLDERS OR ANYONE DISTRIBUTING THE SOFTWARE BE LIABLE
|
||||||
|
% FOR ANY DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, TORT OR OTHERWISE,
|
||||||
|
% ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER
|
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|
% DEALINGS IN THE SOFTWARE.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\ProvidesPackage{evan_notes}
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\setlength\parindent{0pt}
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\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
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\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}}
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\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
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\newcommand{\ZZsqrt}[1]{\mathbb{Z}[\sqrt{#1}]}
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\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
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\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
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\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
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% evan.sty original commands
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\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
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\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
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\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
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\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
|
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\providecommand{\alert}{\vocab}
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\newcommand{\catname}{\mathsf}
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\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
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% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
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\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
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\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
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\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
|
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|
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
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|
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
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%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
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\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
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\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
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\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
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% From M275 "Topology" at SJSU
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\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
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\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
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\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
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% From the USAMO .tex files
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\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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\title{}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
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\usepackage[nameinlink]{cleveref}
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\usepackage{amsthm}
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|
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,numbered=no]{example*}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,numbered=no]{definition*}
|
||||||
|
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|
||||||
|
\declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
|
||||||
|
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|
||||||
|
\declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
|
||||||
|
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|
||||||
|
\declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
|
||||||
|
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|
||||||
|
\declaretheorem[name=Asserzione,numbered=no]{fact*}
|
||||||
|
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|
||||||
|
\declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
|
||||||
|
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|
||||||
|
\declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\Crefname{claim}{Claim}{Claim}
|
||||||
|
\Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
|
\Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
|
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|
|
||||||
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|
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\@ifundefined{chapter}{}{
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\addtokomafont{partprefix}{}
|
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||||||
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|
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\renewcommand*{\chapterformat}{}
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}
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\ihead{\footnotesize\textbf{\rightmark}}
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\KOMAoptions{twoside=false}
|
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Before Width: | Height: | Size: 93 KiB After Width: | Height: | Size: 93 KiB |
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