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Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex

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 		\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_i \lambda_{i,j} S_{i,j}$. Inoltre $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_i \lambda_{i,j} = \sum_{i=1}^n \lambda_i (\sum_{j=1}^{k_i}  \lambda_{i,j}) = \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$.
 		Pertanto $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i$ è combinazione affine di elementi di $S$, e quindi $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i \in \Aff(S)$. \\
 		
-		\li Siano $P_1$, $P_2 \in E$. Allora il sottospazio affine $\Aff(P_1, P_2) = \{ \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 \mid \lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_1, \lambda_2 \in \KK \} = \{ (1-\lambda) P_1 + \lambda P_2 \mid \lambda \in \KK \} = \{ P_1 + \lambda (P_2 - P_1) \mid \lambda \in \KK \}$ è detto \textit{retta affine passante per $P_1$ e $P_2$}. Analogamente il sottospazio affine generato da tre elementi è detto \textit{piano affine}.
+		\li Siano $P_1$, $P_2 \in E$. Allora il sottospazio affine $\Aff(P_1, P_2) = \{ \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 \mid \lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_1, \lambda_2 \in \KK \} = \{ (1-\lambda) P_1 + \lambda P_2 \mid \lambda \in \KK \} = \{ P_1 + \lambda (P_2 - P_1) \mid \lambda \in \KK \}$ è detto \textit{retta affine passante per $P_1$ e $P_2$}. Analogamente il sottospazio affine generato da tre elementi è detto \textit{piano affine}. \\
+		
+		\li Dato un insieme di punti $S \subseteq E$, $\Aff(S)$ è il più piccolo sottospazio affine, per inclusione,
+		contenente $S$. Infatti, se $T$ è un sottospazio affine contenente $S$, per definizione $T$ deve
+		contenere tutte le combinazioni affini di $S$, e quindi $\Aff(S)$.
 	\end{remark}
 \end{document}

Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex

@@ -0,0 +1,175 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{28 aprile 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Indipendenza e applicazioni affini}
+	\end{center}
+	
+	Fissato un origine $O$ dello spazio affine, si possono sempre considerare due
+	bigezioni:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item La bigezione $i_O : E \to V$ tale che $i(P) = P - O \in V$,
+		\item La bigezione $j_O : V \to E$ tale che $j(\v) = O + \v \in E$.
+	\end{itemize}
+	
+	Si osserva inoltre che $i_O$ e $j_O$ sono l'una la funzione inversa dell'altra.
+	
+	Dato uno spazio vettoriale $V$ su $\KK$ di dimensione $n$, si può considerare $V$ stesso
+	come uno spazio affine, denotato  con le usuali operazioni:
+	
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item $\v + \w$, dove $\v \in V$ è inteso come $\mathit{punto}$ di $V$ e $\w \in W$ come
+		il vettore che viene applicato su $\w$, coincide con la somma tra $\v$ e $\w$ (e analogamente
+		$\w - \v$ è esattamente $\w - \v$).
+		
+		\item Le bigezioni considerate inizialmente sono in particolare due mappe tali che
+		$i_{\vv 0}(\v) = \v - \vv 0$ e che $j_{\vv 0}(\v) = \vv 0 + \v$.
+	\end{enumerate}
+	
+	\begin{definition} [spazio affine standard]
+		Si denota con $\AnK$ lo \textbf{spazio affine standard} costruito sullo spazio vettoriale
+		$\KK^n$. Analogamente si indica con $A_V$ lo spazio affine costruito su uno spazio
+		vettoriale $V$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li Una combinazione affine di $A_V$ è in particolare una combinazione lineare di $V$. Infatti,
+		se $\v = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i$ con $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, allora, fissato
+		$\vv 0 \in V$, $\v = \vv 0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i (\vv i - \vv 0) = \vv 0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i - \vv 0 = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i$.
+		
+		\li Come vi è una bigezione data dal passaggio alle coordinate da $V$ a $\KK^n$, scelta una base
+		$\basis$ di $V$ e un punto $O$ di $E$, vi è anche una bigezione $\varphi_{O, \basis}$ da $E$ a $\AnK$ data
+		dalla seguente costruzione:
+		
+		\[ \varphi_{O, \basis}(P) = [P-O]_\basis. \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $D \subseteq E$. Allora $D$ è un sottospazio affine di $E$ $\iff$ fissato $P_0 \in D$, l'insieme
+		$D_0 = \{ P - P_0 \mid P \in D \} \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+		
+		\rightproof Siano $\vv 1$, ..., $\vv k \in D_0$. Allora, per definizione, esistono $P_1$, ...,
+		$P_k \in D$ tali che $\vv i = P_i - P_0$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Siano $\lambda_1$, ...,
+		$\lambda_k \in \KK$. Sia inoltre $P = P_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i \in E$. Sia infine
+		$O \in D$. Allora $P = O + (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i = O + (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O + O - P_0) = O + (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O) - \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_0 - O) =
+		O + (1-\sum_{i=1}^k \lambda_i) (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O)$. In particolare $P$
+		è una combinazione affine di $P_1$, ..., $P_k \in D$, e quindi, per ipotesi, appartiene a $D$. Allora
+		$P - P_0 =  \sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i \in D_0$. Poiché allora $D_0$ è chiuso per combinazioni lineari,
+		$D_0$ è un sottospazio vettoriale di $V$. \\
+		
+		\leftproof Sia $P = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ con $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$, con $P_1$, ..., $P_k \in D$ e
+		$\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in \KK$. Allora $P - P_0 = \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0) \in D_0$ per ipotesi, essendo combinazione lineare di elementi di $D_0$. Pertanto, poiché esiste un solo punto $P'$
+		tale che $P' = P_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)$, affinché $\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)$
+		appartenga a $D_0$, deve valere anche che $P \in D$. Si conclude quindi che $D$ è un sottospazio
+		affine, essendo chiuso per combinazioni affini.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}Sia $D$ un sottospazio affine di $E$. \\
+
+		\li Vale la seguente identità $D_0 = \{ P - Q \mid P, Q \in D \}$. Sia infatti $A = \{ P - Q \mid P, Q \in D \}$. Chiaramente $D_0 \subseteq A$.
+		Inoltre, se $P-Q \in A$, $P-Q = (P-P_0) - (Q-P_0)$. Pertanto, essendo $P-Q$ combinazione lineari di elementi
+		di $D_0$, ed essendo $D_0$ spazio vettoriale per la proposizione precedente, $P-Q \in D_0 \implies A \subseteq D_0$, da cui si conclude che $D_0 = A$. \\
+		\li Pertanto $D_0$ è unico, a prescindere dalla scelta di $P_0 \in D$. \\
+		\li Vale che $D = P_0 + D_0$, ossia $D$ è il traslato di $D$ mediante il punto $P_0$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition} [direzione di un sottospazio affine]
+		Si definisce $D_0$ come la \textbf{direzione} del sottospazio affine $D$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition} [dimensione un sottospazio affine]
+		Dato $D$ sottospazio affine di $E$, si dice dimensione di $D$,
+		indicata con $\dim D$, la dimensione della sua direzione $D_0$, ossia
+		$\dim D_0$. In particolare $\dim E = \dim V$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition} [sottospazi affini paralleli]
+		Due sottospazi affini si dicono \textbf{paralleli} se condividono
+		la stessa direzione.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li I sottospazi affini di dimensione zero sono tutti i punti di $E$. \\
+		\li I sottospazi affini di dimensione uno sono le \textit{rette affini},
+		mentre quelli di dimensione due sono i \textit{piani affini}. \\
+		\li Si dice \textit{iperpiano affine} un sottospazio affine di codimensione $1$,
+		ossia di dimensione $n-1$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition} [punti affinemente indipendenti]
+		I punti $P_1$, ..., $P_n \in E$ si dicono affinemente indipendenti se l'espressione $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$
+		è unica $\forall P \in \Aff(P_1, \ldots, P_n)$. Analogamente
+		un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente
+		se ogni suo sottoinsieme finito lo è.
+	\end{definition}
+
+	\begin{proposition}
+		$P_1$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti $\iff$
+		$\forall i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$
+		sono linearmente indipendenti $\iff$ $\exists i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$
+		sono linearmente indipendenti $\forall i P_i \notin \Aff\{P_1, \ldots, P_n\}$ con $P_i$ escluso.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		%TODO: considerare il passaggio ai vettori spostamento
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li Il numero massimo di punti affinemente indipendenti in $E$ è $\dim E + 1$. \\
+		
+		\li Se $E = A_n(\KK)$ e $V = \KK^n$. Allora $\ww 1$, ...,
+		$\ww k \in E$ sono aff. indip. $\iff$ i vettori $\ww1$, ...,
+		$\ww k$ immersi in $\KK^{n+1}$ aggiungendo una coordinata $1$
+		in fondo sono linearmente indipendenti.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark} Sia $E$ spazio affine con $V$ di dimensione $n$. Si
+		scelgano $n+1$ punti affinemente indipendenti $P_0$, ..., $P_n$.
+		Allora $\Aff(P_0, ..., P_n) = E$. Quindi $P \in E$ si scrive
+		in modo unico come $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$.
+		Le $\lambda_i$ si diranno allora le coordinate affini di $P$
+		nel riferimento $P_0$, ..., $P_n$.
+	\end{remark}
+
+	Se si impone $\lambda_i \geq 0$, si definisce che la
+	combinazione è una combinazione convessa. Si definisce
+	baricentro il punto con $\lambda_i = \frac{1}{n}$.
+	
+	\begin{definition} [inviluppo convesso] Si dice $\IC(S)$ di un insieme
+		$S \subseteq E$ l'insieme delle combinazioni convesse di $S$ (finite).
+		%TODO: dimostrare che è un insieme convesso
+	\end{definition}
+
+	% TODO: aggiungere baricentro
+	
+	\begin{definition} Sia $E$ uno spazio affine su $V$, $E'$ spazio
+		affine su $V'$ (sullo stesso $\KK$) un'applicazione $f : E \to E'$
+		si dice app. affine se conserva le combinazioni affini
+		($f(\sum \lambda_i P_i) = \sum \lambda_i f(P_i)$, $\sum \lambda_i = 1$).
+	\end{definition}
+
+	\begin{theorem} Sia $f : E \to E'$ affine. Allora $\exists$ unica
+		app. lineare $g : V \to V'$ lineare tale che valga
+		$f(O + \v) = f(O) + g(\v)$, per ogni scelta di $O \in E$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $O \in E$. L'applicazione $g_O : V \to V'$ data da
+		$g_O(\v) = f(O + \v) - f(O)$. Si dimostra che $g_O$ è
+		lineare.
+	\end{proof}
+\end{document}

Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.tex

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-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{28 aprile 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Spazi affini (parte due)}
-	\end{center}
-
-	%TODO: aggiungere che V spazio vettoriale è anche spazio affine con l'usuale somma e prodotto esterno.
-	
-	Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$, allora ogni scelta
-	di un punto $O \in E$ di una base $\basis$ di $V$ dà una bigezione
-	$\varphi_{O, \basis} : E \to A_n(\KK) : O + \v \mapsto [\v]_{\basis}$. \\
-	
-	%TODO: aggiungere che Aff(S) è il più piccolo sottospazio affine che contiene S.
-	
-	\begin{proposition}
-		Un sottoinsieme $D \subseteq E$ è un sottospazio affine
-		$\iff$ $\forall P_0 \in D$, l'insieme di vettori $D_0 = \{P - P_0 \mid P \in D\} \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale. 
-	\end{proposition}
-
-	\begin{proof}
-		$P = \sum \lambda_i P_i \in D$ combinazione affine
-		di $P_i \in D$ $\iff$ $\forall P_0 \in D$, $P-P_0 = \sum \lambda_i (P_i - P_0) \in D_0$. \\
-		
-		\rightproof $P = P_0 + \sum \lambda_i (P_i - P_0) = \sum \lambda_i P_i + (1- \sum \lambda_i) P_0$ %TODO: sistemare
-		
-		\leftproof Sia $\sum \lambda_i P_i = P_0 + \sum \lambda_i (P_i - P_0) = P_0 + (P - P_0) = P$ %TODO: sistemare
-	\end{proof}
-
-	$D$ si dice la direzione del sottospazio affine $D$. In $A_n(\KK)$,
-	i sottospazi affini corrispondono ai traslati dei sottospazi vettoriali.
-	
-	\begin{exercise}\nl
-		\begin{enumerate}[(i)]
-			\item $D_0$ è unico
-			\item $D_0 = \{ Q - P \mid P, Q \in D \}$
-		\end{enumerate}
-	\end{exercise}
-
-	\begin{definition} [dimensione un sottospazio affine]
-		Dato $D$ sottospazio affine di $E$, si dice dimensione di $D$,
-		indicata con $\dim D$, la dimensione di $D_0$, ossia
-		$\dim D_0$. IN particolare $\dim E = \dim V$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{remark}\nl
-		\li I sottospazi affini di dimensione zero sono tutti i punti di $E$,
-		quelli di dimensione uno retta, due piano, $n-1$ iperpiano affine
-		(ossia con codimensione $1$) %TODO: affini
-	\end{remark}
-
-	\begin{definition} [punti affinemente indipendenti]
-		I punti $P_1$, ..., $P_n \in E$ si dicono affinemente indipendenti se l'espressione $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$
-		è unica $\forall P \in \Aff(P_1, \ldots, P_n)$. Analogamente
-		un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente
-		se ogni suo sottoinsieme finito lo è.
-	\end{definition}
-
-	\begin{proposition}
-		$P_1$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti $\iff$
-		$\forall i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$
-		sono linearmente indipendenti $\iff$ $\exists i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$
-		sono linearmente indipendenti $\forall i P_i \notin \Aff\{P_1, \ldots, P_n\}$ con $P_i$ escluso.
-	\end{proposition}
-
-	\begin{proof}
-		%TODO: considerare il passaggio ai vettori spostamento
-	\end{proof}
-
-	\begin{remark}\nl
-		\li Il numero massimo di punti affinemente indipendenti in $E$ è $\dim E + 1$. \\
-		
-		\li Se $E = A_n(\KK)$ e $V = \KK^n$. Allora $\ww 1$, ...,
-		$\ww k \in E$ sono aff. indip. $\iff$ i vettori $\ww1$, ...,
-		$\ww k$ immersi in $\KK^{n+1}$ aggiungendo una coordinata $1$
-		in fondo sono linearmente indipendenti.
-	\end{remark}
-
-	\begin{remark} Sia $E$ spazio affine con $V$ di dimensione $n$. Si
-		scelgano $n+1$ punti affinemente indipendenti $P_0$, ..., $P_n$.
-		Allora $\Aff(P_0, ..., P_n) = E$. Quindi $P \in E$ si scrive
-		in modo unico come $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$.
-		Le $\lambda_i$ si diranno allora le coordinate affini di $P$
-		nel riferimento $P_0$, ..., $P_n$.
-	\end{remark}
-
-	Se si impone $\lambda_i \geq 0$, si definisce che la
-	combinazione è una combinazione convessa. Si definisce
-	baricentro il punto con $\lambda_i = \frac{1}{n}$.
-	
-	\begin{definition} [inviluppo convesso] Si dice $IC(S)$ di un insieme
-		$S \subseteq E$ l'insieme delle combinazioni convesse di $S$ (finite).
-		%TODO: dimostrare che è un insieme convesso
-	\end{definition}
-
-	% TODO: aggiungere baricentro
-	
-	\begin{definition} Sia $E$ uno spazio affine su $V$, $E'$ spazio
-		affine su $V'$ (sullo stesso $\KK$) un'applicazione $f : E \to E'$
-		si dice app. affine se conserva le combinazioni affini
-		($f(\sum \lambda_i P_i) = \sum \lambda_i f(P_i)$, $\sum \lambda_i = 1$).
-	\end{definition}
-
-	\begin{theorem} Sia $f : E \to E'$ affine. Allora $\exists$ unica
-		app. lineare $g : V \to V'$ lineare tale che valga
-		$f(O + \v) = f(O) + g(\v)$, per ogni scelta di $O \in E$.
-	\end{theorem}
-
-	\begin{proof}
-		Sia $O \in E$. L'applicazione $g_O : V \to V'$ data da
-		$g_O(\v) = f(O + \v) - f(O)$. Si dimostra che $g_O$ è
-		lineare.
-	\end{proof}
-\end{document}

tex/latex/style/personal_commands.sty

@@ -95,6 +95,10 @@
 \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
 
 % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
+\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}
+\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)}
+
+\DeclareMathOperator{\IC}{IC}
 \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
 \DeclareMathOperator{\Orb}{Orb}
 \DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}