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feat(algebra1): aggiunge i teoremi di Sylow
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{I teoremi di Sylow}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento con $p$ si indicherà un numero
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primo, con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo finito di ordine $p^n m$ tale per cui $\MCD(p, m) = 1$
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(ossia $n$ è la valutazione $p$-adica di $\abs{G}$).
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\end{note}
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I teoremi di Sylow rappresentano, insieme al teorema di
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struttura per gruppi abeliani finiti, lo strumento più
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importante e applicabile dell'algebra elementare. Attraverso
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questi teoremi, lo studio e la classificazione dei gruppi
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finiti viene enormemente facilitata e ridotta ai suoi
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$p$-sottogruppi. \medskip
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Prima di illustrare gli enunciati e le dimostrazioni di questi
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teoremi, si definisce preliminarmente cos'è un $p$-sottogruppo
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di Sylow, detto poi semplicemente $p$-Sylow:
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\begin{definition}[$p$-Sylow]
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Sia $H \leq G$. Si dice che $H$ è un \textbf{$p$-Sylow}
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di $G$ se $\abs{H} = p^n$, ossia se $H$ è un $p$-sottogruppo
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di $H$ con valutazione $p$-adica massima.
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\end{definition}
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Si illustra adesso il Primo teorema di Sylow, che riguarda
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l'esistenza di $p$-sottogruppi di tutte le cardinalità
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possibili\footnote{
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A dire la verità il Primo teorema di Sylow si deduce
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anche solo mostrando l'esistenza di un $p$-Sylow. Infatti,
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per una proposizione nota sui $p$-gruppi, che discende
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direttamente dal Teorema di corrispondenza, in un
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$p$-gruppo esiste sempre
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una catena di $p$-sottogruppi normali che comprende
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$p$-sottogruppi di tutte le cardinalità. Dal momento
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però che la dimostrazione è molto istruttiva (e anche
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molto generale), si è preferito lasciare la generalizzazione.
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}\footnote{
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Si osserva che il Primo teorema di Sylow generalizza il
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Teorema di Cauchy alla sua massima estensione.
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} in $G$:
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\begin{theorem}[Primo teorema di Sylow, esistenza]
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Per ogni $i \in \NN$ tale per cui $0 \leq i \leq n$, esiste
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un sottogruppo $H \leq G$ tale per cui $\abs{H} = p^i$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri il sottoinsieme $\MM$
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di $\pset(G)$ dato da:
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\[ \MM = \{ X \subseteq G \mid \abs{X} = p^i \}. \]
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Allora vale che:
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\[ \abs{\MM} = \binom{p^n m}{p^i} = \frac{(p^n m)!}{(p^i)! (p^n m - p^i)!} = \frac{p^n m (p^n m - 1) \cdots (p^n m - p^i + 1)}{p^i (p^i - 1) \cdots 1}, \]
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ossia, equivalentemente, che:
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\[ \abs{\MM} = p^{n-i} m \prod_{j=1}^{p^i - 1} \frac{p^n m - j}{p^i - j}. \]
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Si osserva che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$. Infatti,
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$p \nmid m$ perché $\MCD(p, m) = 1$ per ipotesi; inoltre,
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considerando il termine generico $a_j$ della produttoria,
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vale che\footnote{
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Infatti $j$ può valere al più $p^i - 1$.
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} $\nu_p(p^n m - j) = \nu_p(j) = \nu_p(p^i - j)$,
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e quindi che $\nu_p(a_j) = 0$. \medskip
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Dal momento che, dato $X \in \MM$, $g X$ appartiene ancora
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ad $\MM$ e $g X = h X \iff g = h$, $\forall$ $g$, $h \in G$,
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si può considerare l'azione $\phi : G \to S(\MM)$
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tale per cui $g \xmapsto{\phi} [X \mapsto gX]$.
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Dacché le orbite forniscono una partizione di $\MM$,
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vale che:
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\[ \abs{\MM} = \sum_{X \in \rotations} \frac{\abs{G}}{\abs{\Stab(X)}}, \]
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dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle
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orbite e dove si è applicato il Teorema orbita-stabilizzatore.
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Dal momento che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$, esiste
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sicuramente un $X \in \rotations$ tale per cui
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$p^{n-i+1} \nmid \abs{\Orb(X)}$, da cui si deduce che
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$p^i \mid \abs{\Stab(X)}$. \medskip
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Sia $x \in X$ e si consideri ora la mappa $\tau : \Stab(X) \to X$ tale per cui $g \xmapsto{\tau} gx$. Tale mappa è
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sicuramente iniettiva (infatti $gx = hx \implies g = h$),
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e quindi $\abs{\Stab(X)} \leq \abs{X} = p^i$. Si deduce
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dunque che $\abs{\Stab(X)} = p^i$, da cui la tesi.
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\end{proof} \bigskip
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Si dimostra adesso il Secondo teorema di Sylow, che mostra
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che i $p$-Sylow sono tra loro coniugati e che dimostra l'esistenza
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di un'inclusione più generale tra i $p$-sottogruppi con
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i $p$-sottogruppi di cardinalità maggiore. Da questo
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teorema discenderà in particolare uno dei due risultati
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del Terzo teorema di Sylow sul numero di $p$-Sylow di
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un gruppo $G$.
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\begin{theorem}[Secondo teorema di Sylow, coniugio e inclusione]
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Tutti i $p$-Sylow di $G$ sono coniugati (e quindi isomorfi)
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tra loro. Inoltre, ogni $p$-sottogruppo di ordine
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$p^i$, se $i \neq n$, è contenuto
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in un $p$-sottogruppo di ordine $p^{i+1}$ (in particolare
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questi sottogruppi sono sottogruppi di un $p$-Sylow)\footnote{
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Il Secondo teorema di Sylow implica in particolare
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che se $H$ è un $p$-sottogruppo di ordine $p^i$,
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esiste sempre un $p$-sottogruppo $K$ di $G$ di
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ordine $p^j$ con $j \geq i$ tale per cui
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$H \leq K$.
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}.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia\footnote{
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Tale $S$ esiste per il Primo teorema di Sylow.
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} $S$ un $p$-Sylow di $G$. Sia $H$ un $p$-sottogruppo
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di ordine $p^i$ e si consideri l'azione
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$\varphi : H \to S(X)$ su $X = G \quot S$ tale per
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cui $h \xmapsto{\varphi} [gS \mapsto hgS]$. Dal momento
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che $\abs{X} = [G : S] = m$, per
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il Teorema orbita-stabilizzatore vale allora che:
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\[ m = \sum_{gS \in \rotations} \frac{p^i}{\abs{\Stab(gS)}}, \]
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dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle
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orbite tramite $\varphi$. \medskip
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Dal momento che $p \nmid m$ per ipotesi, deve esistere
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$gS \in \rotations$ tale per cui $\abs{\Stab(gS)} = p^i$,
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da cui si deduce che $\Stab(gS) = H$. Pertanto vale che
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$hgS = gS$ $\forall h \in H$, e quindi
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$hg \in gS$, da cui si ricava infine che $h \in gSg\inv$.
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Allora $H \subseteq gSg\inv$. Se allora $H$ è un $p$-Sylow,
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$H = gSg\inv$ per cardinalità, e quindi tutti i
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$p$-Sylow sono coniugati tra loro, dimostrando la prima
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parte dell'enunciato. \medskip
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Sia ora $i \neq n$. Allora $H$ è un $p$-sottogruppo proprio
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di $P = gSg\inv$, che è un $p$-Sylow di $G$. Allora
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vale che $H \lneq N_P(H)$ dal momento che $P$ è un $p$-gruppo.
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Dacché $H \nsg N_P(H)$, $N_P(H) \quot H$ è un $p$-gruppo
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non banale. Allora, per il Teorema di Cauchy, esiste
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$x \in N_P(H)$ tale per cui $\ord(xH) = p$. Allora
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$\pi_H\inv(\gen{xH})$ è un sottogruppo di $N_P(H)$ di ordine
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$p \cdot p^i = p^{i+1}$ che contiene $H$, da cui
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la tesi.
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\end{proof} \bigskip
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Si dimostra infine il Terzo teorema di Sylow, che riguarda
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il numero di $p$-Sylow in $G$, indicato con $n_p$. Questo
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teorema, al di là del lato meramente computazionale, risulta
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spesso utile quando si cerca di dimostrare che un $p$-Sylow
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è caratteristico. Infatti è sufficiente verificare che
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$n_p$ sia esattamente $1$; in questo modo esiste un solo
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$p$-Sylow, e tale $p$-Sylow deve essere caratteristico, e
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quindi normale.
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\begin{theorem}[Terzo teorema di Sylow, numero]
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Sia $n_p$ il numero di $p$-Sylow di $G$. Allora vale
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che:
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\begin{itemize}
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\item $n_p = [G : N_G(S_p)]$, e dunque $n_p$ divide $\abs{G}$, dove
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$S_p$ è un $p$-Sylow,
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\item $n_p \equiv 1 \pod p$, e quindi\footnote{
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Poiché $n_p \mid \abs{G} = p^n m$, ma $n_p \equiv 1 \pod p$, $n_p$ è coprimo con $p^n$, e quindi
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$n_p$ deve dividere $m$.
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} $n_p \mid m$.
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\end{itemize}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Poiché i coniugati di un $p$-Sylow $S$ hanno la stessa cardinalità di $S$, tali coniugati sono ancora
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$p$-Sylow. Similmente, per il Secondo teorema di Sylow, tutti
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i $p$-Sylow sono a loro volta coniugati di $S$. Pertanto,
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se $X$ è l'insieme dei $p$-Sylow di $G$, vale che
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$X$ è esattamente l'insieme dei coniugati di $S$. Allora,
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per il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
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\[ n_p = \abs{X} = [G : N_G(S)], \]
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che chiaramente divide $\abs{G}$. \medskip
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Sia $\varphi : S \to S(X)$ l'azione su $X$ tale per cui
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$s \xmapsto{\varphi} [H \mapsto sHs\inv]$. Si mostra
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che $\Orb(S) = \{S\}$ è l'unica orbita banale. Se
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$\Orb(H)$ fosse banale, varebbe $sHs\inv = H$ $\forall s \in S$,
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e quindi varebbe $S \leq N_G(H)$. In tal caso esisterebbe
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il sottogruppo $HS$, che ha cardinalità:
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\[ \abs{HS} = \frac{p^n p^n}{p^i} = p^{2n-i}, \]
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dove $p^i$ è la cardinalità di $H \cap S$. Poiché
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$n$ è il massimo esponente di un $p$-sottogruppo di
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$G$, deve valere $2n-i \leq n \implies n \leq i$. Allo
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stesso tempo, anche il massimo esponente di $p$ in
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$H \cap S$, in quanto $p$-sottogruppo, deve essere
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minore o uguale a $n$, e quindi $n = i$. Pertanto
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$H = S$. \medskip
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Allora, se $\rotations$ è un insieme di rappresentanti
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delle orbite di $X$ tramite $\varphi$, vale che:
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\[ n_p = \abs{X} = \sum_{H \in \rotations} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}} = 1 + \sum_{H \in \rotations \setminus \{S\}} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}}. \]
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Poiché $p$ divide la somma del membro a destra (infatti
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le orbite sono non banali, e quindi $\abs{\Stab(H)} \neq p^n$),
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deve dunque valere $n_p \equiv 1 \pod 1$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\end{document}
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