\dim V - \rg A_{1, \ldots, k}$, dimostrando (iii). \\
Se $\varphi$ è non degenere, $A$ è invertibile, dacché $\dim V^\perp=\dim\Ker A =0$. Allora
ogni minore di taglia $k$ di $A$ ha determinante diverso da zero. Dacché ogni minore di taglia $k$
di $A_{1,\ldots,k}$ è anche un minore di taglia $k$ di $A$, si ricava che anche ogni minore di taglia
$k$ di $A_{1, \ldots, k}$ ha determinante diverso da zero, e quindi che $\rg(A_{1,\ldots,k})\geq k$.
Dacché deve anche valere $\rg(A_{1,\ldots,k})\leq\min\{k,n\}= k$, si conclude che $\rg(A_{1,\ldots,k})$
vale esattamente $k =\dim W$. Allora, dal punto (iii), vale che $\dim W^\perp+\dim W =\dim W^\perp+\rg(A_{1,\ldots,k})=\dim V$, dimostrando il punto (iv).
$\rg(A_{1,\ldots,k})= k =\dim W$, dal momento che le prime $k$ righe di $A$ devono essere linearmente indipendenti. Allora, dal punto (iii), vale che $\dim W^\perp+\dim W =\dim W^\perp+\rg(A_{1,\ldots,k})=\dim V$, dimostrando il punto (iv).
Tre punti sono complanari se e solo se il volume di tale parallelpipedo è nullo
(infatti questo è equivalente a dire che almeno uno dei tre punti
@ -1202,7 +1202,8 @@
Se $\basis=\{\vv1, \ldots ,\vv n \}$ è una base di $V$, si definisce $M_\basis(\varphi)=(\varphi(\vv i, \vv j))_{i,j=1\mbox{--}n}$ come la matrice associata al prodotto scalare $\varphi$. In particolare,
se $a_\varphi : V \to V^*$ è la mappa lineare che associa a $\v$ il funzionale $\varphi(\v, \cdot)\in V^*$
tale che $\varphi(\v, \cdot)(\w)=\varphi(\v, \w)$.
tale che $\varphi(\v, \cdot)(\w)=\varphi(\v, \w)$. Si scrive $(V, \varphi)$ per indicare uno
spazio vettoriale $V$ dotato del prodotto scalare $\varphi$.
Si definisce prodotto scalare \textit{standard} il prodotto $\varphi$ tale che
$\varphi(\v, \w)=[\v]_\basis^\top[\w]_\basis$.
@ -1349,8 +1350,8 @@
\item Si ripeta il processo considerando come $\basis$ tutti i vettori di $\basis$ con $\vv1$ escluso,
o si termini l'algoritmo una volta che è rimasto un solo vettore.
\end{enumerate}
\subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura}
\subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura}
Sia $A = M_\basis(\varphi)$ una matrice associata a $\varphi$ nella base $\basis$.
Sia $d_0 :=1$. Se $d_i =\det(A_{1, \ldots, i}^{1, \ldots, i})$ (è possibile anche
prendere un'altra sequenza di minori, a patto che essi siano principali e che siano
@ -1386,6 +1387,31 @@
isotropo di tale dimensione).
\end{itemize}
\subsubsection{Isometrie tra spazi vettoriali}
Due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e $(W, \psi)$ su $\KK$ si dicono isometrici tra loro se
esiste un isomorfismo $f : V \to W$ tale che $\varphi(\vv1, \vv2)=\psi(f(\vv1), f(\vv2))$.
Se $f$ è un isomorfismo tra $V$ e $W$, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$(V, \varphi)$ e $(W, \psi)$ sono isometrici tra loro tramite $f$,
\item$\forall\basis$ base di $V$, $M_\basis(\varphi)= M_{f(\basis)}(\psi)$,
\item$\exists\basis$ base di $V$, $M_\basis(\varphi)= M_{f(\basis)}(\psi)$.
\end{enumerate}
Inoltre, $V$ e $W$ sono isometrici se e solo se hanno la stessa dimensione e le matrici associate
a $\varphi$ e $\psi$ in due basi di $V$ e di $W$ sono congruenti (infatti, in tal caso, esistono due
basi di $V$ e di $W$ che condividono la stessa matrice associata, ed è possibile associare ad uno
ad uno gli elementi di queste basi).
Pertanto, se $\basis_V$ e $\basis_W$ sono due basi di $V$ e di $W$, $\KK=\RR$ e $M_{\basis_V}(\varphi)$ e $M_{\basis_W}(\psi)$ condividono la stessa segnatura, allora $V$ e $W$ sono
isometrici tra loro (come conseguenza del teorema di Sylvester reale).
Analogamente, se $\KK=\CC$ e $M_{\basis_V}(\varphi)$ e $M_{\basis_W}(\psi)$ condividono lo stesso
rango, allora $V$ e $W$ sono isometrici tra loro (come conseguenza stavolta del teorema di Sylvester
