domande-orali/geoemtria-2/algebrica.md

# La categoria hTop

* [ ] [definizione] Omotopia
* [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
* [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
* [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
* [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
## Funtore delle componenti connesse per archi

* [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
# Gruppo fondamentale

## Omotopia di cammini

* [ ] [definizione] Omotopia di cammini
## Gruppo Fondamentale

* [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
* [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
* [ ] [definizione] Semplicemente connesso
## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio

* [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
* [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
## Funtorialità del gruppo fondamentale

* [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
* [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
* [ ] [definizione] Omotopia puntata
* [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
## Dipendenze del gruppo fondamentale

* [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
* [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
# Spazi contraibili e retratti

## Spazi contraibili

* [ ] [definizione] Spazio contraibile
* [ ] [definizione] Insieme stellato
* [ ] [definizione] Insieme Convesso
* [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
## Retratti di Deformazione

* [ ] [definizione] Retratto
* [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
* [ ] [definizione] Retratto di deformazione
# Rivestimenti

## Omeomorfismi locali

* [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
* [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
## Rivestimenti

* [ ] [definizione] Rivestimento
* [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
* [ ] [definizione] Fibra
* [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
* [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
* [ ] [definizione] Rivestimento banale
* [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
## Sollevamenti

* [ ] [definizione] Sollevamento
* [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
* [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
* [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
# Azione di Monodromia

* [ ] [definizione] Azione di monodromia
* [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
### Sollevamento di mappe qualsiasi

* [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
## Applicazioni dell'azione di Monodromia

* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
* [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
# Teorema di Seifert-Van Kampen

* [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
# Calcolo del Gruppo fondamentale

## Gruppo fondamentale del prodotto

* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
## Prodotto libero e gruppi liberi

* [ ] [definizione] Prodotto libero
* [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
* [ ] [definizione] Gruppo libero
* [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse

* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
## Prodotto amalgamato

* [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
## Presentazioni di gruppi

* [ ] [definizione] Presentazione
* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
* [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
## Rango

* [ ] [definizione] Rango
## Gruppi fondamentali di proiettivi

* [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
* [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
## Gruppi fondamentali di superfici

### Toro

* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
### Superfici con dato genere

* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
* [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
* [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
# Rivestimento Universale

* [ ] [definizione] Rivestimento universale
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
* [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
* [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti

* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
* [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
* [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
### Isomorfismi di rivestimenti

* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois

* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
* [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
* [ ] [definizione] Rivestimento regolare
* [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
* [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
* [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
## Applicazioni della teoria dei rivestimenti

* [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam