domande-orali/geoemtria-2/algebrica.md

La categoria hTop

• [definizione] Omotopia
• [proposizione] Omotopia è relazione di equivalenza
• [proposizione] Composizione passa alla relazione di omotopia
• [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
• [proposizione] Equivalenza omotopica è una equivalenza

Funtore delle componenti connesse per archi

• [teorema] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei \pi_0

Gruppo fondamentale

Omotopia di cammini

• [definizione] Omotopia di cammini

Gruppo Fondamentale

• [definizione] Gruppo Fondamentale
• [teorema] Il gruppo fondamentale è un gruppo
• [definizione] Semplicemente connesso

Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio

• [proposizione] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
• [teorema] Propriet`a della corrispondenza tra \pi_1(X) e \spa{S^1,X}
• [proposizione] Corrispondenza tra omotopie di cammini in \Omega(X,x_0) e omotopie libere in {[S^1,X]}

Funtorialità del gruppo fondamentale

• [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
• [proposizione] Funtore da Top_\ast a Grp
• [definizione] Omotopia puntata
• [proposizione] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali

Dipendenze del gruppo fondamentale

• [teorema] Il punto base determina \pi_1(X) a meno di isomorfismo
• [proposizione] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo

Spazi contraibili e retratti

Spazi contraibili

• [definizione] Spazio contraibile
• [definizione] Insieme stellato
• [definizione] Insieme Convesso
• [proposizione] Mappe a immagine in stellato

Retratti di Deformazione

• [definizione] Retratto
• [proposizione] Proprietà dei retratti
• [definizione] Retratto di deformazione

Rivestimenti

Omeomorfismi locali

• [definizione] Omeomorfismo Locale
• [proposizione] Omeomorfismo locale implica aperta

Rivestimenti

• [definizione] Rivestimento
• [proposizione] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
• [definizione] Fibra
• [teorema] Teorema delle Fibre
• [definizione] Grado di un rivestimento
• [definizione] Rivestimento banale
• [teorema] Rivestimento da azione propriamente discontinua

Sollevamenti

• [definizione] Sollevamento
• [teorema] Unicità del sollevamento
• [teorema] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
• [teorema] Sollevamento dell'omotopia
• [teorema] Sollevamento delle omotopie di cammini

Azione di Monodromia

• [definizione] Azione di monodromia
• [teorema] Proprietà dell'azione di monodromia

Sollevamento di mappe qualsiasi

• [teorema] Sollevamento di mappe qualsiasi

Applicazioni dell'azione di Monodromia

• [teorema] Gruppo fondamentale del cerchio
• [teorema] Teorema di Brower

Teorema di Seifert-Van Kampen

• [teorema] Seifert-Van Kampen

Calcolo del Gruppo fondamentale

Gruppo fondamentale del prodotto

• [teorema] Gruppo fondamentale del prodotto

Prodotto libero e gruppi liberi

• [definizione] Prodotto libero
• [teorema] Esistenza del prodotto libero
• [definizione] Gruppo libero
• [teorema] Propriet`a universale del gruppo libero

Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse

• [teorema] Gruppo fondamentale del Bouquet di n circonferenze

Prodotto amalgamato

• [definizione] Prodotto amalgamato
• [teorema] Esistenza e unicit`a del prodotto amalgamato

Presentazioni di gruppi

• [definizione] Presentazione
• [proposizione] Propriet`a universale delle presentazioni
• [proposizione] Presentazione del prodotto amalgamato

Rango

• [definizione] Rango

Gruppi fondamentali di proiettivi

• [teorema] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
• [teorema] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali

Gruppi fondamentali di superfici

Toro

• [teorema] Gruppo fondamentale del toro

Superfici con dato genere

• [teorema] Gruppo fondamentale delle superfici di genere g
• [proposizione] Genere determina univocamente il \pi_1
• [teorema] Genere, classe di Omotopia e \pi_1 sono invarianti completi

Rivestimento Universale

• [definizione] Rivestimento universale
• [teorema] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
• [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
• [teorema] Esistenza dei rivestimenti universali

Propriet`a categoriche dei rivestimenti

• [proposizione] Propriet`a universale del rivestimento universale
• [definizione] Morfismo di rivestimenti
• [definizione] Automorfismi di rivestimenti
• [proposizione] Azione di \Aut(p) e di monodromia commutano

Isomorfismi di rivestimenti

• [teorema] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
• [proposizione] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi

Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois

• [proposizione] Azione di \Aut(p) `e propriamente discontinua
• [teorema] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
• [definizione] Rivestimento regolare
• [proposizione] I rivestimenti universali sono regolari
• [teorema] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
• [teorema] \Aut(p) in termini del gruppo fondamentale
• [proposizione] Automorfismi di rivestimenti regolari

Applicazioni della teoria dei rivestimenti

• [teorema] Borsuk-Ulam